（压轴题特训）2024年高考数学集合与常用逻辑用语专题练习

这是一份（压轴题特训）2024年高考数学集合与常用逻辑用语专题练习，共24页。试卷主要包含了给定正整数，设集合，已知数集具有性质等内容，欢迎下载使用。

条件①：；
条件②：.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
2．已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集．
(1)若，写出的所有子集；
(2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值．
3．给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．
(1)分别判断集合与是否具有性质；
(2)若集合具有性质，求的值；
(3)若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．
4．给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
(1)判断集合是否具有性质？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明．
5．对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
6．已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．
(1)若，写出所有可能的集合B；
(2)若，且是12的倍数，求集合B的个数；
(3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数．
7．设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.
(1)判断集合和是否为集合，说明理由；
(2)若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数；
(3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数.
8．设，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A，B，C是“无和划分”：
①；
②，，；
③，且C中的最小元素大于B中的最小元素；
④，，，必有，，.
(1)若，，，判断A，B，C是否是“无和划分”，并说明理由.
(2)已知A，B，C是“无和划分”（）.
（i）证明：对于任意m，，都有；
（ii）若存在i，，使得，记.证明：Ω中的所有奇数都属于A.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
9．已知集合A是由元素x组成的，其中，m，．
(1)设，，，试判断，与A之间的关系；
(2)任取，试判断，与A之间的关系．
10．已知数集具有性质：对任意，与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集与是否具有性质；
(2)求证：；
(3)给定正整数，求证：，，，组成等差数列．
11．已知集合，集合，且满足，，与恰有一个成立.对于定义，以及，其中.
例如.
(1)若，，求的值及的最大值；
(2)从中任意删去两个数，记剩下的数的和为，求的最小值（用表示）；
(3)对于满足的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，，，使得恒成立？请说明理由.
12．设整数集合，其中，且对于任意，若，则．
(1)请写出一个满足条件的集合A；
(2)证明：任意，．
参考答案：
1．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用元完备数对的定义推理判断即得.
（2）令，根据元完备数对的定义确定的所有可能情况，再导出矛盾即可.
【详解】（1）当时，由，得，不符合题意，
所以不存在3元完备数对；
当时，当，，，时，
满足且，符合题意，
所以为4元完备数对.
（2）假设存在8元完备数对，
当时，令，则，且，
则有以下三种可能：①；②；③
当时，于是，即，
由，得或，
而，则有，
因此，，…，，分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1，
由得或，与已知矛盾，则当时，不存在8元完备数对；
当或时，同理不存在8元完备数对，
所以不存在8元完备数对.
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
2．(1)
(2)
【分析】（1）根据子集的定义， 即可求解；
（2）取，求得，再利用反证法假设，推得，与矛盾即可.
【详解】（1）当时，，所以的所有子集为：.
（2）当时，取，因为，所以是的子集，此时符合题意；
若，设且，
根据题意，，其中，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，与矛盾，
综上所述，只有满足题意.
【点睛】关键点点睛：第二问的关键是在讨论时，利用反证法假设，推得，与矛盾，由此即可顺利得解.
3．(1)集合不具有性质，集合具有性质
(2)
(3)，，或
【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足；
（2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解；
（3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解.
【详解】（1）集合中的，，
所以集合不具有性质，
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质；
（2）若集合具有性质，记，则，
令，则，从而必有，
不妨设，则，且，
令，，则，且，且，
以下分类讨论：
1）当时，若，此时，满足性质；
若，舍；若，无解；
2）当时，则，注意且，可知无解；
经检验符合题意，
综上；
（3）首先容易知道集合中有0，有正数也有负数，
不妨设，其中，，
根据题意，
且，从而或，
1）当时，，
并且，，
由上可得，并且，
综上可知；
2）当时，同理可得，
据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个，
分别是，，或.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质的集合里面有0，再对其他元素进行讨论.
4．(1)具有性质，理由见解析；
(2)不存在，证明见解析.
【分析】（1）根据定义计算即可判定；
（2）根据定义对进行讨论，一一计算即可证明.
【详解】（1）对于集合，
根据定义可知，且符合定义，
所以具有性质；
（2）假设存在具有性质，根据定义易知中有4个元素且，
①若，则，没有4个元素，不符题意舍去；
②若，则，
而，不符题意舍去；
③若，则，
而，
故中至多包含3个元素，不符题意舍去；
④若，则，
而，不符题意舍去；
⑤若，则，没有4个元素，不符题意舍去；
综上可知：不存在具有性质的集合.
