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    上海市青浦区2023年中考一模数学考试试卷
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    上海市青浦区2023年中考一模数学考试试卷

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    这是一份上海市青浦区2023年中考一模数学考试试卷,共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题(本大题共6小题,共24.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
    1.已知三个数1、3、4,如果再添上一个数,使它们能组成一个比例式,那么这个数可以是( )
    A.6B.8C.10D.12
    2. 三角形的重心是( )
    A.三角形三条角平分线的交点
    B.三角形三条中线的交点
    C.三角形三条边的垂直平分线的交点
    D.三角形三条高的交点
    3. 如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍,那么锐角A的正弦值( )
    A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的12
    C.没有变化D.不能确定
    4. 已知非零向量a,b,c,下列条件中,不能判定向量a与向量b平行的是( )
    A.a//c,b//cB.|a|=2|b|
    C.a=2c,b=3cD.a+2b=0
    5.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.若OA:OC=OB:OD,则下列结论中一定正确的是( )
    A.①与②相似B.①与③相似C.①与④相似D.②与④相似
    6. 已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数).
    命题①:该函数的图象经过点(−1,0);命题②:该函数的图象经过点(−3,0);命题③:该函数的图象与y轴的交点位于x轴的下方;命题④:该函数的图象的对称轴为直线x=−1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题,那么这个假命题是( )
    A.命题①B.命题②C.命题③D.命题④
    二、填空题(本大题共12小题,共48.0分)
    7. 如果a:b=2:3,那么(a+b):b= .
    8. 已知向量a与单位向量e方向相反,且|a|=5,那么a= (用向量e的式子表示).
    9.如果两个相似三角形的周长比为1:2,那么它们的对应中线的比为 .
    10. 如果抛物线y=x2+x+m−2经过原点,那么m的值等于 .
    11. 抛物线y=3x2−1在y轴右侧的部分是 .(填“上升”或“下降”)
    12.将抛物线y=x2向左平移1个单位后的抛物线表达式为 .
    13.在△ABC中,∠C=90°,如果ctA=3,AC=6,那么BC= .
    14. 如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、AC、BC上,DE//BC,EF//AB,CF=3BF.如果S△ADE=1,那么S四边形DBCE= .
    15. 如图,河堤横断面迎水坡AB的坡度是1:3,AC=10m,则坡面AB的长度是 m.
    16.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4.点H、F分别在边AD、BC上,点E、G在对角线AC上.如果四边形EFGH是菱形,那么线段AH的长为 .
    17. 如图,点P是正方形ABCD内一点,AB=5,PB=3,PA⊥PB.如果将线段PB绕点B顺时针旋转90°,点P的对应点为Q,射线QP交边AD于点E,那么线段PE的长为 .
    18. 定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM、MN和BN,如果以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形,那么称点M、N是线段AB的勾股分割点.问题:如图2,在△ABC中,已知点D、E是边AB的勾股分割点(线段AD>EB),射线CD、CE与射线AQ分别交于点F、G.如果AQ//BC,DE=3,EB=4,那么AF:AG的值为 .
    三、解答题(本大题共7小题,共78.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    19. 计算:2sin30°+cs245°−(tan30°)−1+(1−ct30°)2.
    20. 如图,在平行四边形ABCD中,点F在边AD上,射线BA、CF相交于点E,DF=2AF.
    (1)求EA:AB的值;
    (2)如果BA=a,BC=b,试用a、b表示向量CF.
    21.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BF平分∠ABC交AD于点E,BC=5,AD=4,sinC=255.
    (1)求sin∠BAD的值;
    (2)求线段EF的长.
    22. 某校九年级数学兴趣小组在实践活动课中测量路灯的高度.如图,在A处测得路灯顶端O的仰角为26.6°,再沿AH方向前行13米到达点B处,在B处测得路灯顶端O的仰角为63.4°,求路灯顶端O到地面的距离OH(点A、B、H在一直线上)的长.(精确到0.1米)
    (参考数据:sin26.6°≈0.45,cs26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.50,sin63.4°≈0.89,cs63.4°≈0.45,tan63.4°≈2.0)
    23. 已知:如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,AD、BE相交于点F,∠AFE=∠ABC,AB2=AE⋅AC.
    (1)求证:△ABF∽△BCE;
    (2)求证:DF⋅BC=DB⋅CE.
    24. 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(−1,0)和点B(2,0),与y轴交于点C.
    (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标;
    (2)已知点P(1,m)与点Q都是抛物线上的点.
    ①求tan∠PBC的值;
    ②如果∠QBP=45°,求点Q的坐标.
