


上海市青浦区2023年中考一模数学考试试卷
展开一、选择题(本大题共6小题,共24.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.已知三个数1、3、4,如果再添上一个数,使它们能组成一个比例式,那么这个数可以是( )
A.6B.8C.10D.12
2. 三角形的重心是( )
A.三角形三条角平分线的交点
B.三角形三条中线的交点
C.三角形三条边的垂直平分线的交点
D.三角形三条高的交点
3. 如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍,那么锐角A的正弦值( )
A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的12
C.没有变化D.不能确定
4. 已知非零向量a,b,c,下列条件中,不能判定向量a与向量b平行的是( )
A.a//c,b//cB.|a|=2|b|
C.a=2c,b=3cD.a+2b=0
5.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.若OA:OC=OB:OD,则下列结论中一定正确的是( )
A.①与②相似B.①与③相似C.①与④相似D.②与④相似
6. 已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数).
命题①:该函数的图象经过点(−1,0);命题②:该函数的图象经过点(−3,0);命题③:该函数的图象与y轴的交点位于x轴的下方;命题④:该函数的图象的对称轴为直线x=−1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题,那么这个假命题是( )
A.命题①B.命题②C.命题③D.命题④
二、填空题(本大题共12小题,共48.0分)
7. 如果a:b=2:3,那么(a+b):b= .
8. 已知向量a与单位向量e方向相反,且|a|=5,那么a= (用向量e的式子表示).
9.如果两个相似三角形的周长比为1:2,那么它们的对应中线的比为 .
10. 如果抛物线y=x2+x+m−2经过原点,那么m的值等于 .
11. 抛物线y=3x2−1在y轴右侧的部分是 .(填“上升”或“下降”)
12.将抛物线y=x2向左平移1个单位后的抛物线表达式为 .
13.在△ABC中,∠C=90°,如果ctA=3,AC=6,那么BC= .
14. 如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、AC、BC上,DE//BC,EF//AB,CF=3BF.如果S△ADE=1,那么S四边形DBCE= .
15. 如图,河堤横断面迎水坡AB的坡度是1:3,AC=10m,则坡面AB的长度是 m.
16.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4.点H、F分别在边AD、BC上,点E、G在对角线AC上.如果四边形EFGH是菱形,那么线段AH的长为 .
17. 如图,点P是正方形ABCD内一点,AB=5,PB=3,PA⊥PB.如果将线段PB绕点B顺时针旋转90°,点P的对应点为Q,射线QP交边AD于点E,那么线段PE的长为 .
18. 定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM、MN和BN,如果以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形,那么称点M、N是线段AB的勾股分割点.问题:如图2,在△ABC中,已知点D、E是边AB的勾股分割点(线段AD>EB),射线CD、CE与射线AQ分别交于点F、G.如果AQ//BC,DE=3,EB=4,那么AF:AG的值为 .
三、解答题(本大题共7小题,共78.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
19. 计算:2sin30°+cs245°−(tan30°)−1+(1−ct30°)2.
20. 如图,在平行四边形ABCD中,点F在边AD上,射线BA、CF相交于点E,DF=2AF.
(1)求EA:AB的值;
(2)如果BA=a,BC=b,试用a、b表示向量CF.
21.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BF平分∠ABC交AD于点E,BC=5,AD=4,sinC=255.
(1)求sin∠BAD的值;
(2)求线段EF的长.
22. 某校九年级数学兴趣小组在实践活动课中测量路灯的高度.如图,在A处测得路灯顶端O的仰角为26.6°,再沿AH方向前行13米到达点B处,在B处测得路灯顶端O的仰角为63.4°,求路灯顶端O到地面的距离OH(点A、B、H在一直线上)的长.(精确到0.1米)
(参考数据:sin26.6°≈0.45,cs26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.50,sin63.4°≈0.89,cs63.4°≈0.45,tan63.4°≈2.0)
23. 已知:如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,AD、BE相交于点F,∠AFE=∠ABC,AB2=AE⋅AC.
(1)求证:△ABF∽△BCE;
(2)求证:DF⋅BC=DB⋅CE.
