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【突破压轴冲刺名校】 压轴专题01 函数的基本性质小题综合 2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破（江苏专用）
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2023届新高考数学复习尖子生30题难题破（江苏省专用）
一、单选题
1．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知函数的图像既关于点中心对称，又关于直线轴对称.当时，，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设表示函数的图像，，根据中心对称性与轴对称性，可依次得，，，取，可计算得，从而可计算得.
【详解】用表示函数的图像，对任意的，
令，则，且，
利用的中心对称性与轴对称性，可依次推得
，，，
取，此时，
因此.
故选：B
【点睛】本题考查了中心对称与轴对称的应用，求解的关键是根据中心对称与轴对称特点表示出函数图像上的点之间的关系，然后代值计算.
2．（2022秋·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，；且当时，．则方程所有的根之和为（ ）
A．6B．12C．14D．10
【答案】D
【分析】根据题意可得为奇函数，其图象关于直线对称且一个周期为4，再根据当时，，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.
【详解】∵，∴为奇函数，又∵，
∴的图象关于直线对称．
当时，，单调递增．
由，即有，
所以，即函数的一个周期为4，
由可得，，所以的图象关于中心对称．
函数的简图如下：
其中，
由，∴所有实根之和为.
故选：D．
【点睛】本题求零点之和需要掌握的方法：
（1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；
（2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；
3．（2022秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先证明为奇函数，再进行合理赋值逐个分析判断.
【详解】对A：∵为偶函数，则
两边求导可得
∴为奇函数，则
令，则可得，则，A成立；
对B：令，则可得，则，B成立；
∵，则可得
，则可得
两式相加可得：，
∴关于点成中心对称
则，D成立
又∵，则可得
，则可得
∴以4为周期的周期函数
根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立
故选：C.
【点睛】对于抽象函数的问题，一般通过赋值结合定义分析运算.
4．（2022秋·江苏镇江·高三校考期中）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为奇函数
C．在上是减函数D．方程仅有个实数解
【答案】C
【分析】推导出，可判断A选项的正误；利用函数的周期性可判断BC选项的正误；数形结合可判断D选项.
【详解】由题意可得，所以，，
由题意，，所以，，
所以，，则，故函数的周期为，
对于A选项，，A对；
对于B选项，因为，
因为函数为奇函数，则函数为奇函数，B对；
对于C选项，因为，则函数的图象关于直线对称，
当时，，故函数在上单调递增，
又因为函数的周期为，故函数在上单调递增，C错；
对于D选项，因为当，，
的图象关于直线对称，且关于点对称，
且当时，，且，
作出函数的图象与曲线的图象如下图所示：
由图可知，函数的图象与曲线的图象只有个交点，D对.
故选：C.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
5．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第七中学校考阶段练习）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论错误的是（ ）
A．是奇函数B．
C．的图像关于（1，0）对称D．
【答案】A
【分析】根据题设有、，进而可得，即可判断的对称性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求，最后结合在上的单调性及对称性和周期性判断上的单调性，比较函数值大小.
【详解】由题设，，即，则关于对称，C正确；
，即，关于对称，
所以，即周期为4，
且，即为偶函数，A错误；
则，
因为函数的定义域为R，关于对称，则，B正确；
又，且，都有，即在上递增，
综上，在上递增，则上递减，故，D正确.
故选：A
6．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】B
【分析】先判断函数是严格递减的函数，且有对称中心，找出之间的关系可求.
【详解】，
故函数关于对称，又在上严格递减；
即
当且仅当时取得.
故选：B.
7．（2022秋·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论错误的为（ ）
A．是偶函数B．
C．的图象关于对称D．
【答案】D
【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．
【详解】为奇函数，为偶函数，的图象关于点对称且关于直线对称，，，，
，所以是周期函数，4是它的一个周期．
，
，B正确；
，是偶函数，A正确；
因此的图象也关于点对称，C正确；
对任意的，且，都有，即时，，所以在是单调递增，
，，，
，∴，D错．
故选：D．
【点睛】结论点睛：（1）的图象关于点对称，也关于点对称，则是周期函数，是的一个周期；
（2）的图象关于直线对称，也关于直线对称，则是周期函数，是的一个周期；
（1）的图象关于点对称，也关于直线对称，则是周期函数，是的一个周期．
8．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为R，且是偶函数，记，也是偶函数，则的值为（ ）
A．－2B．－1C．0D．2
【答案】C
【分析】根据是偶函数，可得 ，求导推得，从而求得，再根据为偶函数，可推得，即4是函数的一个周期，由此可求得答案.
【详解】因为是偶函数，所以 ，
两边求导得 ，即，
所以 ，即，
令 可得 ，即 ，
因为为偶函数，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
，所以4是函数的一个周期，
所以,
故选∶C．
【点睛】方法点睛：此类有关抽象函数的求值问题，一般方法是要根据题意推导出函数具有的性质，比如函数的奇偶性单调性以及周期性，然后利用周期性求值.
