江苏省盐城市亭湖区盐城景山中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份江苏省盐城市亭湖区盐城景山中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共30页。试卷主要包含了抛物线的顶点坐标是，已知中，，，则的形状，方程的解是等内容，欢迎下载使用。

考试时间∶120分钟 卷面总分∶150分
一．选择题（（每题3分，共24分）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是
A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定
3．已知中，，，则的形状（ ）
A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形D．无法确定
4．已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么（ ）
A．±3B．3C．4.5D．5
5．如图，顶点A、B、C均在上，，则为（ ）
A．B．C．D．
6．每年8月8日是我国全民健身日，据有关部门统计，我省某市居民8月份第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，若设人均运动时长周平均增长率为x，依题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，通过滑轮的牵引，一个滑块沿坡角为的斜坡向上移动了，此时滑块上升的竖直高度是（ ）
A．B．C．D．
8．抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是( )

A．B．C．D．
二．填空题（每题3分，共24分）
9．方程的解是
10．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 .
11．已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为4，则此圆锥的侧面积为 .（结果保留）
12．如图，是的直径，弦，垂足为点E，，则 ．
13．如图，实线部分是用三个等圆中的4条弧设计的一个花坛俯视图，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，圆的半径为6米，则一个花坛的周长为 米．（结果保留）
14．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ．
15．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ．

16．如图，在中，以为边，在的下方作矩形，且使，连接，则的最大值为 ．
三．解答题（共102分）
17．计算
(1)；
(2)．
18．关于的一元二次方程．
(1)若方程总有两个实数根，求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若两个实数根，满足，求的值．
19．2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕．小明和小亮相约一起去亚运会比赛现场为中国队加油，比赛现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
(1)小明购买门票在A区观赛的概率为________；
(2)求小明和小亮在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表说明理由）
20．某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八（1）、八（2）班各选取五名选手参赛.两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分）
八（1）班：8，8，7，8，9
八（2）班：5，9，7，，9
学校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表：
根据以上信息，请解答下面的问题：
(1)填空：______，______，______.
(2)已知八（1）班比赛成绩的方差是，请你计算八（2）班比赛成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定.
21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．
(1)请画出；
(2)请直接写出各顶点的坐标；
(3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________．
22．石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点D是上的一点，连接并延长与的延长线交于点E，连接，已知．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
23．已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：
(1)求这个二次函数表达式；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象；
(3)当x的取值范围为______时，．
24．如图为钓鱼爱好者购买的神器“晴雨伞”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，C，E在一条直线上，，．
(1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）；
(2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点E下降的高度（结果精确到）．（参考数据：）
25．如图，在中，，点P是边上由B向C运动（不与点B、C重合）的一动点，P点的速度是，设点P的运动时间为，过P点作的平行线交于点N，连接．

