上海市青浦区2023年中考一模数学考试试卷

这是一份上海市青浦区2023年中考一模数学考试试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（ ）
A．6B．8C．10D．12
2． 三角形的重心是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条边的垂直平分线的交点
D．三角形三条高的交点
3． 如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的12
C．没有变化D．不能确定
4． 已知非零向量a，b，c，下列条件中，不能判定向量a与向量b平行的是（ ）
A．a//c，b//cB．|a|=2|b|
C．a=2c，b=3cD．a+2b=0
5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①与②相似B．①与③相似C．①与④相似D．②与④相似
6． 已知二次函数y=x2+bx+c(b，c为常数)．
命题①：该函数的图象经过点(−1，0)；命题②：该函数的图象经过点(−3，0)；命题③：该函数的图象与y轴的交点位于x轴的下方；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x=−1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题，那么这个假命题是（ ）
A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7． 如果a：b=2：3，那么(a+b)：b= ．
8． 已知向量a与单位向量e方向相反，且|a|=5，那么a= (用向量e的式子表示)．
9．如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们的对应中线的比为 .
10． 如果抛物线y=x2+x+m−2经过原点，那么m的值等于 ．
11． 抛物线y=3x2−1在y轴右侧的部分是 .(填“上升”或“下降”)
12．将抛物线y=x2向左平移1个单位后的抛物线表达式为 ．
13．在△ABC中，∠C=90°，如果ctA=3，AC=6，那么BC= ．
14． 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE//BC，EF//AB，CF=3BF.如果S△ADE=1，那么S四边形DBCE= ．
15． 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：3，AC=10m，则坡面AB的长度是 m.
16．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.点H、F分别在边AD、BC上，点E、G在对角线AC上.如果四边形EFGH是菱形，那么线段AH的长为 ．
17． 如图，点P是正方形ABCD内一点，AB=5，PB=3，PA⊥PB.如果将线段PB绕点B顺时针旋转90°，点P的对应点为Q，射线QP交边AD于点E，那么线段PE的长为 ．
18． 定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM、MN和BN，如果以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，那么称点M、N是线段AB的勾股分割点.问题：如图2，在△ABC中，已知点D、E是边AB的勾股分割点(线段AD>EB)，射线CD、CE与射线AQ分别交于点F、G.如果AQ//BC，DE=3，EB=4，那么AF：AG的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19． 计算：2sin30°+cs245°−(tan30°)−1+(1−ct30°)2．
20． 如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，射线BA、CF相交于点E，DF=2AF．
（1）求EA：AB的值；
（2）如果BA=a，BC=b，试用a、b表示向量CF．
21．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BF平分∠ABC交AD于点E，BC=5，AD=4，sinC=255．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）求线段EF的长．
22． 某校九年级数学兴趣小组在实践活动课中测量路灯的高度.如图，在A处测得路灯顶端O的仰角为26.6°，再沿AH方向前行13米到达点B处，在B处测得路灯顶端O的仰角为63.4°，求路灯顶端O到地面的距离OH(点A、B、H在一直线上)的长.(精确到0.1米)
(参考数据：sin26.6°≈0.45，cs26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.0)
23． 已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AD、BE相交于点F，∠AFE=∠ABC，AB2=AE⋅AC．
（1）求证：△ABF∽△BCE；
（2）求证：DF⋅BC=DB⋅CE．
24． 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(−1，0)和点B(2，0)，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）已知点P(1，m)与点Q都是抛物线上的点．
①求tan∠PBC的值；
②如果∠QBP=45°，求点Q的坐标．
25．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，动点D、E分别在边BA、BC上，且BDCE=54，设BD=5t.过点B作BF//AC，与直线DE相交于点F．
（1）当DB=DE时，求t的值；
（2）当t=25时，求FBAC的值；
（3）当△BDE与△BDF相似时，求BF的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：根据所给的选项可得：13=412，
所以如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是12，
故答案为：12.