9．（2022秋·江苏盐城·高三统考阶段练习）已知函数，若，其中，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】通过函数解析式可推得，再利用倒序相加法求得
，得到的值，然后对分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以
，
令
则所以
所以，所以，其中，则.
当时
当且仅当 即 时等号成立；
当时
，
当且仅当 即 时等号成立；
因为，所以的最小值为.
故选：A.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．（2021秋·江苏南京·高三南京市中华中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，进而可得答案.
【详解】当时，单调递减，，
当时，单调递减，，
故在上单调递减，
由，得的对称轴为，
若对任意的，不等式恒成立，
即对，不等式恒成立，
，
即，
即，
故实数的最大值为.
故选：C.
11．（2021·江苏镇江·模拟预测）已知为自然对数的底数，为函数的导数.函数满足，且对任意的都有，，则下列一定判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，根据导数判断函数在上单调递增，根据得到函数关于对称，得出，，以及，进而可得结果.
【详解】设，则，
∵对任意的都有，
∴，则在上单调递增，
，，
∵，∴，
∴，∴，
∴关于对称，则，
∵在上单调递增，
∴，即，∴；
即成立，故D错误；
∵，，
∴，，
即，，故A，C 均错误；
∵，∴，故B正确；
故选：B.
【点睛】破解抽象函数不等问题需要构建新函数，常见构造形式如下：
1.对于不等式，构造函数；
2.对于不等式，构造函数；
3.对于不等式，构造函数；
4. 对于不等式，构造函数；
5. 对于不等式，构造函数；
12．（2022秋·江苏淮安·高三马坝高中校考阶段练习）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
13．（2021秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考阶段练习）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先探究得到：当或时，；当时，. 然后将不等式等价为或，进而可得结果.
【详解】显然，函数是定义域为的偶函数.
当时，，所以是减函数，且；
所以当时，是增函数，且.
因此，当或时，；当时，.
所以，或
或
或.
故的解集为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是探究得到：当或时，；当时，.
14．（2020春·江苏盐城·高三江苏省滨海中学校考阶段练习）已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设，构造，易证为奇函数，利用导数可证为增函数，结合题设不等式可得，即对任意均成立，即可求的范围.
【详解】由题设，令，
∴，
∴为奇函数，又，即为增函数，
∵，即，
∴，则，
∴对任意均成立，又，当且仅当时等号成立，
∴，即.
故选：A
【点睛】关键点点睛：构造并证明其奇偶性、单调性，结合题设不等式可将问题转化为对任意均成立.
15．（2021秋·江苏盐城·高三阜宁县东沟中学校考阶段练习）定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至多有三个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先利用是偶函数的条件求出，进而得到函数具有周期性，然后利用函数的周期性和奇偶性作出函数的图像，利用与的图像在上至多有三个交点确定a的取值范围.
【详解】∵函数是偶函数，
∴令得，
解得.
∴，即函数的周期是2.
由得，
令，
当时，，
若，如图所示：
则由图像可知，此时函数在上没有零点，此时满足条件.
若，如图所示：
则由图像可知，要使两个函数与在上至多有三个交点，
则不能在点上方，
即，
∴.
综上所述，a的取值范围是，
故选：B.
16．（2021秋·江苏扬州·高三统考期中）设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，.若对任意的不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．[0，1]B．C．D．[1，2]
【答案】B
【分析】由所给解析式可得，原问题转化为，根据单调性及偶函数的性质可得恒成立，去掉绝对值即可求解.
【详解】易得: ，则,
即
由解析式知，在递增
不等式可化为: 对任意恒成立，
即对任意恒成立，
由单调性知， 即恒成立，
则，
故选：B
17．（2022秋·江苏南京·高三期末）若函数 的定义域为，且 ， ，则曲线与的交点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】利用赋值法求出当，且x依次取时的一些函数值，从而找到函数值变化的规律，同理找到当，且x依次取时，函数值变化的规律，数形结合，即可求得答案.
【详解】由题意函数 的定义域为，且，
，
令，则，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
依次类推，可发现此时当，且x依次取时，
函数的值依次为 ，即每四个值为一循环，
此时曲线与的交点为；
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
依次类推，可发现此时当，且x依次取时，
函数的值依次为 ，即每四个值为一循环，
此时曲线与的交点为；
故综合上述,曲线与的交点个数为3，
故选：B
【点睛】难点点睛：确定曲线与的交点个数，要明确函数的性质，因此要通过赋值求得的一些函数值，从中寻找规律，即找到函数的函数值循环的规律特点，这是解答本题的难点所在.
二、多选题
18．（2020秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数（为自然对数的底数）有唯一零点，则的值可以为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】BC
【解析】由已知，换元令，可得，从而为偶函数，图象关于对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.
