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浙教版七年级下册3.4 乘法公式同步练习题
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这是一份浙教版七年级下册3.4 乘法公式同步练习题，文件包含核心考点04乘法公式原卷版docx、核心考点04乘法公式解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共76页， 欢迎下载使用。
考点一：完全平方公式
考点二：完全平方公式的几何背景
考点三：完全平方式
考点四：平方差公式
考点五：平方差公式的几何背景
考点六：整式的混合运算—化简求值
考点考向
一．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
二．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
三．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
四．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
五．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
六．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
考点精讲
一．完全平方公式（共7小题）
1．（2022秋•临海市期末）下列计算正确的是（ ）
A．am•an＝amnB．am﹣an＝am﹣n
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（a2）3＝（a3）2
2．（2022春•慈溪市期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣5，ab＝﹣2，求a2+b2的值．
（2）已知（2021﹣a）（2022﹣a）＝4043，求（2021﹣a）2+（2022﹣a）2的值．
3．（2021春•北仑区期末）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（x﹣4）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（x﹣4）2+（x﹣9）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（x﹣2018）2+（x﹣2021）2＝41，求（x﹣2018）（x﹣2021）的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是35，分别以MF，DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
4．（2022春•西湖区校级期中）阅读：已知a﹣b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．小明的解法如下：
解：因为a﹣b＝﹣4，ab＝3，
所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝（﹣4）2+2×3＝22．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣5．ab＝2，求a2+b2﹣ab的值．
（2）已知（2023﹣x）（2022﹣x）＝20，求（2023﹣x）2+（2022﹣x）2的值．
5．（2022春•兰溪市期中）已知：x+y＝6，xy＝3．求下列各式的值：
（1）x2+4xy+y2
（2）x4+y4
6．（2022春•柯桥区期中）已知x+y＝3，且（x+3）（y+3）＝20．
（1）求xy的值；
（2）求x2+5xy+y2的值；
（3）求x﹣y的值．
7．（2022秋•沙洋县期末）已知：x+＝3，则x2+＝ ．
二．完全平方公式的几何背景（共5小题）
8．（2022春•温州期中）如图，在大长方形ABCD中放入5张相同的小长方形（图中空白部分）．若大长方形的周长是48，图中阴影部分的面积是78，则一张小长方形的面积 ．
9．（2022秋•临海市期末）【教材呈现】
已知a+b＝5，ab＝3，求（a﹣b）2的值．
【例题讲解】
同学们探究出解这道题的两种方法：
（1）请将方法二补充完整；
【方法运用】
（2）解答以下问题：
已知，求的值．
【拓展提升】
（3）如图，以Rt△ABC的直角边AB，BC为边作正方形ABDE和正方形BCFG．若△ABC的面积为5，正方形ABDE和正方形BCFG面积和为36，求AG的长度．
10．（2022春•海曙区校级期中）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3；图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为21；若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积是 ．
11．（2022秋•荆门期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝ ．
12．（2022春•长兴县期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；
（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）²，（a﹣b）²，ab之间的等量关系；
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
三．完全平方式（共5小题）
13．（2022春•定海区期末）如图，三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类1块，B类6块，C类9块，小明用这16块地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小明拼成的正方形边长是 ．
14．（2022春•绍兴期中）若关于x的多项式x2﹣（2k﹣1）x+9是完全平方式，则k的值为 ．
15．（2021春•拱墅区校级期中）若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是 ．
16．（2022春•拱墅区期末）如图，在正方形ABCD中放入两张边长分别为a和b的正方形纸片，已知HK＝c，正方形ABCD的面积记为S，阴影部分面积分别记为S1，S2．
（1）用含a，b，c的代数式分别表示KI，GD．
（2）若c＝2，且S1＝S2，求的值．
（3）若a＝b，试说明S﹣3（S1﹣S2）是完全平方式．
17．（2022春•嵊州市期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片 张．
（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（x﹣2019）2+（x﹣2021）2＝20，求x﹣2020的值．
四．平方差公式（共5小题）
18．（2022春•鹿城区校级期中）如果a﹣b＝4，ab＝1，则（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝ ．
19．（2022春•萧山区期中）一个多项式与（x﹣1）（x+1）的积为x3﹣mx2+nx+2，则m+2n＝ ．
20．（2021春•拱墅区校级月考）如图，是一道例题及部分解答过程，其中A、B是两个关于x，y的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
（1）直接写出多项式A和B，并求出该例题的运算结果；
（2）求多项式A与B的平方差．
21．（2022春•海曙区期中）计算：
（1）；
（2）（3a+b﹣2）（3a﹣b+2）．
22．（2022春•鄞州区校级期中）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，则＝ ．
五．平方差公式的几何背景（共5小题）
23．（2022春•临渭区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
24．（2022春•衢州期中）请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14．
求：①a+b的值；
②a2﹣b2的值．
25．（2022春•嘉兴期中）小明把图1中L形的纸片进行如图2的剪拼，改造成了一个长方形，你是否可以结合上述图形验证平方差公式？请进行具体说理．
26．（2021春•丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号）
27．（2022春•东阳市校级月考）如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形．
（1）上述操作能验证的公式是 ；
