专题27 圆中定值-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）

这是一份专题27 圆中定值-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版），文件包含专题27圆中定值原卷版docx、专题27圆中定值解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。

1．已知是的切线，是的直径．求证：点、与的距离的和为定值．
【解答】证明：①根据题意可画出图形，过点作于点，过点作于点，连接
是的切线
又为中点，
为梯形的中位线，
即等于定长，为圆的直径．
②如图：当为的直径时，
点到的距离为的长，点到的距离为0，
点、与的距离的和半径，
以上可得：点、与的距离的和为定值．
2．如图，已知，在以为弦的弓形劣弧上取一点（不包括，两点），以为圆心作圆和相切，分别过，作的切线，两条切线相交于点．
求证：为定值．
【解答】证明：连接，，
由题意得：是内心，
平分，平分，
，，
，
，
中，，
所在圆是个定圆，弦和半径都是定值，
为定值，
为定值．
3．如图，半径给定的两圆同心，对小圆作三条切线，两条分别交于、、三点，记以、、为顶点的像扇形的区域面积分别为、、，的面积为，求证：为定值．
【解答】证明：由于半径给定，故切小圆的三条大圆的弦的长度为定值，每条弦把大圆分成两个弓形，不妨设大弓形的面积为，小弓形的面积为，分别计圆中阴影部分的面积分别为、、，
则，，
故，即为定值．
4．如图，已知为正方形的外接圆的劣弧上任意一点，求证：为定值．
【解答】解：延长到，使，连接，
，，
，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
即：，
为定值．
5．已知两同心圆的圆心为，过小圆上一点作小圆的弦和大圆的弦，且，求证：为定值．
【解答】证明：过点作垂线，设垂足为；作垂线，设垂足为，
设，，，大圆的半径为，小圆的半径为，
，
，
，，
，，
在中，，
在中，，
求得方程组：
解方程组的得：，
，
为定值．
6．已知直径、互相垂直，点是上一动点，连、、．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，求证：为定值．
【解答】证明：（1）如图1，连接、．
直径、互相垂直，
，，
．
由托勒密定理得到，即，
．
（2）如图2，连接、．
直径、互相垂直，
，，
．
由托勒密定理得到，即，
，
，即为定值．
7．如图，设为圆内一定点，过任作一弦，分别过，引圆的切线，再过分别作两切线的垂线，垂足为，．求证：为定值．
【解答】证明：过点作直径交于点，连接，过作直径交于，，
．
，，
且．
，，
．
①
同理可得：②
①②，得：
，
．
．
是直径，点是定点，
是定值，
是定值．
8．如图，过点和点的动圆分别与轴，轴相交于点，．
（1）求的值；
（2）设的内切圆的直径为，求证：为定值．
【解答】（1）解：作轴于，轴于，连接、，如图，
点坐标为，
，
四边形为正方形，
，，
为直径，
，即，
而，
，
在和中
，
，
，
；
（2）证明：的内切圆的半径，
的内切圆的直径，
，
即为定值．
9．如图1，点为轴正半轴上一点，交轴于、两点，交轴于、两点，点为劣弧上一个动点，且，．
（1）的度数为 120 ；
（2）如图2，连结，取中点，连结，则的最大值为 ；
（3）如图3，连接，．若平分交于点，求线段的长；
（4）如图4，连接、，当点运动时（不与、两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
【解答】解：（1）如图1，连接，，
，，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
故答案为120；
（2）由题可得，为直径，且，
由垂径定理可得，，
连接，如图2，又为的中点，
，且，
当，，三点共线时，此时取得最大值，
且，
的最大值为4，
故答案为4；
（3）如图3，连接，，
直径，
，
，
平分，
，
，
，
由（1）可得，，
；
证明：（4）由题可得，直径，
垂直平分，
如图4，连接，，则，
由（1）可得，为等边三角形，
，
，
将绕点顺时针旋转至，
，
，，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，，三点共线，
，
过作于，则，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
，
为定值．
10．问题：如图1，中，是直径，，点是劣弧上任一点．（不与点、重合）
求证：为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明．按思路完成下列证明过程．
证明：在上截取点．使．连接．
运用：如图2，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴相交于、两点，且，连接，．
（1）的长为 1 ．
（2）如图3，过、两点作与轴的负半轴交于点，与的延长线交于点，连接、，当的大小变化时，问的值是否变化，为什么？如果不变，请求出的值．
【解答】证明：如图1，在上截，
，
，
在和中，
，
，
，，
为直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，即为定值；
（1）如图2，连接，过作于点，
，，轴，
，
，
，
，
故答案为：1；
（2）的值不变，
如图2，
由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
如图3，在上取一点，使，连接，，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，即的值不变．
11．问题：如图1，中，是直径，，点是劣弧上任一点（不与点、重合），求证：为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明．按思路完成下列证明过程．
证明：在上截取点，使，连接．
运用：如图2，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴相交于、两点，且，连接、．
（1）的长为 1 ．
（2）如图3，过、两点作与轴的负半轴交于点，与的延长线交于点，连接、，当的大小变化时，问的值是否变化，为什么？如果不变，请求出的值．
【解答】解：证明：在上截，
，
，
在和中，
，
，
，，
为直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，即为定值；
（1）如图2，连接，过作于点，
，，轴，
，
，
，
，
故答案为：1；
（2）的值不变，
如图2，
由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
如图3，在上取一点，使，连接，，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，即的值不变．
12．如图，已知在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点关于轴的对称点为点，过点作直线平行于轴，动点到直线的距离等于线段的长度．
（1）求动点满足的关于的函数解析式，并画出这个函数图象；
（2）若（1）中的动点的图象与直线交于、两点（点在点的左侧），分别过、作直线的垂线，垂足分别是、，求证：①是外接圆的切线；②为定值．
【解答】（1）解：过点作直线平行于轴，
直线的解析式为，
，，
，点到直线的距离为：，
动点满足到直线的距离等于线段的长度，
，
动点轨迹的函数表达式，
图象如图1所示：
（2）证明：①如图：
设点点，
动点的轨迹与直线交于、两点，
，
，
，，
过、作直线的垂线，垂足分别是、，
，，
，
，
，
，
是直角三角形，为斜边，
取的中点，
点是的外接圆的圆心，
，
，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
，
是外接圆的切线；
②点点在直线上，
，，
，，是的外接圆的切线，
，，
，
即：为定值，定值为2．
13．内接于，过点作于点，延长交于点连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，连接，若，试说明线段与的差为定值．
【解答】解：（1）于点，
，
；
（2）如图2，连接、，
，，
，而，
，
；
（3）如图3，分别延长、，交于点；
平分，
；
在与中，
，
，
，
，
，
为的中位线，
，
．
14．如图，是的直径，，是弧的中点，，绕点旋转与的两边分别交于、（点、与点、、均不重合），与分别交于、两点．
（1）求证：；
（2）连接、，试探究：在绕点旋转的过程中，是否为定值？若是，求出的大小；若不是，请说明理由；
（3）连接，试探究：在绕点旋转的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：是的直径，
，
是弧的中点，
弧弧，
，
为等腰直角三角形，
，，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：为定值．
，，
，
，
，
，
；
（3）解：的周长有最小值．
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
的周长
，
当时，最小，此时，
的周长的最小值为．
15．如图，四边形的四个顶点在上，对角线、交于点且，于点．
（1）求证：；
（2）求证：为定值．
【解答】（1）证明：连接，延长交于，连接，．
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：，
，
定值．