【分析】结合题意，根据比例的性质计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：A.三角形的三条角平分线交于一点是三角形的内心，不符合题意；
B.三角形三条中线的交点是三角形的重心，符合题意；
C. 三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，不符合题意；
D.三角形三条高的交点是三角形的垂心，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形的重心的定义对每个选项逐一判断求解即可。
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的对应角的大小与锐角A相同，
∴锐角A的正弦值没有变化，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出锐角A的对应角的大小与锐角A相同，再判断求解即可。
4．【答案】B
【知识点】平行向量定理
【解析】【解答】解： A：∵a//c，b//c，
∴非零向量a，b，c的方向相同，
∴a→//b→，
∴选项A不符合题意；
B：由|a|=2|b|无法判断非零向量a，b的方向，所以不能判定向量a与向量b平行，
则选项B符合题意；
C：∵a=2c，b=3c，
∴非零向量a，b，c的方向相同，
∴a→//b→，
∴选项C不符合题意；
D：∵a+2b=0，
∴非零向量a，b的方向相同，
∴a→//b→，
∴选项D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行向量的定义对每个选项逐一判断求解即可。
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵OA：OC=OB：OD，
∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴①与③相似．
故选：B．
【分析】由OA：OC=OB：OD，利用两边对应成比例，夹角相等，可以证得两三角形相似，①与③相似，问题可求．
6．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：假设④是真命题，
∵该函数的图象的对称轴为直线x=−1，
∴−b2=−1，
解得：b=2，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x+c，
∵该函数的图象经过点(−3，0)，
∴9-6+c=0，
解得：c=-3，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x−3，
∴当x=0时，y=-3，
当y=0时，x2+2x−3=0，
解得：x=-3或x=1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（-3，0），函数的图象与y轴的交点位于x轴的下方，
综上所述：命题②③④正确，命题①错误；
即这个假命题是命题①，
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的图象与性质等对每个命题逐一判断求解即可。
7．【答案】5：3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵a：b=2：3，
∴设a=2x，b=3x，
∴(a+b)：b=2x+3x：3x=5：3，
故答案为：5：3.
【分析】根据题意设a=2x，b=3x，再代入化简求值即可。
8．【答案】−5e
【知识点】单位向量；向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵e为单位向量，
∴e→=1，
∵|a|=5，
∴|a→|=5e→，
∵向量a与单位向量e方向相反，
∴a→=−5e→，
故答案为： −5e .
【分析】根据题意先求出e→=1，再求出|a→|=5e→，最后计算求解即可。
9．【答案】1：2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形的周长比为1：2，
∴两个相似三角形的相似比为1：2，
∴对应中线的比为1：2，
故答案为：1：2．
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应中线的比等于相似比可得到答案．
10．【答案】2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+x+m−2经过原点，
∴m-2=0，
解得：m=2，
故答案为：2.
【分析】根据题意先求出m-2=0，再计算求解即可。
11．【答案】上升
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=3x2−1，3＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴抛物线y=3x2−1在y轴右侧的部分是上升，
故答案为：上升.
【分析】根据题意先求出抛物线开口向上，对称轴为y轴，再判断求解即可。
12．【答案】y=（x+1）2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移1个单位，所得函数解析式为：y=（x+1）2．
故答案为：y=（x+1）2．
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
13．【答案】2
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，ctA=3，AC=6，
∴ctA=ACBC=3，
则6BC=3，
解得：BC=2，
故答案为：2.
【分析】根据锐角三角函数求出ctA=ACBC=3，再计算求解即可。
14．【答案】15
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵CF=3BF，
∴BFBC=BFBF+CF=14，
∵DE//BC，EF//AB，
∴四边形DEFB为平行四边形，△ADE~△ABC，
∴DE=BF，
∴DEBC=BFBC=14，
∴S△ADES△ABC=DEBC2=116，
∵S△ADE=1，
∴S△ABC=16，
∴S四边形DBCE=S△ABC−S△ADE=16−1=15，
故答案为：15.
【分析】根据题意先求出四边形DEFB为平行四边形，再根据相似三角形的判定与性质计算求解即可。
15．【答案】2033
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：3，
∴BCAC=13，
∵AC=10m，
∴BC10=13，
解得：BC=1033m，
∴AB=AC2+BC2=102+10332=2033m，
即坡面AB的长度是2033 m，
故答案为：2033.
【分析】根据题意先求出BCAC=13，再求出BC=1033m，最后利用勾股定理计算求解即可。
16．【答案】52
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接HF交AC于点O，
∵四边形EFCH是菱形，
∴FH⊥AC，FO=HO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，BC//AD，
∴∠CAD=∠ACB，
∵∠HOA=∠FOC，OH=OF，
∴△HOA≅△FOC，
∴AO=OC，
∵AB= 2，BC=4，
∴AC=AB2+BC2=25，
∴OA=12AC=5，
∵∠HAO=∠CAD，∠AOH=∠D=90°，
∴△AHO~△ACD，
∴AHAC=OADA，
∴AH25=54，
解得：AH=52，
故答案为：52.