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ；
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．
六．整式的混合运算—化简求值（共8小题）
28．（2022春•柯桥区期末）已知x2﹣x＝2022，则代数式（x+1）（x﹣1）+x（x﹣2）＝ ．
29．（2022春•衢州期中）先化简，再求值：（a+2）2﹣a（3a+4），其中a＝﹣1．
30．（2022春•余杭区月考）（1）化简求值：（x+2y）（x﹣2y）﹣（﹣x﹣3y）2，其中．
（2）已知2x﹣y＝1，xy＝2，求4x3y﹣4x2y2+xy3的值．
31．（2022•鄞州区校级开学）先化简再求值：
（1）（x﹣2y）2﹣x（x+2y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝．
（2）已知m，n满足（m+n）2＝169，（m﹣n）2＝9，求m2+n2﹣mn的值．
32．（2021春•拱墅区校级期中）若代数式ab（5ka﹣3b）﹣（ka﹣b）（3ab﹣4a2）的值与b的取值无关，则常数k的值 ．
33．（2022春•南湖区校级期中）先化简再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣（a+2b）2+5b2，其中a＝1，b＝﹣1．
34．（2021春•南浔区期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝5，则h（4）＝h（2+2）＝5×5＝25，若h（3）＝k（k≠0），则h（3b）•h（27）（其中b为正整数）的结果是 ．
35．（2021•兰山区模拟）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当x＝8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3x3﹣4x2﹣35x+8进行改写：
3x3﹣4x2﹣35x+8＝x（3x2﹣4x﹣35）+8＝x[x（3x﹣4）﹣35]+8
按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当x＝8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值为1008．
请参考上述方法，将多项式x3+2x2+x﹣1改写为： ，当x＝8时，这个多项式的值为 ．
巩固提升
一、单选题
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分、从左图到右图）的面积，验证的公式为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算的结果为（ ）
A．B．1C．11D．4027
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·七年级单元测试）若是完全平方式，则n的值为（ ）
A．6B．或6C．1D．
6．（2023春·七年级单元测试）已知，则的值为（ ）
A．10B．17C．26D．33
7．（2023春·七年级单元测试）若，则（ ）
A．3B．6C．D．
8．（2023春·七年级单元测试）若，则的结果是（ ）
A．23B．25C．27D．29
9．（2023春·七年级单元测试）如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为（ ）．
A．6B．16C．26D．46
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）若实数x，y，z满足，求（ ）
A．5B．10C．15D．20
二、填空题
11．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知多项式是完全平方式，则_________．
12．（2023春·七年级单元测试）已知，，则___________．
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知：，则__________．
14．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，则__________．
15．（2022春·浙江温州·七年级校联考期中）某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为32，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为 _____．
16．（2023春·浙江·七年级专题练习）若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为__________．
三、解答题
17．（2023春·浙江·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中．
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中，．
19．（2023春·浙江·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中，．
20．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
(1)【探究】
①请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积__________；__________；
②比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________（用字母表示）；
(2)【应用】请应用这个公式完成计算：．
21．（2023春·七年级单元测试）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．
(1)求图1中空白部分的面积（用含的代数式表示）．
(2)图1，图2中空白部分面积、分别为19、68，求值．
(3)图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示．
22．（2023春·浙江·七年级专题练习）图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形．
(1)你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是________（用、表示）；
(2)请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：________，②：________；
(3)观察图（2），请写出、、之间的一个等量关系________；
(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
23．（2023春·浙江·七年级专题练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：．
(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来．
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值．
24．（2023春·七年级单元测试）已知a，b是实数，定义关于“”的一种运算如下：．
(1)小明通过计算发现______；
(2)利用以上信息得______，若，求的值；
(3)请判断等式是否成立？并说明理由．
25．（2023春·浙江·七年级专题练习）【阅读理解】
若满足，求的值．
解：设，则，
，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
(1)若满足，则 ；
(2)若满足，求的值；
(3)如图，在长方形中，，点是边上的点，，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
26．（2023春·七年级单元测试）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值．
解：∵，，∴，，
∴，∴．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)①若，，则___________；
②若，，则___________；
③若，则___________；
(2)如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求的面积．
方法一
方法二
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝25﹣6＝19
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
∴（a﹣b）2＝19﹣6＝13