    25.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8,动点D、E分别在边BA、BC上,且BDCE=54,设BD=5t.过点B作BF//AC,与直线DE相交于点F.
    (1)当DB=DE时,求t的值;
    (2)当t=25时,求FBAC的值;
    (3)当△BDE与△BDF相似时,求BF的长.
    答案解析部分
    1.【答案】D
    【知识点】比例的性质
    【解析】【解答】解:根据所给的选项可得:13=412,
    所以如果再添上一个数,使它们能组成一个比例式,那么这个数可以是12,
    故答案为:12.
    【分析】结合题意,根据比例的性质计算求解即可。
    2.【答案】B
    【知识点】三角形的重心及应用
    【解析】【解答】解:A.三角形的三条角平分线交于一点是三角形的内心,不符合题意;
    B.三角形三条中线的交点是三角形的重心,符合题意;
    C. 三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心,不符合题意;
    D.三角形三条高的交点是三角形的垂心,不符合题意;
    故答案为:B.
    【分析】根据三角形的重心的定义对每个选项逐一判断求解即可。
    3.【答案】C
    【知识点】锐角三角函数的定义
    【解析】【解答】解:∵把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似,
    ∴锐角A的对应角的大小与锐角A相同,
    ∴锐角A的正弦值没有变化,
    故答案为:C.
    【分析】根据题意先求出锐角A的对应角的大小与锐角A相同,再判断求解即可。
    4.【答案】B
    【知识点】平行向量定理
    【解析】【解答】解: A:∵a//c,b//c,
    ∴非零向量a,b,c的方向相同,
    ∴a→//b→,
    ∴选项A不符合题意;
    B:由|a|=2|b|无法判断非零向量a,b的方向,所以不能判定向量a与向量b平行,
    则选项B符合题意;
    C:∵a=2c,b=3c,
    ∴非零向量a,b,c的方向相同,
    ∴a→//b→,
    ∴选项C不符合题意;
    D:∵a+2b=0,
    ∴非零向量a,b的方向相同,
    ∴a→//b→,
    ∴选项D不符合题意;
    故答案为:B.
    【分析】根据平行向量的定义对每个选项逐一判断求解即可。
    5.【答案】B
    【知识点】相似三角形的判定
    【解析】【解答】解:∵OA:OC=OB:OD,
    ∠AOB=∠COD(对顶角相等),
    ∴①与③相似.
    故选:B.
    【分析】由OA:OC=OB:OD,利用两边对应成比例,夹角相等,可以证得两三角形相似,①与③相似,问题可求.
    6.【答案】A
    【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象;二次函数y=ax^2+bx+c的性质;真命题与假命题
    【解析】【解答】解:假设④是真命题,
    ∵该函数的图象的对称轴为直线x=−1,
    ∴−b2=−1,
    解得:b=2,
    ∴二次函数的解析式为y=x2+2x+c,
    ∵该函数的图象经过点(−3,0),
    ∴9-6+c=0,
    解得:c=-3,
    ∴二次函数的解析式为y=x2+2x−3,
    ∴当x=0时,y=-3,
    当y=0时,x2+2x−3=0,
    解得:x=-3或x=1,
    ∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)和(-3,0),函数的图象与y轴的交点位于x轴的下方,
    综上所述:命题②③④正确,命题①错误;
    即这个假命题是命题①,
    故答案为:A.
    【分析】根据二次函数的图象与性质等对每个命题逐一判断求解即可。
    7.【答案】5:3
    【知识点】比例的性质
    【解析】【解答】解:∵a:b=2:3,
    ∴设a=2x,b=3x,
    ∴(a+b):b=2x+3x:3x=5:3,
    故答案为:5:3.
    【分析】根据题意设a=2x,b=3x,再代入化简求值即可。
    8.【答案】−5e
    【知识点】单位向量;向量的线性运算
    【解析】【解答】解:∵e为单位向量,
    ∴e→=1,
    ∵|a|=5,
    ∴|a→|=5e→,
    ∵向量a与单位向量e方向相反,
    ∴a→=−5e→,
    故答案为: −5e .
    【分析】根据题意先求出e→=1,再求出|a→|=5e→,最后计算求解即可。
    9.【答案】1:2
    【知识点】相似三角形的性质
    【解析】【解答】∵两个相似三角形的周长比为1:2,
    ∴两个相似三角形的相似比为1:2,
    ∴对应中线的比为1:2,
    故答案为:1:2.
    【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比,再根据对应中线的比等于相似比可得到答案.
    10.【答案】2
    【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
    【解析】【解答】解:∵抛物线y=x2+x+m−2经过原点,
    ∴m-2=0,
    解得:m=2,
    故答案为:2.