24. 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(−1,0)和点B(2,0),与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标;
(2)已知点P(1,m)与点Q都是抛物线上的点.
①求tan∠PBC的值;
②如果∠QBP=45°,求点Q的坐标.
25.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8,动点D、E分别在边BA、BC上,且BDCE=54,设BD=5t.过点B作BF//AC,与直线DE相交于点F.
(1)当DB=DE时,求t的值;
(2)当t=25时,求FBAC的值;
(3)当△BDE与△BDF相似时,求BF的长.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解:根据所给的选项可得:13=412,
所以如果再添上一个数,使它们能组成一个比例式,那么这个数可以是12,
故答案为:12.
【分析】结合题意,根据比例的性质计算求解即可。
2.【答案】B
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解:A.三角形的三条角平分线交于一点是三角形的内心,不符合题意;
B.三角形三条中线的交点是三角形的重心,符合题意;
C. 三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心,不符合题意;
D.三角形三条高的交点是三角形的垂心,不符合题意;
故答案为:B.
【分析】根据三角形的重心的定义对每个选项逐一判断求解即可。
3.【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:∵把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似,
∴锐角A的对应角的大小与锐角A相同,
∴锐角A的正弦值没有变化,
故答案为:C.
【分析】根据题意先求出锐角A的对应角的大小与锐角A相同,再判断求解即可。
4.【答案】B
【知识点】平行向量定理
【解析】【解答】解: A:∵a//c,b//c,
∴非零向量a,b,c的方向相同,
∴a→//b→,
∴选项A不符合题意;
B:由|a|=2|b|无法判断非零向量a,b的方向,所以不能判定向量a与向量b平行,
则选项B符合题意;
C:∵a=2c,b=3c,
∴非零向量a,b,c的方向相同,
∴a→//b→,
∴选项C不符合题意;
D:∵a+2b=0,
∴非零向量a,b的方向相同,
∴a→//b→,
∴选项D不符合题意;
故答案为:B.
【分析】根据平行向量的定义对每个选项逐一判断求解即可。
5.【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解:∵OA:OC=OB:OD,
∠AOB=∠COD(对顶角相等),
∴①与③相似.
故选:B.
【分析】由OA:OC=OB:OD,利用两边对应成比例,夹角相等,可以证得两三角形相似,①与③相似,问题可求.
6.【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象;二次函数y=ax^2+bx+c的性质;真命题与假命题
【解析】【解答】解:假设④是真命题,
∵该函数的图象的对称轴为直线x=−1,
∴−b2=−1,
解得:b=2,
∴二次函数的解析式为y=x2+2x+c,
∵该函数的图象经过点(−3,0),
∴9-6+c=0,
解得:c=-3,
∴二次函数的解析式为y=x2+2x−3,
∴当x=0时,y=-3,
当y=0时,x2+2x−3=0,
解得:x=-3或x=1,
∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)和(-3,0),函数的图象与y轴的交点位于x轴的下方,
综上所述:命题②③④正确,命题①错误;
即这个假命题是命题①,
故答案为:A.
【分析】根据二次函数的图象与性质等对每个命题逐一判断求解即可。
7.【答案】5:3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解:∵a:b=2:3,
∴设a=2x,b=3x,
∴(a+b):b=2x+3x:3x=5:3,
故答案为:5:3.
【分析】根据题意设a=2x,b=3x,再代入化简求值即可。
8.【答案】−5e
【知识点】单位向量;向量的线性运算
【解析】【解答】解:∵e为单位向量,
∴e→=1,
∵|a|=5,
∴|a→|=5e→,
∵向量a与单位向量e方向相反,
∴a→=−5e→,
故答案为: −5e .
【分析】根据题意先求出e→=1,再求出|a→|=5e→,最后计算求解即可。
9.【答案】1:2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形的周长比为1:2,
∴两个相似三角形的相似比为1:2,
∴对应中线的比为1:2,
故答案为:1:2.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比,再根据对应中线的比等于相似比可得到答案.
10.【答案】2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解:∵抛物线y=x2+x+m−2经过原点,
∴m-2=0,
解得:m=2,
故答案为:2.