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣
∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a﹣b）2＝13．
考点一：完全平方公式
考点二：完全平方公式的几何背景
考点三：完全平方式
考点四：平方差公式
考点五：平方差公式的几何背景
考点六：整式的混合运算—化简求值
考点考向
一．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
二．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
三．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
四．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
五．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
六．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
考点精讲
一．完全平方公式（共7小题）
1．（2022秋•临海市期末）下列计算正确的是（ ）
A．am•an＝amnB．am﹣an＝am﹣n
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（a2）3＝（a3）2
2．（2022春•慈溪市期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣5，ab＝﹣2，求a2+b2的值．
（2）已知（2021﹣a）（2022﹣a）＝4043，求（2021﹣a）2+（2022﹣a）2的值．
3．（2021春•北仑区期末）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（x﹣4）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（x﹣4）2+（x﹣9）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（x﹣2018）2+（x﹣2021）2＝41，求（x﹣2018）（x﹣2021）的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是35，分别以MF，DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
4．（2022春•西湖区校级期中）阅读：已知a﹣b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．小明的解法如下：
解：因为a﹣b＝﹣4，ab＝3，
所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝（﹣4）2+2×3＝22．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣5．ab＝2，求a2+b2﹣ab的值．
（2）已知（2023﹣x）（2022﹣x）＝20，求（2023﹣x）2+（2022﹣x）2的值．
5．（2022春•兰溪市期中）已知：x+y＝6，xy＝3．求下列各式的值：
（1）x2+4xy+y2
（2）x4+y4
6．（2022春•柯桥区期中）已知x+y＝3，且（x+3）（y+3）＝20．
（1）求xy的值；
（2）求x2+5xy+y2的值；
（3）求x﹣y的值．
7．（2022秋•沙洋县期末）已知：x+＝3，则x2+＝ ．
二．完全平方公式的几何背景（共5小题）
8．（2022春•温州期中）如图，在大长方形ABCD中放入5张相同的小长方形（图中空白部分）．若大长方形的周长是48，图中阴影部分的面积是78，则一张小长方形的面积 ．
9．（2022秋•临海市期末）【教材呈现】
已知a+b＝5，ab＝3，求（a﹣b）2的值．
【例题讲解】
同学们探究出解这道题的两种方法：
（1）请将方法二补充完整；
【方法运用】
（2）解答以下问题：
已知，求的值．
【拓展提升】
（3）如图，以Rt△ABC的直角边AB，BC为边作正方形ABDE和正方形BCFG．若△ABC的面积为5，正方形ABDE和正方形BCFG面积和为36，求AG的长度．
10．（2022春•海曙区校级期中）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3；图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为21；若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积是 ．
11．（2022秋•荆门期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝ ．
12．（2022春•长兴县期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；
（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）²，（a﹣b）²，ab之间的等量关系；
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
三．完全平方式（共5小题）
13．（2022春•定海区期末）如图，三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类1块，B类6块，C类9块，小明用这16块地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小明拼成的正方形边长是 ．
14．（2022春•绍兴期中）若关于x的多项式x2﹣（2k﹣1）x+9是完全平方式，则k的值为 ．
15．（2021春•拱墅区校级期中）若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是 ．
16．（2022春•拱墅区期末）如图，在正方形ABCD中放入两张边长分别为a和b的正方形纸片，已知HK＝c，正方形ABCD的面积记为S，阴影部分面积分别记为S1，S2．
（1）用含a，b，c的代数式分别表示KI，GD．
（2）若c＝2，且S1＝S2，求的值．
（3）若a＝b，试说明S﹣3（S1﹣S2）是完全平方式．
17．（2022春•嵊州市期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片 张．
（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（x﹣2019）2+（x﹣2021）2＝20，求x﹣2020的值．
四．平方差公式（共5小题）
18．（2022春•鹿城区校级期中）如果a﹣b＝4，ab＝1，则（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝ ．
19．（2022春•萧山区期中）一个多项式与（x﹣1）（x+1）的积为x3﹣mx2+nx+2，则m+2n＝ ．
20．（2021春•拱墅区校级月考）如图，是一道例题及部分解答过程，其中A、B是两个关于x，y的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
（1）直接写出多项式A和B，并求出该例题的运算结果；
（2）求多项式A与B的平方差．
21．（2022春•海曙区期中）计算：
（1）；
（2）（3a+b﹣2）（3a﹣b+2）．
22．（2022春•鄞州区校级期中）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，则＝ ．
五．平方差公式的几何背景（共5小题）
23．（2022春•临渭区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
24．（2022春•衢州期中）请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14．
求：①a+b的值；
②a2﹣b2的值．
25．（2022春•嘉兴期中）小明把图1中L形的纸片进行如图2的剪拼，改造成了一个长方形，你是否可以结合上述图形验证平方差公式？请进行具体说理．
26．（2021春•丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号）
27．（2022春•东阳市校级月考）如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形．
（1）上述操作能验证的公式是 ；
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ；
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．
六．整式的混合运算—化简求值（共8小题）
28．（2022春•柯桥区期末）已知x2﹣x＝2022，则代数式（x+1）（x﹣1）+x（x﹣2）＝ ．