【详解】∵，
令，则，定义域为，
，故函数为偶函数，
所以函数的图象关于对称，
要使得函数有唯一零点，则，
即，解得或
①当时，
由基本不等式有，当且仅当时取得
故，当且仅当取等号
故此时有唯一零点
②当时，，同理满足题意.
故选：BC．
【点睛】方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.
②的图象关于直线对称
19．（2022春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且时，，时，．令，，若函数的零点有个，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据函数满足的性质，作出的图象，函数零点可转化为两函数图象的交点，利用数形结合求解.
【详解】，
自变量每增加2个单位，纵坐标扩大为原来的2倍，
时，，时，，
作出图象如图，
的零点有8个，
即与在上有8个交点，
由图象可知，需满足
，
解得.
所以可取，
故选：BC
【点睛】关键点点睛：根据所给函数满足的性质，作出函数在上的图象是解题的关键，根据数形结合，由交点个数为8探求的取值范围，属于难题.
20．（2022秋·江苏扬州·高三校考期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为R
B．是偶函数
C．的图象关于直线对称
D．
【答案】BCD
【分析】求得的值域判断选项A；求得的奇偶性判断选项B；求得的对称轴判断选项C；求得的大小关系判断选项D.
【详解】，因为，
所以的值域为.A错；
的定义域是R，且，则是偶函数.B对；
的图象可看成的图象向左平移一个单位长度，
又的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称.C对；
令，则，
当时，，单调递增，且
又为上增函数，所以在上单调递增，
因为，所以，
又是偶函数，则，则.D对.
故选：BCD.
21．（2021秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知函数满足：对于任意实数，都有，且，则（ ）
A．是奇函数B．是周期函数
C．D．在上是增函数
【答案】AB
【分析】利用赋值法以及特殊函数即可得出答案.
【详解】解：对A，由
令，得 ，
，
为奇函数，故A正确；
对B，令，得
是周期函数，故B正确；
对C，当时，符合题意，但是，故C错误；
对D，当时，符合题意，但是在上是减函数，故D错误.
故选：AB.
【点睛】关键点睛：对于抽象函数，常用赋值法求解函数相关性质.
22．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（ ）
A．当时，
B．任意，
C．存在非零实数，使得任意，
D．存在非零实数，使得任意，
【答案】ABD
【分析】令可推导得，结合的值可知A正确；令可推导得，结合可推导知B正确；根据单调性可知C错误；当时，根据的对称中心及其在时的值域可确定时满足，知D正确.
【详解】对于A，令，则，即，
又，；
令得：，，，，
则由可知：当时，，A正确；
对于B，令，则，即，
，
由A的推导过程知：，，B正确；
对于C，为上的增函数，
当时，，则；当时，，则，
不存在非零实数，使得任意，，C错误；
对于D，当时，；
由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；
当时，为上的增函数，，，，
；
由图象对称性可知：此时对任意，，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据已知关系式确定的对称中心，同时采用赋值的方式确定所满足的其他关系式，从而结合对称性和其他函数关系式来确定所具有的其他性质.
23．（2022秋·江苏镇江·高三校考开学考试）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数B．
C．的图像关于对称D．
【答案】BCD
【分析】根据题设有、，进而可得，即可判断的对称性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求，最后结合在上的单调性及对称性和周期性判断上的单调性，比较函数值大小.
【详解】由题设，，即，则关于对称，C正确；
，即，关于对称，
所以，即周期为4，
且，即为偶函数，A错误；
则，B正确；
又，且，都有，即在上递增，
综上，在上递增，则上递减，故，D正确.
故选：BCD
24．（2022秋·江苏扬州·高三统考开学考试）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，的取值范围为
C．为奇函数D．方程仅有5个不同实数解
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，确定函数的对称性、周期性，判断A，B，C；作出函数、的部分图象判断D作答.
【详解】依题意，当时，，当时，，函数的定义域为，有，
又，即，因此有，即，
于是有，从而得函数的周期，
对于A，，A不正确；
对于B，当时，，有，则，
当时，，，有，
，当时，的取值范围为，B正确；
对于C，，函数为奇函数，C正确；
对于D，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：
方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，
观察图象知，函数与的图象有5个交点，因此方程仅有5个不同实数解，D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
25．（2022秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考开学考试）已知定义在R上的函数 满足 ， ，且对任意的 ，当 时，都有 ，则以下判断正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．函数在上单调递增
C．x=2是函数的对称轴D．函数的最小正周期是12
【答案】BCD
【分析】根据函数的奇偶性的定义判断A;由结合函数的奇偶性可推得以及，从而判断函数的对称轴和周期，判断C,D；根据函数的对称性和单调性以及周期性可判断B;
【详解】因为定义在R上的函数 满足，即，
故函数是奇函数，故A错误；
因为，故，而，
所以，即的图象关于对称，
则x=2是函数的对称轴，故C正确；
因为，所以，
故12是函数的周期；
对任意的 ，当 时，都有 ，
即，
故时，单调递减，又因为为奇函数，所以时，单调递减，
又因为的图象关于对称，故时，单调递增，
因为12是函数的周期，故函数在 单调性与时的单调性相同，
故函数在上单调递增，故B正确，
作出函数的大致图象如图示：
结合图象可得知12是函数的最小正周期，D正确；
故选：BCD
【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性以及对称性和周期性的判断，综合性强，推理复杂，要能熟练地应用相应概念进行相应的推理，解答的关键是函数单调性对称性以及奇偶性周期性的综合应用.