【分析】根据题意先求出m-2=0,再计算求解即可。
11.【答案】上升
【知识点】二次函数y=a(x-h)^2+k的图象;二次函数y=a(x-h)^2+k的性质
【解析】【解答】解:∵ 抛物线y=3x2−1,3>0,
∴抛物线开口向上,对称轴为y轴,
∴抛物线y=3x2−1在y轴右侧的部分是上升,
故答案为:上升.
【分析】根据题意先求出抛物线开口向上,对称轴为y轴,再判断求解即可。
12.【答案】y=(x+1)2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解:由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=x2向左平移1个单位,所得函数解析式为:y=(x+1)2.
故答案为:y=(x+1)2.
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可.
13.【答案】2
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解:∵在△ABC中,∠C=90°,ctA=3,AC=6,
∴ctA=ACBC=3,
则6BC=3,
解得:BC=2,
故答案为:2.
【分析】根据锐角三角函数求出ctA=ACBC=3,再计算求解即可。
14.【答案】15
【知识点】平行四边形的判定与性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵CF=3BF,
∴BFBC=BFBF+CF=14,
∵DE//BC,EF//AB,
∴四边形DEFB为平行四边形,△ADE~△ABC,
∴DE=BF,
∴DEBC=BFBC=14,
∴S△ADES△ABC=DEBC2=116,
∵S△ADE=1,
∴S△ABC=16,
∴S四边形DBCE=S△ABC−S△ADE=16−1=15,
故答案为:15.
【分析】根据题意先求出四边形DEFB为平行四边形,再根据相似三角形的判定与性质计算求解即可。
15.【答案】2033
【知识点】勾股定理;解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解:∵河堤横断面迎水坡AB的坡度是1:3,
∴BCAC=13,
∵AC=10m,
∴BC10=13,
解得:BC=1033m,
∴AB=AC2+BC2=102+10332=2033m,
即坡面AB的长度是2033 m,
故答案为:2033.
【分析】根据题意先求出BCAC=13,再求出BC=1033m,最后利用勾股定理计算求解即可。
16.【答案】52
【知识点】三角形全等及其性质;菱形的性质;矩形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:如图所示:连接HF交AC于点O,
∵四边形EFCH是菱形,
∴FH⊥AC,FO=HO,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠B=90°,BC//AD,
∴∠CAD=∠ACB,
∵∠HOA=∠FOC,OH=OF,
∴△HOA≅△FOC,
∴AO=OC,
∵AB= 2,BC=4,
∴AC=AB2+BC2=25,
∴OA=12AC=5,
∵∠HAO=∠CAD,∠AOH=∠D=90°,
∴△AHO~△ACD,
∴AHAC=OADA,
∴AH25=54,
解得:AH=52,
故答案为:52.
【分析】根据菱形的性质求出FH⊥AC,FO=HO,再求出△HOA≅△FOC,最后根据相似三角形的判定与性质等计算求解即可。
17.【答案】1627
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;正方形的性质;旋转的性质
【解析】【解答】解:如图所示:建立平面直角坐标系,过点P作PF⊥AB,过点Q作QG⊥AB,
∵AB=5,PB=3,PA⊥PB,
∴AP=AB2−BP2=4,
∵S△ABP=12AP·BP=12AB·FP,
∴PF=AP·BPAB=4×35=125,
∴BF=OP2−PF2=95,
∴点P的坐标为P125,95,
∵将线段PB绕点B顺时针旋转90°,点P的对应点为Q,
∴BP=BQ,∠PBQ=90°,
∴∠PBF=90°-∠QBG=∠BQG,
∵∠PFB=∠BGQ,
∴△BFP≌△QGB,
∴PF=GB=125,FB=GQ=95,
∴点Q的坐标为Q95,−125,
设直线PQ的解析式为y=kx+b(k≠0),
由题意可得:125k+b=9595k+b=−125,
解得:k=7b=−15,
∴直线PQ的解析式为y=7x-15,
当y=5时,7x-15=5,
解得:x=207,
∴点E的坐标为E207,5,
∴PE=207−1252+5−952=1627,
故答案为: 1627 .
