专题11 A字型相似模型-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

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1．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是
A．B．C．D．
【解答】解：在中，，，
，．故选：．
2．如图，，分别是的边，上的点，且，连接，相交于点．若，则下列说法错误的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、，
，，
，
，
，故选项正确，不符合题意；
、，
，
，
，故选项正确，不符合题意；
、，
，，
，
．
，
，
，
，故选项错误，符合题意；
、，
．故选项正确，不符合题意．
故选：．
3．如图，将一个大三角形剪成一个小三角形及一个梯形．若梯形上、下底的长分别为6，14，两腰长为12，16，则剪出的小三角形是
A．B．C．D．
【解答】解：如图，，，，，
，
，
，
，
解得：，．
故选：．
4．如图，中，，，，是边上一点，作于，于，设，则
A．B．C．D．
【解答】解：在中，，，，
由勾股定理得，
，，，
，
，
，
，，
．
故选：．
二．填空题（共7小题）
5．如图，以线段为直径的半圆上有点，，且为的中点，作于，交延长线于点，弦，交于点，若，，则的长为 ．
【解答】解：设半圆圆心为，的半径为，连接交于，
，
，
是半圆的直径，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（舍去），
，
，
，
．
故答案为：．
6．如图，直线，且每两条相邻平行线之间距离相等，点，，分别在直线，，上，分别交直线，于点，，交直线于点，交直线于点，若的面积为4，则四边形的面积为 6 ．
【解答】解：直线，且每两条相邻平行线之间距离相等，
，分别是，的中点，
，
，
，
，
，
同理可证，，
，
，
四边形的面积为：
．
故答案为：6．
7．如图，已知的面积．
在图1中，若，则；
在图2中，若，则；
在图3中，若，则；
按此规律，若， ．
【解答】
解：对图（2）进行分析：可以标出每条边的所有分点的字母，从开始，逆时针为、、，
可以得到△，
且面积比为，也就可以得到，而△和△同底等高，面积相等，
所以，，同样道理，可得到，，，
那么．
根据上述分析可以得到，如果是的等分点，是的等分点，是的等分点，
那么，当时，则．
8．如图，、两点分别在的边、上，与不平行，当满足条件 （写出一个即可）时，．
【解答】解：满足条件即可
，为公共角，
．
故答案为：．
9．如图，、两点分别在的边、上，与不平行，当满足条件（写出一个即可） 时，．
【解答】解：满足条件即可
，为公共角，
．
故答案为：（答案不唯一）．
10．如图，已知的直径为10，将一块三角板如图放置，使它的直角顶点在上，两直角边与交于点，，使得．过点作于点，交于点，则线段 2 ．
【解答】解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
的直径为10，
，
在中，，
，
或（舍去），
，
，
11．如图，在中，，，，为的中点，沿过点的直线折叠，折痕与交于点，若与相似，则的长为 2.5或 ．
【解答】解：在中，，，，
，
为的中点，
，
分两种情况：
当时，
，
，
，
当时，
，
，
，
综上所述：的长为2.5或，
故答案为：2.5或．
三．解答题（共9小题）
12．如图，中，点，，分别在边，，上，，交于点，求证：．
【解答】证明：，
，，
，，
，，
，，
，
．
13．如图，为的直径，、为上两点，且点为弧的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．若的半径的长为3，，求的长．
【解答】解：连接，如图，
点为弧的中点，
弧弧．
，
，
．
，
，
，，
，
，，
，．
，
．
在中，，
．
14．某公园一角有一盏地面射灯照在一棵树上，树的影子投在墙上．已知树高，树与墙之间的距离为，与射灯之间的距离为．求树在墙上的影长．
【解答】解：根据题意知，，则，
故，即．
解得．
答：树在墙上的影长为3米．
15．如图，，射线和线段互相垂直，点是上的一个动点，点在射线上，，作并截取，连接并延长交射线于点．设，，求关于满足的函数关系式．
【解答】
作于，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
即，
，
16．如图，在中，，点是的中点，，点，同时从点出发，以相同的速度分别沿射线、射线运动，以为边向内部作正方形．当点到达点时，点，同时停止运动，设，正方形与重叠部分的面积为．当点运动至上时，．