(1)线段 ___________；线段___________；（请用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时；
(3)在点P的运动过程中，是否存在某一时刻t的值，使得的面积有最大值？若存在，请求出t的值，并计算最大面积；若不存在，请说明理由．
26．【定义】
例如，如图1，过点A作交于点B，线段的长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离．
【探索】
当与x轴平行时，，
当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，___________．
【应用】
如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处，
（1）___________．
（2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值．
【拓展】
（3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出最高应为多少？
27．如图1，在中，点D在边上，点P在边上，若满足，则称点P是点D的“和谐点”．
(1)如图2，．
①求证：点P是点D的“和谐点”；
②在边上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中用尺规作图，作出点Q的位置．（保留作图痕迹）
(2)如图3，以点A为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，已知点，，点P在线段上，且点P是点D的“和谐点”．
①若，求出点P的坐标；
②若满足条件的点P恰有2个，直接写出长的取围是___________．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据抛物线的顶点式的顶点坐标为，即可得出结论．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的顶点式的特征是解题的关键．
2．C
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选C．
3．C
【分析】本题考查了由三角函数值求锐角、三角形的内角和，根据特殊角的三角函数值得、，再利用三角形的内角和即可求解，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：由，得，
，得，
，
故是钝角三角形，
故选：C．
4．B
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项，注意线段不能为负．
【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：
比例中项的平方等于两条线段的乘积．
则，
解得（线段是正数，负值舍去），
所以．
故选：B．
【点睛】此题考查了比例线段，正确理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数是解题关键．
5．A
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
【详解】解：由圆周角定理可知：，
，
，
解得，
故选A．
6．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据第一周人均运动时长周平均增长率第三周人均运动时长列出方程即可．
【详解】解： 由题意可得：
，
故选C．
7．D
【分析】根据正弦角的定义进行解答即可.
【详解】∵，
∴滑块上升的竖直高度=，故选D.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决此题的关键是熟练掌握正弦角的定义.
8．D
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．由该抛物线开口向下，可知，即可判断选项A；由该抛物线对称轴为，结合，可得，即可判断选项B；由图像可知，当时，可有，即可判断选项C；由图像可知，当时，可有，即可判断选项D．
【详解】解：A.该抛物线开口向下，所以，故该选项正确，不符合题意；
B. 该抛物线对称轴为，又因为，所以，故该选项正确，不符合题意；
C. 由图像可知，当时，可有，故该选项正确，不符合题意；
D. 由图像可知，当时，可有，故该选项不正确，符合题意．
故选：D．
9．
【分析】移项后根据因式分解法求解方向即可．解题的关键是因式分解法在解一元二次方程中的灵活运用．
【详解】∵
∴
∴或
∴
故答案为：．
10．
【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，周长比也等于相似比，由此可解．
【详解】解：两个相似三角形对应边上的高之比是，
这两个相似三角形的相似比为，
它们的周长之比等于．
故答案为：．
11．
【分析】根据圆锥的底面半径为4，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】解：依题意知母线长，底面半径，
则由圆锥的侧面积公式得．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
12．10
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．根据得，进而根据垂径定理得出，连接，设，则，根据勾股定理得方程解答．
【详解】解：连接，设，则，
∵，
∴，
∵是的直径，弦，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
解得，
即的长为10．
故答案为：10．
13．
【分析】本题考查了弧长的计算，先利用圆的半径的关系求出圆心角，再根据弧长公式进行计算即可，根据弧长公式正确计算是解答本题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
，
∵三个圆是三个等圆，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
则左右两个圆的圆心角为，
中间是一个完整圆的周长，
∴（米），
即花坛的周长为米，
故答案为：．
14．##
【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题．
根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【详解】解：∵抛物线与直线交于两点，
∵，
∴，
∴由图可知．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查计算不规则图形的面积，设旋转后与半圆O交于点C，连接，根据求解即可．
【详解】解：设旋转后与半圆O交于点C，连接，过点C作于点D，如图，

，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．##
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点A作，且使得，连接，，，利用三角形相似的性质求解即可．
【详解】过点A作，且使得，连接，，，
∵，，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
因为，
当B，F，E三点共线时，的最大值为，
故答案为：．
17．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，特殊角三角函数的混合运算；熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
（2）先代入三角函数值，再计算乘方和乘法，最后计算减法即可．
【详解】（1），
，
则，
或，
解得，；
（2）原式
．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和．
（1）由方程求出判别式即可．
（2）由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，进而求解．
【详解】（1）解：，
∵方程总有两个实数根，
（2）由，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图，用符合条件的情况数除以所有等可能发生的情况数即可．
【详解】（1）小明购买门票在A区观赛的概率为．
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小亮在同一区域观看比赛的结果有4种，
∴小明和小亮在同一区域观看比赛的概率为．
20．(1)8，8，8
(2)八（1）班成绩更稳定
【分析】（1）根据中位数，平均数和众数的定义，即可求出a、b、c的值；
（2）根据题意求出八（2）班比赛成绩的方差为，即可得．
【详解】（1）解：，
八（1）班：7，8，8，8，9，
∵8出现的次数最多，
∴众数为：8，
即，
，
故答案为：8，8，8；
（2）解：由（1）可知，八（2）班的平均数是8，
方差为：
=
=
=，
八（1）班成绩更稳定．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，解题的关键是理解题意，正确计算．
21．(1)见解析
(2)，，
(3)
【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由图可得，，，．
（3）解：由题意可得，点的坐标为．
故答案为：．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质推出，再证，即可证明是的切线；
（2）利用三角函数解，设的半径长为r，则，再用勾股定理解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，