【分析】利用勾股定理求出AP=4,再利用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=7x-15,最后计算求解即可。
18.【答案】514
【知识点】勾股定理;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵点D、E是边AB的勾股分割点(线段AD>EB),DE=3,EB=4,
∴AD=DE2+BE2=5,
∵AQ//BC,
∴∠AFD=∠DCB,∠DAF=∠B,
∴△ADF∽△BDC,
∴AFBC=ADBD=53+4=57,
∴AF=57BC,
同理可得:AGBC=AEBE=5+34=2,
∴AG=2BC,
∴AF:AG=(57BC):(2BC)=514.
故答案为:514.
【分析】利用勾股定理求出AD=5,再利用相似三角形的判定与性质等计算求解即可。
19.【答案】解:2sin30°+cs245°−(tan30°)−1+(1−ct30°)2
=2×12+(22)2−(33)−1+(1−3)2
=1+12−3+3−1
=12.
【知识点】负整数指数幂;二次根式的加减法;特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用特殊角的锐角三角函数值,负整数指数幂,二次根式的加减法则等计算求解即可。
20.【答案】(1)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD,
∴△AEF∽△DCF,
∴AECD=AFFD,
∴AEAB=AFFD,
∵DF=2AF,
∴AFDF=12,
∴EAAB=12;
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC,
∵DF=2AF,
∴DFAD=DFBC=23,
∵BA=a,BC=b,
∴CD=a,DF=−23b,
∴CF=CD+DF=a−23b.
【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质;向量的线性运算
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质求出 AB//CD,AB=CD, 再根据相似三角形的判定与性质等计算求解即可;
(2)根据平行四边形的性质求出 AD//BC,AD=BC, 再计算求解即可。
21.【答案】(1)解:∵AD⊥BC,AD=4,sinC=255,
∴ADAC=4AC=255,
解得AC=25,
在Rt△ACD中,CD=AC2−AD2=2,
∵BC=5,
∴BD=BC−CD=5−2=3,
在Rt△ABD中,AB=BD2+AD2=5,
∴sin∠BAD=BDAB=35;
(2)解:∵AB=BC=5,BF平分∠ABC,
∴BF⊥AC,AF=12AC=5,
∴∠AFE=∠ADC,
又∵∠EAF=∠CAD,
∴△AEF∽△ACD,
∴EFCD=AFAD,
即EF2=54.
解得EF=52.
【知识点】勾股定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形
【解析】【分析】(1)根据题意先求出 AC=25, 再利用勾股定理求出CD=2,最后利用锐角三角函数等计算求解即可;
(2)根据题意先求出 BF⊥AC,AF=12AC=5, 再根据相似三角形的判定与性质计算求解即可。
22.【答案】解:设BH的长为x米,
在Rt△OBH中,tan∠OBH=OHBH,
∴OH=2BH=2x米,
在Rt△AOH中,tan∠OAH=OHAH,
∴AH=2x0.5=4x米,
∵AB=AH−BH=4x−x=13,
解得x=133(米),
∴OH=2x=263≈8.7(米),
∴路灯顶端O到地面的距离OH的长约为8.7米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】结合题意,利用锐角三角函数求出AH=4x米,再列方程计算求解即可。
23.【答案】(1)证明:∵AB2=AE⋅AC,
∴AEAB=ABAC,
∵∠BAE=∠CAB,
∴△ABE∽△ACB,
∴∠ABF=∠C,∠ABC=∠AEB,
∵∠ABC=∠AFE,
∴∠AFE=∠AEB,
∴180°−∠AFE=180°−∠AEB,即∠AFB=∠BEC,
∴△ABF∽△BCE;
(2)证明:∵△ABF∽△BCE,
∴CECB=BFAB,∠CBE=∠BAF,
∵∠BDF=∠ADB,
∴△DBF∽△DAB,
∴BFAB=DFDB,
∴CECB=DFDB,
∴DF⋅BC=DB⋅CE.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据题意求出 AEAB=ABAC, 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可;
(2)根据相似三角形的性质求出 CECB=BFAB,∠CBE=∠BAF, 再证明求解即可。
24.【答案】(1)解:将A(−1,0)、B(2,0)代入y=ax2+bx+2得,
a−b+2=04a+2b+2=0,解得a=−1b=1,
∴该抛物线的表达式为y=−x2+x+2.