【点睛】思路点睛：第二问需要根据定义得出，从而分五种情况进行讨论，讨论时依次得出集合的可能情况结合定义验证判定即可.
5．(1)不是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)7
【分析】（1）根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合不是“和谐集”；
（2）判断任意一个元素（）的奇偶性相同，分类讨论，可以证明出若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
（3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解.
【详解】（1）当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：
,
经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”；
（2）设正整数集合（，）所有元素之和为，由题意可知
均为偶数，因此任意一个元素（）的奇偶性相同.
若是奇数，所以（）也都是奇数，由于，显然为奇数；
若是偶数，所以（）也都是偶数.此时设（）,
显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”，
此时各项的和也是奇数，集合中元素的个数也是奇数，
综上所述：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数.
（3）由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”，
当时，不妨设，若A为“和谐集”，去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”，
当，设，去掉1后，，
去掉3后，，去掉5后，，
去掉7后，，去掉9后，，
去掉11后，，去掉13后，，
故是“和谐集”，元素个数的最小值为7.
【点睛】关键点点睛：此题考查对集合新定义的理解和应用，考查理解能力，解题的关键是对“和谐集”的准确理解，运用分类讨论求解是常用方法，属于较难题.
6．(1)，，，
(2)4
(3)证明见详解
【分析】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的；对（3），分情况讨论，寻找使是倍数的集合.
【详解】（1）所有可能的集合为：，，，.
（2）不妨设：，由于，且，
所以.
由题意，是12的倍数时，或.
当时，因为，
所以当且仅当时，成立，故符合题意.
当时，
若，则，故或符合题意；
若，则，故符合题意；
若，则，无解.
综上，所有可能的集合为，，，.
故满足条件的集合的个数为.
（3）（1）当时，设，则
，
这个数取个值，故其中有两个数相等.
又因为，于是，
从而互不相等，互不相等，
所以存在，使得.
又因，故.
则，则，结论成立.
（2）当时，不妨设，
则（），在这个数中任取3个数，.
若与都是的倍数，，
这与矛盾.
则至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数.
考虑这个数：，，，，，.
①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为，
故存在，使得.
若为偶数，取，则，结论成立；
若为奇数，取，则，结论成立.
②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的倍数，
故存在，使得.
若为偶数，取，则，结论成立；
若为奇数，取，则，结论成立.
综上，存在非空集合，使得是的倍数.
【点睛】关键点点睛：如何找到非空集合，使得是的倍数是问题的关键.
7．(1)是集合，不是集合；
(2)中大于1的元素的可能个数为.
(3)见解析
【分析】（1）由集合的定义即可得出答案；
（2）由题意可得，不妨设，分类讨论，，和结合集合的性质即可得出答案；
（3）根据已知新定义，分类讨论、反证法进行求解、证明.
【详解】（1）集合是集合，
当时，；
当时，；
当时，；
集合不是集合，
取，则，不满足题中性质.
（2）当时，，
当时，，
当时，，
所以.
不妨设，
①若，因为，从而，与矛盾；
②若，因为，故，
所以.
经验证，此时是集合，元素大于1的个数为；
③若，因为，所以与矛盾；
④若，因为，故，
所以.
经验证，此时是集合，元素大于1的个数为；
综上：中大于1的元素的可能个数为.
（3）假设集合中全为正实数.
若中至少两个正实数大于，设，则，
取，则，
而，从而，矛盾；
因此中至多有1个正实数大于.
当时，设，
若，
当时，，
当时，，
当时，，
由于，
，
所以，
所以.
因为，
所以
，矛盾.
因此当时，.
当时，集合中至少有4个不同的正实数不大于，
设，
因为是有限集，设，其中.
又因为集合中至少有4个不同的正实数不大于，
所以，且存在，且使互不相同，
则，
当时，，
当时，，
于是，
与矛盾.
因此，中元素不能全为正实数.
【点睛】思路点睛：对于与集合有关的新定义问题，注意根据定义检验，另外在问题解决的过程中，注意局部性质与整体性质的关系，注意利用已有的结果来解决后面的问题.
8．(1)不是，理由见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）可取，，从而可求解.