    【分析】根据题意先求出m-2=0,再计算求解即可。
    11.【答案】上升
    【知识点】二次函数y=a(x-h)^2+k的图象;二次函数y=a(x-h)^2+k的性质
    【解析】【解答】解:∵ 抛物线y=3x2−1,3>0,
    ∴抛物线开口向上,对称轴为y轴,
    ∴抛物线y=3x2−1在y轴右侧的部分是上升,
    故答案为:上升.
    【分析】根据题意先求出抛物线开口向上,对称轴为y轴,再判断求解即可。
    12.【答案】y=(x+1)2
    【知识点】二次函数图象的几何变换
    【解析】【解答】解:由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=x2向左平移1个单位,所得函数解析式为:y=(x+1)2.
    故答案为:y=(x+1)2.
    【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可.
    13.【答案】2
    【知识点】解直角三角形
    【解析】【解答】解:∵在△ABC中,∠C=90°,ctA=3,AC=6,
    ∴ctA=ACBC=3,
    则6BC=3,
    解得:BC=2,
    故答案为:2.
    【分析】根据锐角三角函数求出ctA=ACBC=3,再计算求解即可。
    14.【答案】15
    【知识点】平行四边形的判定与性质;相似三角形的判定与性质
    【解析】【解答】解:∵CF=3BF,
    ∴BFBC=BFBF+CF=14,
    ∵DE//BC,EF//AB,
    ∴四边形DEFB为平行四边形,△ADE~△ABC,
    ∴DE=BF,
    ∴DEBC=BFBC=14,
    ∴S△ADES△ABC=DEBC2=116,
    ∵S△ADE=1,
    ∴S△ABC=16,
    ∴S四边形DBCE=S△ABC−S△ADE=16−1=15,
    故答案为:15.
    【分析】根据题意先求出四边形DEFB为平行四边形,再根据相似三角形的判定与性质计算求解即可。
    15.【答案】2033
    【知识点】勾股定理;解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
    【解析】【解答】解:∵河堤横断面迎水坡AB的坡度是1:3,
    ∴BCAC=13,
    ∵AC=10m,
    ∴BC10=13,
    解得:BC=1033m,
    ∴AB=AC2+BC2=102+10332=2033m,
    即坡面AB的长度是2033 m,
    故答案为:2033.
    【分析】根据题意先求出BCAC=13,再求出BC=1033m,最后利用勾股定理计算求解即可。
    16.【答案】52
    【知识点】三角形全等及其性质;菱形的性质;矩形的性质;相似三角形的判定与性质
    【解析】【解答】解:如图所示:连接HF交AC于点O,
    ∵四边形EFCH是菱形,
    ∴FH⊥AC,FO=HO,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠D=∠B=90°,BC//AD,
    ∴∠CAD=∠ACB,
    ∵∠HOA=∠FOC,OH=OF,
    ∴△HOA≅△FOC,
    ∴AO=OC,
    ∵AB= 2,BC=4,
    ∴AC=AB2+BC2=25,
    ∴OA=12AC=5,
    ∵∠HAO=∠CAD,∠AOH=∠D=90°,
    ∴△AHO~△ACD,
    ∴AHAC=OADA,
    ∴AH25=54,
    解得:AH=52,
    故答案为:52.
    【分析】根据菱形的性质求出FH⊥AC,FO=HO,再求出△HOA≅△FOC,最后根据相似三角形的判定与性质等计算求解即可。
    17.【答案】1627
    【知识点】待定系数法求一次函数解析式;正方形的性质;旋转的性质
    【解析】【解答】解:如图所示:建立平面直角坐标系,过点P作PF⊥AB,过点Q作QG⊥AB,
    ∵AB=5,PB=3,PA⊥PB,
    ∴AP=AB2−BP2=4,
    ∵S△ABP=12AP·BP=12AB·FP,
    ∴PF=AP·BPAB=4×35=125,
    ∴BF=OP2−PF2=95,
    ∴点P的坐标为P125,95,
    ∵将线段PB绕点B顺时针旋转90°,点P的对应点为Q,
    ∴BP=BQ,∠PBQ=90°,
    ∴∠PBF=90°-∠QBG=∠BQG,
    ∵∠PFB=∠BGQ,
    ∴△BFP≌△QGB,
    ∴PF=GB=125,FB=GQ=95,
    ∴点Q的坐标为Q95,−125,
    设直线PQ的解析式为y=kx+b(k≠0),
    由题意可得:125k+b=9595k+b=−125,
    解得:k=7b=−15,
    ∴直线PQ的解析式为y=7x-15,
    当y=5时,7x-15=5,
    解得:x=207,
    ∴点E的坐标为E207,5,
    ∴PE=207−1252+5−952=1627,
    故答案为: 1627 .