当x=0时,y=2,
∴点C的坐标为(0,2);
(2)解:①连接PC,过点P作PH⊥BC,垂足为点H.
∵P(1,m)在y=−x2+x+2上,
∴m=−1+1+2=2,P(1,2),
∵C(0,2),B(2,0),
∴BC=22,PC⊥OC,∠BCO=45°,
∴∠PCH=45°,
∴CH=PH=PC2=22.
∴BH=BC–CH=22−22=322,
∴tan∠PBC=PHBH=22÷322=13;
②由题意可知,点Q在第二象限.过点Q作QD⊥x轴,垂足为点D.
∵∠QBP=∠CBA=45°,
∴∠QBD=∠CBP,
∵tan∠PBC=13.
∴tan∠QBD=QDBD=13,
设DQ=n,则BD=3n,OD=3n−2.
∴Q(2−3n,n),
将Q(2−3n,n)代入y=−x2+x+2,得−(2−3n)2+2−3n+2=n,
解得n=89或0(舍去),
∴点Q的坐标为(−23,89).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;解直角三角形;二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出该抛物线的表达式为y=−x2+x+2,再求点C的坐标即可;
(2)①根据题意先求出BH的值,再利用锐角三角函数计算求解即可;
②根据题意先求出 tan∠QBD=QDBD=13, 再列方程求出n的值,最后求点的坐标即可。
25.【答案】(1)解:过D作DH⊥BC,垂足为点H,
∵∠C=90°,
∴DH//AC.
∴BHBD=BCBA=45,
∵BD=DE=5t,
∴BH=EH=4t,
又∵BC=8,CE=4t,
∴12t=8,t=23;
(2)解:当t=25时,得BD=2,CE=85,BE=325.
∵BE>BD,
∴点F是射线ED与直线BF的交点,
过E作EG//AC,交AB于点G,
则BF//GE//AC.
∴AGAB=CECB,AG=2.
∴DG=10−2−2=6,
∴BFGE=BDDG=26=13,GEAC=BGBA=810=45,
∴BFAC=BFGE×GEAC=13×45=415,
(3)解:a.当点F是射线DE与BF的交点时,
∵△BDE与△BDF相似,
又∵∠BDE=∠BDF,
∴∠DBE=∠F,即∠ABC=∠F,
又∵∠EBF=∠C,
∴△BEF∽△CAB.
∴BFBC=BEAC,
即BF8=8−4t6.
解得BF=43(8−4t),
过D作DM⊥BC,垂足为点M.
由BD=5t,得DM=3t,BM=4t,EM==8t–8.
∵BFDM,
∴∠EDM=∠F=∠ABC.
∴tan∠EDM=tan∠ABC.
∴DM=43(8t−8),
∴43(8t−8)=3t.
解得t=3223,
∴BF=43(8−4t)=22469,
b.当点F是射线ED与BF的交点时,
∵∠BDE>∠F,∠BDE>∠FBD,
又∵△BDE与△BDF相似,
∴∠BDE=∠BDF=90°.
∵∠BDE=∠C,∠DBE=∠CBA,
∴△BDE∽△BCA,
∴BDBC=BEBA.即5t8=8−4t10.解得t=3241.
∴BD=16041,
∵∠F=∠DBE,
∴sinF=sin∠DBE.
∴BDBF=ACAB.
解得BF=800123.
综上所述,当△BDE与△BDF相似时,BF的长为800123或22469.
【知识点】平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质;解直角三角形;三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)根据题意先求出DH//AC,再根据平行线分线段成比例计算求解即可;
(2)先求出点F是射线ED与直线BF的交点, 再求出 AGAB=CECB,AG=2,最后计算求解即可;
(3)分类讨论,根据相似三角形的判定与性质,列方程计算求解即可。
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