【分析】根据菱形的性质求出FH⊥AC，FO=HO，再求出△HOA≅△FOC，最后根据相似三角形的判定与性质等计算求解即可。
17．【答案】1627
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示：建立平面直角坐标系，过点P作PF⊥AB，过点Q作QG⊥AB，
∵AB=5，PB=3，PA⊥PB，
∴AP=AB2−BP2=4，
∵S△ABP=12AP·BP=12AB·FP，
∴PF=AP·BPAB=4×35=125，
∴BF=OP2−PF2=95，
∴点P的坐标为P125，95，
∵将线段PB绕点B顺时针旋转90°，点P的对应点为Q，
∴BP=BQ，∠PBQ=90°，
∴∠PBF=90°-∠QBG=∠BQG，
∵∠PFB=∠BGQ，
∴△BFP≌△QGB，
∴PF=GB=125，FB=GQ=95，
∴点Q的坐标为Q95，−125，
设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
由题意可得：125k+b=9595k+b=−125，
解得：k=7b=−15，
∴直线PQ的解析式为y=7x-15，
当y=5时，7x-15=5，
解得：x=207，
∴点E的坐标为E207，5，
∴PE=207−1252+5−952=1627，
故答案为： 1627 .
【分析】利用勾股定理求出AP=4，再利用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=7x-15，最后计算求解即可。
18．【答案】514
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点D、E是边AB的勾股分割点(线段AD>EB)，DE=3，EB=4，
∴AD=DE2+BE2=5，
∵AQ//BC，
∴∠AFD=∠DCB，∠DAF=∠B，
∴△ADF∽△BDC，
∴AFBC=ADBD=53+4=57，
∴AF=57BC，
同理可得：AGBC=AEBE=5+34=2，
∴AG=2BC，
∴AF：AG=(57BC)：(2BC)=514．
故答案为：514．
【分析】利用勾股定理求出AD=5，再利用相似三角形的判定与性质等计算求解即可。
19．【答案】解：2sin30°+cs245°−(tan30°)−1+(1−ct30°)2
=2×12+(22)2−(33)−1+(1−3)2
=1+12−3+3−1
=12．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的加减法；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用特殊角的锐角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的加减法则等计算求解即可。
20．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴△AEF∽△DCF，
∴AECD=AFFD，
∴AEAB=AFFD，
∵DF=2AF，
∴AFDF=12，
∴EAAB=12；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵DF=2AF，
∴DFAD=DFBC=23，
∵BA=a，BC=b，
∴CD=a，DF=−23b，
∴CF=CD+DF=a−23b．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；向量的线性运算
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 AB//CD，AB=CD， 再根据相似三角形的判定与性质等计算求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出 AD//BC，AD=BC， 再计算求解即可。
21．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，AD=4，sinC=255，
∴ADAC=4AC=255，
解得AC=25，
在Rt△ACD中，CD=AC2−AD2=2，
∵BC=5，
∴BD=BC−CD=5−2=3，
在Rt△ABD中，AB=BD2+AD2=5，
∴sin∠BAD=BDAB=35；
（2）解：∵AB=BC=5，BF平分∠ABC，
∴BF⊥AC，AF=12AC=5，
∴∠AFE=∠ADC，
又∵∠EAF=∠CAD，
∴△AEF∽△ACD，
∴EFCD=AFAD，
即EF2=54．
解得EF=52．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 AC=25， 再利用勾股定理求出CD=2，最后利用锐角三角函数等计算求解即可；
（2）根据题意先求出 BF⊥AC，AF=12AC=5， 再根据相似三角形的判定与性质计算求解即可。
22．【答案】解：设BH的长为x米，
在Rt△OBH中，tan∠OBH=OHBH，
∴OH=2BH=2x米，
在Rt△AOH中，tan∠OAH=OHAH，
∴AH=2x0.5=4x米，
∵AB=AH−BH=4x−x=13，
解得x=133(米)，