    【分析】利用勾股定理求出AP=4,再利用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=7x-15,最后计算求解即可。
    18.【答案】514
    【知识点】勾股定理;相似三角形的判定与性质
    【解析】【解答】解:∵点D、E是边AB的勾股分割点(线段AD>EB),DE=3,EB=4,
    ∴AD=DE2+BE2=5,
    ∵AQ//BC,
    ∴∠AFD=∠DCB,∠DAF=∠B,
    ∴△ADF∽△BDC,
    ∴AFBC=ADBD=53+4=57,
    ∴AF=57BC,
    同理可得:AGBC=AEBE=5+34=2,
    ∴AG=2BC,
    ∴AF:AG=(57BC):(2BC)=514.
    故答案为:514.
    【分析】利用勾股定理求出AD=5,再利用相似三角形的判定与性质等计算求解即可。
    19.【答案】解:2sin30°+cs245°−(tan30°)−1+(1−ct30°)2
    =2×12+(22)2−(33)−1+(1−3)2
    =1+12−3+3−1
    =12.
    【知识点】负整数指数幂;二次根式的加减法;特殊角的三角函数值
    【解析】【分析】利用特殊角的锐角三角函数值,负整数指数幂,二次根式的加减法则等计算求解即可。
    20.【答案】(1)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AB//CD,AB=CD,
    ∴△AEF∽△DCF,
    ∴AECD=AFFD,
    ∴AEAB=AFFD,
    ∵DF=2AF,
    ∴AFDF=12,
    ∴EAAB=12;
    (2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD//BC,AD=BC,
    ∵DF=2AF,
    ∴DFAD=DFBC=23,
    ∵BA=a,BC=b,
    ∴CD=a,DF=−23b,
    ∴CF=CD+DF=a−23b.
    【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质;向量的线性运算
    【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质求出 AB//CD,AB=CD, 再根据相似三角形的判定与性质等计算求解即可;
    (2)根据平行四边形的性质求出 AD//BC,AD=BC, 再计算求解即可。
    21.【答案】(1)解:∵AD⊥BC,AD=4,sinC=255,
    ∴ADAC=4AC=255,
    解得AC=25,
    在Rt△ACD中,CD=AC2−AD2=2,
    ∵BC=5,
    ∴BD=BC−CD=5−2=3,
    在Rt△ABD中,AB=BD2+AD2=5,
    ∴sin∠BAD=BDAB=35;
    (2)解:∵AB=BC=5,BF平分∠ABC,
    ∴BF⊥AC,AF=12AC=5,
    ∴∠AFE=∠ADC,
    又∵∠EAF=∠CAD,
    ∴△AEF∽△ACD,
    ∴EFCD=AFAD,
    即EF2=54.
    解得EF=52.
    【知识点】勾股定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形
    【解析】【分析】(1)根据题意先求出 AC=25, 再利用勾股定理求出CD=2,最后利用锐角三角函数等计算求解即可;
    (2)根据题意先求出 BF⊥AC,AF=12AC=5, 再根据相似三角形的判定与性质计算求解即可。
    22.【答案】解:设BH的长为x米,
    在Rt△OBH中,tan∠OBH=OHBH,
    ∴OH=2BH=2x米,
    在Rt△AOH中,tan∠OAH=OHAH,
    ∴AH=2x0.5=4x米,
    ∵AB=AH−BH=4x−x=13,
    解得x=133(米),
    ∴OH=2x=263≈8.7(米),
    ∴路灯顶端O到地面的距离OH的长约为8.7米.
    【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
    【解析】【分析】结合题意,利用锐角三角函数求出AH=4x米,再列方程计算求解即可。
    23.【答案】(1)证明:∵AB2=AE⋅AC,
    ∴AEAB=ABAC,
    ∵∠BAE=∠CAB,
    ∴△ABE∽△ACB,
    ∴∠ABF=∠C,∠ABC=∠AEB,
    ∵∠ABC=∠AFE,
    ∴∠AFE=∠AEB,
    ∴180°−∠AFE=180°−∠AEB,即∠AFB=∠BEC,
    ∴△ABF∽△BCE;
    (2)证明:∵△ABF∽△BCE,
    ∴CECB=BFAB,∠CBE=∠BAF,
    ∵∠BDF=∠ADB,
    ∴△DBF∽△DAB,
    ∴BFAB=DFDB,
    ∴CECB=DFDB,
    ∴DF⋅BC=DB⋅CE.
