河北省保定市高阳县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份河北省保定市高阳县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共26页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题．等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共16个小题；1-6小题，每题3分；7-16小题，每题2分；共38分．）．
1．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数是反比例函数，图象在第一、三象限内，则的值是（ ）
A．3B．-3C．D．
4．如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
5．用的绳子围成一个的矩形，则矩形面积与一边长为之间的函数关系式为（ ）
A．B． C． D．
6．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C．D．
7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
8．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．438（1+x）2=389B．389（1+x）2=438
C．389（1+2x）=438D．438（1+2x）=389
9．如图，的内切圆与分别相切于点，且，，则阴影部分（即四边形）的面积是（ ）
A．4B．C．D．9
10．如图，直线与轴、轴分别交于两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A．B．2C．2D．3
12．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数（）的图象与线段相交于点，且是线段的中点，点关于直线的对称点的坐标为，若的面积为3，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
13．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5B．4C．3D．2
14．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元
D．8月份该厂利润达到200万元
15．正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上，若正方形ADEF的面积为4，且BF＝AF，则k的值（ ）
A．3B．6C．8D．12
二、填空题（本大题共3个小题，每空2分，共10分．请将答案写在答题卡上．）
17．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 米．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，点.若与关于原点成中心对称，则点的对应点的坐标是 ；和的位置关系和数量关系是 .

19．如图，曲线AB是抛物线的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是双曲线的一部分.曲线AB与BC组成图形W由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”.若点，在该“波浪线”上，则m的值为 ，n的最大值为 .
三、解答题（本大题共7个小题，共67分．解答应写出文字说明，说理过程或演算步骡，请将解答过程写在答题卡相应位置）．
20．解方程
(1)
(2)
21．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（－3，m＋8），B（n，－6）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
22．已知抛物线的顶点为，且经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)该抛物线是否经过点？若不经过，怎样沿轴方向平移该抛物线，使它经过点？并写出平移后的新抛物线的解析式．
23．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
24．为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，2021年12月3日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；④24点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：
（1）本次随机抽查的学生人数为__________人，补全图（Ⅰ）；
（2）参加活动的学生共有500名，可估计出其中最喜爱①数独挑战的学生人数为__________人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为__________度；
（3）计划在①，②，③，④四项活动中随机选取两项作为重点直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中①，④这两项活动的概率
25．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，如图建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线表示的二次函数解析式；
(2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，求他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处．
26．如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动，点P、Q同时出发，运动时间为t秒，是的外接圆．
(1)当时，的半径是________，与直线的位置关系是________；
(2)在点P从点A向点B运动过程中，当与矩形各边相切时，求t的值；
(3)连接，交于点N，如图2，当时，t的值是________．
参考答案与解析
1．D
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．A
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【详解】解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故选A．
【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，关键是要牢记抛物线的顶点式的特点．
3．A
【分析】根据反比例函数的定义建立关于m的一元二次方程，再根据反比例函数的性质解答．
【详解】∵函数是反比例函数，
∴m2-10=-1，
解得，m2=9，
∴m=±3，
当m=3时，m-2＞0，图象位于一、三象限；
当m=-3时，m-2＜0，图象位于二、四象限；
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义和性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
4．B
【分析】根据方程根的定义得到，则，整体代入代数式即可得到答案．
【详解】解：∵a是一元二次方程的根，
∴，
∴
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义、代数式的求值等知识，根据一元二次方程根的定义得到是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意求出矩形的另一边长，即可求解．
【详解】解：由题意得：矩形的另一边长，