29．（2022春•衢州期中）先化简，再求值：（a+2）2﹣a（3a+4），其中a＝﹣1．
30．（2022春•余杭区月考）（1）化简求值：（x+2y）（x﹣2y）﹣（﹣x﹣3y）2，其中．
（2）已知2x﹣y＝1，xy＝2，求4x3y﹣4x2y2+xy3的值．
31．（2022•鄞州区校级开学）先化简再求值：
（1）（x﹣2y）2﹣x（x+2y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝．
（2）已知m，n满足（m+n）2＝169，（m﹣n）2＝9，求m2+n2﹣mn的值．
32．（2021春•拱墅区校级期中）若代数式ab（5ka﹣3b）﹣（ka﹣b）（3ab﹣4a2）的值与b的取值无关，则常数k的值 ．
33．（2022春•南湖区校级期中）先化简再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣（a+2b）2+5b2，其中a＝1，b＝﹣1．
34．（2021春•南浔区期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝5，则h（4）＝h（2+2）＝5×5＝25，若h（3）＝k（k≠0），则h（3b）•h（27）（其中b为正整数）的结果是 ．
35．（2021•兰山区模拟）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当x＝8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3x3﹣4x2﹣35x+8进行改写：
3x3﹣4x2﹣35x+8＝x（3x2﹣4x﹣35）+8＝x[x（3x﹣4）﹣35]+8
按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当x＝8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值为1008．
请参考上述方法，将多项式x3+2x2+x﹣1改写为： ，当x＝8时，这个多项式的值为 ．
巩固提升
一、单选题
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分、从左图到右图）的面积，验证的公式为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算的结果为（ ）
A．B．1C．11D．4027
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·七年级单元测试）若是完全平方式，则n的值为（ ）
A．6B．或6C．1D．
6．（2023春·七年级单元测试）已知，则的值为（ ）
A．10B．17C．26D．33
7．（2023春·七年级单元测试）若，则（ ）
A．3B．6C．D．
8．（2023春·七年级单元测试）若，则的结果是（ ）
A．23B．25C．27D．29
9．（2023春·七年级单元测试）如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为（ ）．
A．6B．16C．26D．46
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）若实数x，y，z满足，求（ ）
A．5B．10C．15D．20
二、填空题
11．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知多项式是完全平方式，则_________．
12．（2023春·七年级单元测试）已知，，则___________．
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知：，则__________．
14．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，则__________．
15．（2022春·浙江温州·七年级校联考期中）某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为32，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为 _____．
16．（2023春·浙江·七年级专题练习）若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为__________．
三、解答题
17．（2023春·浙江·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中．
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中，．
19．（2023春·浙江·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中，．
20．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
(1)【探究】
①请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积__________；__________；
②比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________（用字母表示）；
(2)【应用】请应用这个公式完成计算：．
21．（2023春·七年级单元测试）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．
(1)求图1中空白部分的面积（用含的代数式表示）．
(2)图1，图2中空白部分面积、分别为19、68，求值．
(3)图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示．
22．（2023春·浙江·七年级专题练习）图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形．
(1)你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是________（用、表示）；
(2)请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：________，②：________；
(3)观察图（2），请写出、、之间的一个等量关系________；
(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
23．（2023春·浙江·七年级专题练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：．
(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来．
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值．
24．（2023春·七年级单元测试）已知a，b是实数，定义关于“”的一种运算如下：．
(1)小明通过计算发现______；
(2)利用以上信息得______，若，求的值；
(3)请判断等式是否成立？并说明理由．
25．（2023春·浙江·七年级专题练习）【阅读理解】
若满足，求的值．
解：设，则，
，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
(1)若满足，则 ；
(2)若满足，求的值；
(3)如图，在长方形中，，点是边上的点，，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
26．（2023春·七年级单元测试）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值．
解：∵，，∴，，
∴，∴．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)①若，，则___________；
②若，，则___________；
③若，则___________；
(2)如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求的面积．
方法一
方法二
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝25﹣6＝19
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
∴（a﹣b）2＝19﹣6＝13
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣
∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a﹣b）2＝13．
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