∴OH=2x=263≈8.7(米)，
∴路灯顶端O到地面的距离OH的长约为8.7米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】结合题意，利用锐角三角函数求出AH=4x米，再列方程计算求解即可。
23．【答案】（1）证明：∵AB2=AE⋅AC，
∴AEAB=ABAC，
∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠ABF=∠C，∠ABC=∠AEB，
∵∠ABC=∠AFE，
∴∠AFE=∠AEB，
∴180°−∠AFE=180°−∠AEB，即∠AFB=∠BEC，
∴△ABF∽△BCE；
（2）证明：∵△ABF∽△BCE，
∴CECB=BFAB，∠CBE=∠BAF，
∵∠BDF=∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴BFAB=DFDB，
∴CECB=DFDB，
∴DF⋅BC=DB⋅CE．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意求出 AEAB=ABAC， 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据相似三角形的性质求出 CECB=BFAB，∠CBE=∠BAF， 再证明求解即可。
24．【答案】（1）解：将A(−1，0)、B(2，0)代入y=ax2+bx+2得，
a−b+2=04a+2b+2=0，解得a=−1b=1，
∴该抛物线的表达式为y=−x2+x+2．
当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为(0，2)；
（2）解：①连接PC，过点P作PH⊥BC，垂足为点H．
∵P(1，m)在y=−x2+x+2上，
∴m=−1+1+2=2，P(1，2)，
∵C(0，2)，B(2，0)，
∴BC=22，PC⊥OC，∠BCO=45°，
∴∠PCH=45°，
∴CH=PH=PC2=22．
∴BH=BC–CH=22−22=322，
∴tan∠PBC=PHBH=22÷322=13；
②由题意可知，点Q在第二象限．过点Q作QD⊥x轴，垂足为点D．
∵∠QBP=∠CBA=45°，
∴∠QBD=∠CBP，
∵tan∠PBC=13．
∴tan∠QBD=QDBD=13，
设DQ=n，则BD=3n，OD=3n−2．
∴Q(2−3n，n)，
将Q(2−3n，n)代入y=−x2+x+2，得−(2−3n)2+2−3n+2=n，
解得n=89或0(舍去)，
∴点Q的坐标为(−23，89).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出该抛物线的表达式为y=−x2+x+2，再求点C的坐标即可；
（2）①根据题意先求出BH的值，再利用锐角三角函数计算求解即可；
②根据题意先求出 tan∠QBD=QDBD=13， 再列方程求出n的值，最后求点的坐标即可。
25．【答案】（1）解：过D作DH⊥BC，垂足为点H，
∵∠C=90°，
∴DH//AC．
∴BHBD=BCBA=45，
∵BD=DE=5t，
∴BH=EH=4t，
又∵BC=8，CE=4t，
∴12t=8，t=23；
（2）解：当t=25时，得BD=2，CE=85，BE=325．
∵BE>BD，
∴点F是射线ED与直线BF的交点，
过E作EG//AC，交AB于点G，
则BF//GE//AC．
∴AGAB=CECB，AG=2．
∴DG=10−2−2=6，
∴BFGE=BDDG=26=13，GEAC=BGBA=810=45，
∴BFAC=BFGE×GEAC=13×45=415，
（3）解：a.当点F是射线DE与BF的交点时，
∵△BDE与△BDF相似，
又∵∠BDE=∠BDF，
∴∠DBE=∠F，即∠ABC=∠F，
又∵∠EBF=∠C，
∴△BEF∽△CAB．
∴BFBC=BEAC，
即BF8=8−4t6．
解得BF=43(8−4t)，
过D作DM⊥BC，垂足为点M．
由BD=5t，得DM=3t，BM=4t，EM==8t–8．
∵BFDM，
∴∠EDM=∠F=∠ABC．
∴tan∠EDM=tan∠ABC．
∴DM=43(8t−8)，
∴43(8t−8)=3t．
解得t=3223，
∴BF=43(8−4t)=22469，
b.当点F是射线ED与BF的交点时，
∵∠BDE>∠F，∠BDE>∠FBD，
又∵△BDE与△BDF相似，
∴∠BDE=∠BDF=90°．
∵∠BDE=∠C，∠DBE=∠CBA，
∴△BDE∽△BCA，
∴BDBC=BEBA.即5t8=8−4t10.解得t=3241．
∴BD=16041，
∵∠F=∠DBE，
∴sinF=sin∠DBE．
∴BDBF=ACAB．
解得BF=800123．
综上所述，当△BDE与△BDF相似时，BF的长为800123或22469．
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出DH//AC，再根据平行线分线段成比例计算求解即可；
（2）先求出点F是射线ED与直线BF的交点， 再求出 AGAB=CECB，AG=2，最后计算求解即可；
（3）分类讨论，根据相似三角形的判定与性质，列方程计算求解即可。