∴，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了三角形的内心，三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，据此即可求解．
【详解】解：三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，
A：作出了三角形一个内角角平分线与一条边的垂直平分线，不符合题意；
B：作出了三角形两个内角角平分线，符合题意；
C：作出了三角形两条边的垂直平分线，不符合题意；
D：作出了三角形一个内角角平分线与一条边的垂直平分线，不符合题意；
故选：B
7．A
【分析】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根，方程没有实根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式可得，解之得出k的范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：A．
8．B
【详解】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，根据题意得：
389（1+x）2=438．
故选B．
9．A
【分析】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键．先利用勾股定理判断为直角三角形，且，继而证明四边形为正方形，设的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∵为内切圆，
∴，且，
∴四边形为正方形，
设的半径为r，
∴，
∴，
连接，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
10．D
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，作轴，证是解题关键．
【详解】解：作轴，如图所示：
令，则；令，则；
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴点的坐标是
故选：D
11．C
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．
【详解】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴，
∴∠E=∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴DB=OD=2，
则半径OB等于：．
故选C．
【点睛】此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出△ODB是等腰直角三角形是解题关键．
12．D
【分析】根据对称性求出C点坐标，进而得OA与AB的长度，再根据已知三角形的面积列出n的方程求得n，进而用待定系数法求得k．
【详解】∵点C关于直线y=x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），
∴C（n，1），
∴OA=n，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∵△OAB的面积为3，
∴n×2＝3，
解得，n=3，
∴C（3，1），
∴k=3×1=3．
故选D．
【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，关键是根据对称求得C点坐标及由三角形的面积列出方程．
13．B
【详解】【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
【详解】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
14．D
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【详解】解：A、设反比例函数的解析式为y=，
把（1，200）代入得，k=200，
∴反比例函数的解析式为：y=，
当x=4时，y=50，
∴4月份的利润为50万元，故此选项正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意；
C、当y=100时，则100=，
解得：x=2，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项正确，不符合题意．
D、设一次函数解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：y=30x-70，
故y=200时，200=30x-70，
解得：x=9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．
15．A
【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
【详解】解：如图，连接PA、PB、OP，
则S半圆O=，S△ABP=×2×1=1，
由题意得：图中阴影部分的面积=4（S半圆O﹣S△ABP）
=4（﹣1）=2π﹣4，
∴米粒落在阴影部分的概率为，
故选A．
【点睛】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积．
16．C
【分析】先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，求得AB．再设B点的横坐标为t，则E点坐标(，)，根据点B、E在反比例函数的图象上，列出t的方程，即可求出k．
【详解】∵正方形ADEF的面积为4，
∴正方形ADEF的边长为2，
∴BF=AF=2，AB=AF+BF=2+2=4．
设B点坐标为(，4)，则E点坐标(，)，
∵点B、E在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数(k为常数，)的图象是双曲线，图象上的点(，)的横纵坐标的积是定值k，即．
17．
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，如图，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和可求出为的一半，为2米，抛物线顶点C坐标为，点A坐标为，
通过以上条件可设顶点式，
代入A点坐标，可得，
解得：，所以抛物线解析式为，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
，解得：，
所以水面宽度为米，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
18． 平行且相等
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可写出对应点坐标，再根据中心对称的性质即可判断对应线段的关系.
【详解】如图，

∵关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数，且，
∴，
根据旋转的性质可知，AB=A′B′，∠A=∠A′，
∴AB∥A′B′.
故答案为：；平行且相等.
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，明确关于原点对称的点的坐标特征及旋转的性质是解题的关键.
19． 1 5
【分析】由二次函数解析式可得点A坐标，由图象可知A、C之间的距离为5，即可判断点P与点A的纵坐标相同，由反比例函数图象可知在每个区间y随x的增大而减小，可得该“波浪线”上y的最大值为二次函数的最大值，把二次函数解析式配方成顶点式，可得函数最大值，即可得n的最大值.
【详解】∵抛物线解析式为，
∴x=0时，y=1，
∴点A坐标为（0，1）
由图象可知A、C之间的距离为5，
∴2020÷5=404，
∴点P与点A的纵坐标相同，
∴m=1，
由反比例函数图象可知，在每个区间y随x的增大而减小，
∴该“波浪线”上y的最大值为二次函数的最大值，
∵=-4(x-1)2+5，
∴该二次函数的最大值为5，
∴n的最大值为5.
