专题12 手拉手模型证相似-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

这是一份专题12 手拉手模型证相似-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版），文件包含专题12手拉手模型证相似原卷版docx、专题12手拉手模型证相似解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。

1．如图，且，，、交于点．则下列四个结论中，①；②；③；④、、、四点在同一个圆上，一定成立的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：且，，
，，故②正确；
，
即，故①正确；
，
，，
，
，
，故③正确；
，，
，
，，
即，
，
，
，
，
、、、四点在同一个圆上，故④正确．
故选：．
二．解答题（共15小题）
2．如图，已知．求证：．
【解答】证明：，
，，
，
又，
．
3．如图，在和中，，．
（1）和相似吗？为什么？
（2）如果，则成立，据此你能说明和相似吗？
【解答】解：（1）
；
（2），
．
4．如图，在公共顶点为的与中，直角边，若．求证：．
【解答】证明：如图，设交于，延长交于，连接．
，
，
又，
，
、、、四点共圆，
，
，于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
5．如图，与有公共的顶点，，，且．点、、分别为、、的中点．
（1）如图1，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）．连接、，
，，
，，
，
；
点、、分别为、、的中点，
根据中位线定理可得，，
．
（2）．连接、，
，，
，，
，
，
点、、分别为、、的中点，
根据中位线定理可得，，
即得．
6．为等边三角形，为边上一点，为射线上一点，，，，，．
（1）求证：；
（2），且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，若，求的长．
【解答】（1）证明：如图1中，延长到，使得，连接．
，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．
（2）解：如图2中，取的中点，连接，作于，于．
由（1）可知，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
设，则，，，
在中，，
，
，
，，
，即，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
．
7．在和中，，，．、分别为、的中点，连接、．
（1）如图1，当时，的值是 ，直线与直线相交所成的较小角的度数为 ；
（2）如图2，当时，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数；
（3）如图3，当时，若点为的中点，点在直线上，请直接写出点、、在同一直线上时的值．
【解答】解：（1）如图1，连接，并延长交于，设直线与的交点为，
，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，，
、分别为、的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）如图2，连接，并延长交于，设直线与的交点为，过点作于，
，，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
、分别为、的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
直线与直线相交所成的较小角的度数为；
（3）如图3，当点在线段上时，连接，，
，点为的中点，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
、分别为、的中点，
，，
，
又点是中点，
，
，
，
当点在线段上时，同理可求，
综上所述：的值为或．
8．（1）如图①，将绕点旋转任意角度得到△，连接、，证明：．
（2）如图②，四边形和四边形均为正方形，连接，，求的值．
【解答】证明：（1）将绕点旋转任意角度得到△，
，，，
，
，
；
（2）连接和，
四边形和四边形均为正方形，
，，，
则，
，，
．
．
．
9．在中，，，，为边上一点，点，分别在边，上，．
（1）如图1，当为中点时， ；
（2）如图2，若，求的值．
【解答】解：（1）过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
为中点，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
的值为．
10．已知：点、、在同一条直线上，，线段、交于点．
（1）如图1，若，
①问线段与有怎样的数量关系？并说明理由；
②求的大小（用表示）；
（2）如图2，若，，则线段与的数量关系为 ， （用表示）；
（3）在（2）的条件下，把绕点逆时针旋转，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接并延长交于点．则 （用表示）．
【解答】解：（1）如图1．
①，理由如下：
，，
，
，
同理可得：，
，
，
即：．
在与中，
，
，
；
②，
，
，
；
（2）如图2．
，，
，
同理可得：，
，
，
即：．
，，
．
在与中，
，，
，
，，
；
，
．
故答案为：，；
（3）如右图．
，，
，
同理可得：，
，即．
，，
．
在与中，
，，
，
，
，，
．
故答案为：．
11．若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：
如图1，与互为“旋转位似图形”．
①若，，，则 ；
②若，，，则
（2）知识运用：
如图2，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”．
（3）拓展提高：
如图3，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”．若，，求的值．
【解答】解：（1）①和互为“旋转位似图形”，
，
，
又，，
；
②，
，
，，，
，
，
故答案为：；；
（2），，
，
，即，
又，
，
，
又，，
，
，
，
绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形，
和互为“旋转位似图形”；
（3），
由题意得：，
，
，
，
，
，
由勾股定理可得，
，
．
12．（1）问题发现
（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．
填空：①的度数是 ；②线段，之间的数量关系为 ；
（2）类比探究
如图2，和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点．请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在中，，，，点在边上，于点，，将绕着点在平面内旋转，请直接写出直线经过点时，点到直线的距离．
【解答】解：（1）如图1中，
和均为等边三角形，
，，，
，
，
，，
设交于点．
，
，
，
故答案为，．
（2）结论：，．
理由：如图2中，
，，，
，，
，
，，
，
．
（3）如图3中，
，
，，，四点共圆，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
点到直线的距离等于．
如图4中，当，在同一直线上时，同法可知，，
点到直线的距离等于．
综上所述，点到直线的距离等于．
13．如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 是 （填“是”或“不是” “旋转位似图形”；
如图1，和互为“旋转位似图形”，
①若，，，则 ；
②若，，，则 ；
（2）知识运用：
如图2，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转位似图形”；
（3）拓展提高：
如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求出和的值．
【解答】解：（1）两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形，把其中一个三角形绕公共顶点旋转后构成位似图形，故它们互为“旋转位似图形”；
①和互为“旋转位似图形”，
，
，
又，，
；
②，
，
，，，
，
，
故答案为：是；；；
（2）证明：，，
，
，即，
又，
，
，
又，，
，
，
和互为“旋转位似图形”；
（3），
，，
，，
，，代入求得：．
如图3，过作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理，得；
综上，，．
14．已知正方形，动点在上运动，过点作射线于点，连接．
（1）如图1，在上取一点，使，连接，求证：；
（2）如图2，点在延长线上，求证：；
（3）如图3，若把正方形改为矩形，且，其他条件不变，请猜想，和的数量关系，直接写出结论，不必证明．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，
过点作交的延长线于，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：；
证明：如图3，
过点作交于，
，
四边形是矩形，
，
，
同（1）的方法得，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
．
15．（1）问题发现：
如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．
①线段，之间的数量关系为 ；
②的度数为 ．
（2）拓展探究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，求的值及的度数；
（3）解决问题：
如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离．
【解答】解：（1）①和均为等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
②，
，
，
，
；
故答案为：①，②；
（2）和均为等腰直角三角形，
，，，
，即，
，
，，
，
，
，
，
故，；
（3）点满足，
点在以为圆心，为半径的圆上，
，
点在以为直径的圆上，
如图3，点是两圆的交点，若点在上方，连接，过点作于，过点作于，
，
，
，
，
，，
，四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
在中，，
即，
解得：或．
点到直线的距离为或．
16．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且．
（1）观察猜想
小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时，
①的值为 ；
②的度数为 度；
（2）类比探究
如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转，连接，，设的延长线交于点，请求出的值及的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸
若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长．
【解答】解：（1）如图（2）中，设交于点．
，都是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，，
，
，
故答案为：，45．
（2）如图（3）中，设交于点．
，都是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，，
，
，
，．
（3）如图（4）中，当于时，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
如图（4）中，当时，延长交于．
同法可得，，，
，
综上所述，的长为或．