    【知识点】相似三角形的判定与性质
    【解析】【分析】(1)根据题意求出 AEAB=ABAC, 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可;
    (2)根据相似三角形的性质求出 CECB=BFAB,∠CBE=∠BAF, 再证明求解即可。
    24.【答案】(1)解:将A(−1,0)、B(2,0)代入y=ax2+bx+2得,
    a−b+2=04a+2b+2=0,解得a=−1b=1,
    ∴该抛物线的表达式为y=−x2+x+2.
    当x=0时,y=2,
    ∴点C的坐标为(0,2);
    (2)解:①连接PC,过点P作PH⊥BC,垂足为点H.
    ∵P(1,m)在y=−x2+x+2上,
    ∴m=−1+1+2=2,P(1,2),
    ∵C(0,2),B(2,0),
    ∴BC=22,PC⊥OC,∠BCO=45°,
    ∴∠PCH=45°,
    ∴CH=PH=PC2=22.
    ∴BH=BC–CH=22−22=322,
    ∴tan∠PBC=PHBH=22÷322=13;
    ②由题意可知,点Q在第二象限.过点Q作QD⊥x轴,垂足为点D.
    ∵∠QBP=∠CBA=45°,
    ∴∠QBD=∠CBP,
    ∵tan∠PBC=13.
    ∴tan∠QBD=QDBD=13,
    设DQ=n,则BD=3n,OD=3n−2.
    ∴Q(2−3n,n),
    将Q(2−3n,n)代入y=−x2+x+2,得−(2−3n)2+2−3n+2=n,
    解得n=89或0(舍去),
    ∴点Q的坐标为(−23,89).
    【知识点】待定系数法求二次函数解析式;解直角三角形;二次函数y=ax^2+bx+c的性质
    【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出该抛物线的表达式为y=−x2+x+2,再求点C的坐标即可;
    (2)①根据题意先求出BH的值,再利用锐角三角函数计算求解即可;
    ②根据题意先求出 tan∠QBD=QDBD=13, 再列方程求出n的值,最后求点的坐标即可。
    25.【答案】(1)解:过D作DH⊥BC,垂足为点H,
    ∵∠C=90°,
    ∴DH//AC.
    ∴BHBD=BCBA=45,
    ∵BD=DE=5t,
    ∴BH=EH=4t,
    又∵BC=8,CE=4t,
    ∴12t=8,t=23;
    (2)解:当t=25时,得BD=2,CE=85,BE=325.
    ∵BE>BD,
    ∴点F是射线ED与直线BF的交点,
    过E作EG//AC,交AB于点G,
    则BF//GE//AC.
    ∴AGAB=CECB,AG=2.
    ∴DG=10−2−2=6,
    ∴BFGE=BDDG=26=13,GEAC=BGBA=810=45,
    ∴BFAC=BFGE×GEAC=13×45=415,
    (3)解:a.当点F是射线DE与BF的交点时,
    ∵△BDE与△BDF相似,
    又∵∠BDE=∠BDF,
    ∴∠DBE=∠F,即∠ABC=∠F,
    又∵∠EBF=∠C,
    ∴△BEF∽△CAB.
    ∴BFBC=BEAC,
    即BF8=8−4t6.
    解得BF=43(8−4t),
    过D作DM⊥BC,垂足为点M.
    由BD=5t,得DM=3t,BM=4t,EM==8t–8.
    ∵BFDM,
    ∴∠EDM=∠F=∠ABC.
    ∴tan∠EDM=tan∠ABC.
    ∴DM=43(8t−8),
    ∴43(8t−8)=3t.
    解得t=3223,
    ∴BF=43(8−4t)=22469,
    b.当点F是射线ED与BF的交点时,
    ∵∠BDE>∠F,∠BDE>∠FBD,
    又∵△BDE与△BDF相似,
    ∴∠BDE=∠BDF=90°.
    ∵∠BDE=∠C,∠DBE=∠CBA,
    ∴△BDE∽△BCA,
    ∴BDBC=BEBA.即5t8=8−4t10.解得t=3241.
    ∴BD=16041,
    ∵∠F=∠DBE,
    ∴sinF=sin∠DBE.
    ∴BDBF=ACAB.
    解得BF=800123.
    综上所述,当△BDE与△BDF相似时,BF的长为800123或22469.
    【知识点】平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质;解直角三角形;三角形-动点问题
    【解析】【分析】(1)根据题意先求出DH//AC,再根据平行线分线段成比例计算求解即可;
    (2)先求出点F是射线ED与直线BF的交点, 再求出 AGAB=CECB,AG=2,最后计算求解即可;
    (3)分类讨论,根据相似三角形的判定与性质,列方程计算求解即可。
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