（2）（i）利用假设法存在，，使得，根据题意证得假设不成立，从而求解；（ii）利用，，是“无和划分”，分别设出存在且，且最小值设为，然后分类讨论不同的情况，从而可求解.
【详解】（1）不是.
取，，则，说明A，B，C不是“无和划分”.
（2）（i）假设存在，，使得，记的最小值为，
则，；
设中最小的元素为，则，所以，
所以，（否则与，，矛盾），
（否则与，矛盾），所以，
因为，所以，不同属于C.
所以，这与矛盾.
所以假设不成立，原命题成立.
（ii）因为A，B，C是“无和划分”，且存在，，使得，记的最小值为，所以，；
由（1）知，，，，
因为，所以，，所以，
设中最小的元素为，若，则，所以，
所以，（否则与，，矛盾），
所以（否则与，矛盾），
所以，又因为和不同属于C，所以，
这与，矛盾，所以，即.
所以，所以.
所以，，所以（否则与，矛盾），所以.
若，则与和矛盾，所以，所以，
（否则与，矛盾），
（否则与，矛盾），所以.
以此类推，对于任意奇数，都有，.
所以为偶数（否则，，与和矛盾），
所以，均为奇数.
因为，所以（否则与，矛盾），所以，
所以，所以（否则与，矛盾），所以，
以此类推，对于任意大于，小于或等于n的奇数都属于集合.
综上所述，中的所有奇数都属于集合.
【点睛】方法点睛：根据题意对“无和划分”的定义，分别设出集合中最小值记为，然后分别讨论时对应的情况，从而可求解证明.
9．(1)，，．
(2)，．
【分析】（1）利用分母有理化和完全平方公式进行化简即可；
（2）设,，然后将，表示出来，进行判断即可.
【详解】（1）∵，∴．
∵,∴．
∵，∴．
综上，，，．
（2）
任取，设，，
则，
其中，，∴．
∵，
其中，，∴．
综上，，．
10．(1)见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据数列：，，，时具有性质，对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证；
（2）令，，可得属于，证明，倒序相加即可得到结论；
（3）根据数集，具有性质，可得，，由此可知，即，从而得到，，构成等查数列．
【详解】（1）由于和都不属于集合，所以不具有性质；
由于、、、、、、、、、都属于集合，2，4，，所以具有性质．
（2）令，，则 “与两数中至少有一个属于”，
不属于，属于
令，那么是集合中某项，不行，是0，可以．
如果是或者，那么可知，那么，只能是等于了，矛盾．
所以令可以得到，
同理，令、，，2，可以得到，
倒序相加即可得到．
（3），，，具有性质，，，，
，则，
所以与中至少有一个属于，
由，有，故，，故．
，，故，3，，．
由具有性质知，，3，，．
又，
，，，，，即，2，，．（1）
由知，，，，均不属于，
由具有性质，，，，均属于，
，
，，，，，即．（2）
由（1）（2）可知，，，
即，3，，．
故，，构成等差数列．
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
11．(1)1，2
(2)
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）表示出和，求的值及的最大值；
（2）由的定义求删去的两个数后剩下的数和的范围，结合的定义．列不等式并判断等号成立，可得出结论；
（3）的定义可知：，可找到三个不同的元素，，，使得.
【详解】（1），
，，，
所以；
，，
，最大，则，，所以最大值为.
（2）设中的最大值为，由定义，，
若存在，，
则，，，，进而，，矛盾.
于是除外，剩余的由定义，中恰有个元素，，
设删去的两个数为，，则，
构造，删去，，恰好取得等号.
所以的最小值为.
（3）结论：集合中存在满足条件的三个不同的元素，，，证明如下：
设，中的一个最大值为，由得
于是，，进而
考虑，
由于，，而
于是一定存在不同于，的，使得，
进而，于是，
取，，即可.
【点睛】方法点睛：
集合新定义问题，要紧紧围绕新定义的概念和运算法则，对问题进行分析整理后求解.
12．(1)（答案不唯一）
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可设，满足条件即可得解；
（2）根据满足任意，要证的形式，考虑反证法即可证明.
【详解】（1）令，满足，
当时，若满足，则成立，
即可写出一个满足条件的集合.
（2）假设存在一个使得，
令，其中且，
由题意，得，
由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾，
所以任意，．
【点睛】关键点点睛：利用反证法证明第二问，假设存在一个使得，首先把拆成是解题推理的关键，其次利用集合是整数构成的，且最大是解题的另外一个关键点.