故答案为：1，5
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的性质，根据二次函数顶点式得出最大值是解题关键.
20．(1)，
(2)，
【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．
（1）利用配方法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
【详解】（1）解：
（2）解：
21．（1）y=-，y=-2x-4；（2）8
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；
（2）设AB与x轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再根据S△AOB=S△AOC+S△BOC列式计算即可得解．
【详解】（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y=得，
=m+8，
解得m=﹣6，
m+8=﹣6+8=2，
∴点A的坐标为（﹣3，2），
反比例函数解析式为y=﹣，
将点B（n，﹣6）代入y=﹣得，﹣=﹣6，
解得n=1，
∴点B的坐标为（1，﹣6），
将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y=kx+b得，
，
解得，
∴一次函数解析式为y=﹣2x﹣4；
（2）设AB与x轴相交于点C，
令﹣2x﹣4=0解得x=﹣2，
∴点C的坐标为（﹣2，0），
∴OC=2，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC，
=×2×2+×2×6，
=2+6，
=8．
22．(1)
(2)不经过点B，向右平移1个或5个单位长度即可过点，或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，点在函数图象上，二次函数的平移；
（1）将，代入即可求解；
（2）将代入解析式，即可判断；设平移后的新抛物线的解析式为，求出的值，用平移规律，即可求解；
掌握解法及平移规律“左加右减，上加下减．”是解题的关键．
【详解】（1）解：抛物线的顶点为，
，
抛物线经过点，
，
解得，
．
（2）解：当时，
，
该抛物线不经过点；
设平移后的新抛物线的解析式为，
经过点，
，
解得：或，
将抛物线向右平移1个或5个单位长度即可过点，
平移后的新抛物线的解析式为或．
23．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可．
（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．
∴∠DOP=180°﹣120°=60°．
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．
∴OD⊥DP．
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，
∴OP=6cm，
由勾股定理得：DP=3cm．
∴图中阴影部分的面积
24．（1）60，见解析；（2）125、90；（3）
【分析】（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校人数乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数，再用360°乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）本次随机抽查的学生人数为：18÷30%=60（人），
则喜爱⑤玩转魔方游戏的人数为：60-15-18-9-6=12（人），
补全图（Ⅰ）如下：
故答案为：60；
（2）估计该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数为：500×=125（人），
图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为：360°×=90°，
故答案为：125，90；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个，
∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为=．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
25．(1)
(2)1米
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题，利用函数的思想方法来解决问题．
（1）先确定抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式；
（2）设运动员带球向正后方移动m米，则可用含m的式子表示移动后的抛物线解析式，把点代入求出得m的值即可．
【详解】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数解析式为：；
（2）解：设运动员带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：，
把点代入得：，
解得（舍去）或，
当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点正上方处．
26．(1)，相离
(2)或
(3)
【分析】（1）过M作于F，交于E，如图1，先根据圆周角定理得到求出为的直径，求解，，利用勾股定理求解即可得到的半径为；证明求得，进而求得，根据直线与圆的位置关系可得出结论；
（2）分当与边相切时和当与边相切时两种情况，根据切线性质，作辅助线，利用相似三角形和勾股定理求解即可；
（3）过D作交延长线于G，连接，利用圆周角定理和角平分线的性质证得，进而可证明得到，然后由列方程求解即可．
【详解】（1）解：过M作于F，交于E，如图1，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，
∵是的外接圆，
∴为的直径，
当时，，，
则，，
∴，
∴的半径为；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与直线的位置关系是相离，
故答案为：，相离；
（2）解：当与边相切时，如图，设切点为E，连接并延长交于F，
则，，
∴，，
由题意，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得；
当与边相切时，如图，设切点为E，连接并延长交于F，则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
综上，当与矩形各边相切时，t的值为或；
（3）解：过D作交延长线于G，连接，则
∵，，，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，整理得，
解得，（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查四边形与圆的综合，涉及矩形的性质、圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识 的联系与运用，添加合适的辅助线和运用分类讨论思想求解是解答的关键．