为的切线，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
由（1）知，
，
，
设的半径长为r，则，
在中，，
，
解得，
即的半径长为．
【点睛】本题考查解直角三角形，切线的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，解题的关键掌握切线的判定定理，通过添加辅助线构造直角三角形．
23．(1)；
(2)见解析
(3)．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、抛物线的画法以及根据图象求自变量的取值范围等知识，
（1）从表格中选取图象上的三个点，然后根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）在已知的坐标系中根据二次函数图象的画法解答即可；
（3）根据图象，所求的结果是二次函数在直线以上的对应的x的取值范围，据此解答即可．
【详解】（1）解：把点代入二次函数中，
得：，
解得：，
∴这个二次函数的解析式是；
（2）解：二次函数的图象如图所示：
；
（3）解：由图象可得：当时，x的取值范围是．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用和锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）在中利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答；
（2）过点E作于点F，可得四边形是矩形，，利用锐角三角函数解，分别求出和时的长度，即可求解．
【详解】（1）解：由对称性可知，，，
在中，，
，
，
，
即遮蔽宽度为；
（2）解：如图，过点E作于点F，
，，，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
当时，，
当时，，
，
点E下降的高度为．
25．(1)，
(2)
(3)时，的面积有最大值，最大值为
【分析】（1）用勾股定理解求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求解；
（2）根据，，可得，推出，再用勾股定理解，推出，可得，解方程即可；
（3）根据构建关于t的二次函数，即可求解．
【详解】（1）解： P点的速度是，
，
中，，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
故答案为：，；
（2）解：，
当时，，
，
由（1）可得，
在中，由勾股定理得，
，
解得或（舍），
当时，；
（3）解：由题意得，，
，
，
当时，的面积有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了三角形综合题、勾股定理、相似三角形的性质与判定、二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题．
26．探索： 应用：（1） （2） 拓展:（3）
【分析】探索:先求得，再运用勾股定理求得证得，利用相似三角形性质即可求得答案；
应用：（1）延长交轴于点，则利用解直角三角形可得，把 代入即可求得答案；
（2）利用待定系数法可得直线的解析式 设则N(t, 可得，进而可得 ，运用二次函数的性质即可得出答案；
拓展：取的中点，作交轴于点，延长交圆弧于点，过点作轴交于点，此时最大，运用垂径定理可得再利用解直角三角形即可求得答案.
【详解】探索：∵直线为，如图，设直线与轴分别交于点，
令得 ，
∴ ，即 ，
令 ，得，
解得：，
∴，即
，
∵ 轴，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
应用：（1）如图， 延长交轴于点，则，
，
，，
，
，
，
把 代入得:，
解得：，
故答案为：；
（2）由（1）知, 设直线的解析式为则 ，
解得：，
，
如图，设 ，则，
，
，
，
∵轴，
，
，
，
，

∴当 时，取得最大值 ，
答：的最大值为
【拓展】如图， 取的中点，作交轴于点，延长交圆弧于点，过点作轴交于点，此时最大，
，
，
在 中, ，
，
，
又，
，
，
，
∵轴，
，
，
，
答：最高应为
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的应用，二次函数最值求法，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，圆的性质，垂径定理等，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键.
27．(1)①证明见解析，②画图见解析，证明见解析
(2)①或；②
【分析】（1）①由考虑平角，只要证明即可； ②以B为圆心，为半径作弧交于点Q，点Q即为所求．证明B、Q、P、D四点共圆即可；
（2）①通过求出的长度，然后求出直线的表达式为：，设点P的坐标为，利用B、P两点间的距离公式解方程求出点P； ②求出两个临界状态时的：一是当点P与点C重合时；二是的外接圆与线段恰有一个交点时，从而可得解．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点P是点D的“和谐点”；
②以B为圆心，为半径作弧交于点Q，点Q即为所求，如图：
连接，， ∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴B、Q、P、D四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴Q也是点D的“和谐点”；
（2）①∵，，
∴，
∴ ，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴直线的表达式为：， 设点P的坐标为，
∵点，
∴，
∴，
∴，，
∴或；
②当点P与点C重合时，的外接圆与线段恰有两个交点，恰有两个“和谐点”，如图：
∵点，，
∴，
由①知，
∴ ，即 ，
∴，
∴；
当的外接圆与线段恰有一个交点时，如图：
此时的外接圆与线段相切，则，且为直径，
∴，
∵点P的坐标为，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
综上，若满足条件的点P恰有2个，AD长的取值范围是．
【点睛】本题在新定义下考查了三角形相似，圆的性质，直线与圆的位置关系等知识，渗透了方程和数形结合的思想，关键是理解定义，紧靠．对于（2）②，关键是找出两个临界状态时的：一是当点P与点C重合时；二是的外接圆与线段恰有一个交点时．
班级
平均数
众数
中位数
八（1）
8
b
c
八（2）
a
9
9
x
…
1
3
…
y
…
0
1
0
…