（1）的长为 ；
（2）求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
【解答】解：（1）如下图，当点在上时，，
，
点是的中点，，
，
，，
，
，
即，
解得，
，
故答案为：；
（2）当时，，
当时，设交于，交于，如下图，
此时正方形的面积三角形的面积，
由题知，
同理（1）知，
，
，
，
又，
，
综上，与的函数关系式为．
17．如图，已知小丽的身高是1.6米，她在路灯下的影长为2米，此时她与路灯的距离为3米，且，，求路灯的高度．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
米，
路灯的高度为4米．
18．如图，一条东西走向的笔直公路的北侧，在间隔150米的点，处有两棵树，点表示电视塔所在的位置．小王沿着公路南侧行走，当他到达点的位置时，观察到树恰好可以挡住电视塔（即点，，在同一直线上）．当他继续向前走180米到达点的位置时，观察到树也恰好挡住电视塔．假设，且公路的宽为60米，求电视塔到公路南侧的距离．
【解答】解：过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：
米，米，米，，
，，
，
，
，
米，
电视塔到公路南侧的距离为360米．
19．小军和小丽准备测量学校旗杆的高度，如图，小军站在点处时，他的影子顶端恰好与旗杆的影子顶端重合，小丽测得小军的影子，小军向前走到达点处时，测得旗杆顶端的仰角为，已知小军的身高，点，，，在同一个水平直线上，，，，求旗杆的高度．
【解答】解：过点作，垂足为，
由题意得：
，，
设，
在中，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
经检验：是原方程的根，
，
旗杆的高度为．
20．如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，运动速度为1单位长度秒；同时点从点出发，沿以1单位长度秒的速度向终点运动，当点经过中点处时，停止1秒，然后继续运动．连结，以为边作正方形．设正方形的面积为，点的运动时间为秒．
（1）当时，求的长．
（2）当为等腰三角形时，求的值．
（3）求与之间的函数关系式．
（4）直接写出线段在整个运动过程中的最小值．
【解答】解：（1）点到达点所需的时间为（秒，
点到达中点所需的时间为（秒，
点到达点所需的时间为（秒，
运动时间的取值范围为，
在中，，
，
，
分以下三种情况：
①如图①，当点在线段上，即：
时，，
，
在和中，
，
，
，即：
，
解得：（符合题意），
此时，，
②当点与点重合时，即：
时，，，
，
同理可得：
，即：
，
解得：（不符合题意，舍去），
③当点在线段上时，即：
时，，，
，
同理可得：
，即：
，
解得：（不符合题意，舍去），
综上，的长为．
（2）根据等腰三角形的定义，分以下三种情况：
①如图②，当时，为等腰三角形，
过点作于点，
，
由等腰三角形的三线合一，得：
，
当点在线段上，即：
时，，
，
，
，
，
，即：
，
解得：（符合题意），
当点与点重合时，即：
时，，，
，
，
同理可得：
，即：
，
解得：（不符合题意，舍去），
当点在线段上时，即：
时，，，
，
，
同理可得：
，即：
，
解得：（不符合题意，舍去），
故此时；
②如图③，当时，为等腰三角形，
当点在线段上，即：
时，，
，
，
解得：（符合题意），
当点与点重合时，即：
时，，，
，
（不符合题意，舍去），
当点在线段上时，即：
时，，，
，
，
解得：（不符合题意，舍去），
故此时；
③如图④，当时，为等腰三角形，
过点作于点，
由等腰三角形的三线合一，得：
，
当点在线段上，即：
时，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
解得：（不符合题意，舍去），
当点与点重合时，即：
时，，，
，
，
同理可得：
，
，
解得：（不符合题意，舍去），
当点在线段上时，即：
时，，，
，
，
同理可得：
，
，
解得：（符合题意），
故此时，
综上，的值为或2或．
（3）如图②，当时，
在中，，
，，
，
，
，
，，
，
，
如图⑤，当时，
，，
过点作于点，则，，
，
，
如图⑥，当时，过点作于点，
则，，，，
，，
，
综上所述，与之间的函数关系式为．
（4）由（3）知：当时，，
，
当时，取得最小值，的最小值为；
当时，，
当时，取得最小值，但，故此时不存在最小值；
当时，，
此时不存在最小值．
综上所述，的最小值为．