26．（2022秋·江苏南通·高三统考开学考试）设定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．的解析式唯一
C．若是周期为的函数，则
D．若时，，则是上的增函数
【答案】ACD
【分析】令求出，再令即可得到，即可判断A，再利用特殊值判断B，根据判断C，最后根据奇函数的性质及单调性的定义判断D.
【详解】解：因为，令，可得，解得，
再令，所以，即，所以，所以为奇函数，故A正确；
令，
则，
，
满足，故的解析式不唯一，即B错误；
若是周期为的函数，则，所以，又，
所以，故C正确；
因为当时，，所以当时，则，
设任意的，且，则，
所以，因为，且，
所以，，，，，
所以，即，
所以在上单调递增，则在上单调递增，又，
且当时，，当时，则，
所以是上的增函数，故D正确；
故选：ACD
27．（2022·江苏苏州·高三校联考阶段练习）已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则（ ）
A．的图像关于点对称
B．在区间上单调递减
C．若关于x的方程在区间上的所有实数根的和为，则
D．函数有4个零点
【答案】ACD
【分析】对于A，由，结合偶函数性质，可得答案；
对于B，根据偶函数的对称性和函数图像的中心对称性，可得答案；
对于C，根据函数与方程的关系，结合对称性，可得答案；
对于D，根据函数的图像性质，函数值域之间的比较，可得答案.
【详解】由题意，得，所以，所以是以4为周期的函数，故，所以的图像关于点对称，故选项A正确；
由A可知：当时，，当时，，
.即当时，，
又，所以为偶函数，则当时，，
，所以.根据的周期性，
当时，，则，
同理，当，，得，
所以在区间上单调递增，故选项B错误；
根据上述结论，函数在上的图像如下：
求方程等价于函数的图像与的图像相交点的横坐标，如图，
设从小到大依次为，，，其中，其和，解得，代入，得，故选项C正确；
求函数的零点个数，即求曲线与的公共点个数.
当时，在点处的切线方程为，故与只有一个公共点.由，，得时，与有一个交点，故当时，与有2个公共点.由与均为偶函数，得当时，与有2个公共点，故函数有4个零点.如下图.
故选项D正确.
故选：ACD.
28．（2022秋·江苏盐城·高三盐城中学校考阶段练习）已知是定义在R上周期为4的函数，且，当时，，对于闭区间，用表示在上的最大值．若正数满足，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】先利用函数的对称性与周期性推导得，进而计算得的解析式，结合函数的周期从而计算得与的解析式，作出函数图像，然后分类讨论，，，，五种情况下，，并根据计算并得复合条件的值.
【详解】由，且周期为4，
，
即，
令，则，所以，
所以；所以当时，，
时，…
作出函数的部分图像如图所示：
若，则，在上单调递增，
所以，，
显然不满足；若，则，
在上单调递增，在上单调递减，
所以，，显然不满足，
若，则，所以，
，由，
即，解得或（舍去）；
若，则，所以，
或，
由，即，
解得或（舍去）；
当时，，所以，，
显然不满足，故舍去；故或
故选：AD
【点睛】思路点睛：根据函数的对称性与周期性推导函数的奇偶性，即可计算的解析式，再结合周期写出函数与的解析式，再作出函数图像，注意利用数形结合与分类讨论的方法，计算的值，并代入计算.
29．（2022秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）设函数的定义域为，且满足，当时，.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，的取值范围为
C．为奇函数
D．方程仅有4个不同实数解
【答案】BC
【分析】A选项，根据，推导出，所以的周期为8，得到，A错误；
B选项，根据函数性质求出，，当时，，从而确定的取值范围；
C选项，根据得到关于中心对称，从而关于原点中心对称，即为奇函数；
D选项，画出与的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程的根的个数.
【详解】因为，
所以，
因为，
故，
所以，
即，
所以，
所以，
所以的周期为8，
因为，
所以
因为，
所以，
因为时，，
所以，
故，A错误；
当，，
所以，
当，，，
所以，
综上：当时，的取值范围为，B正确；
因为，所以关于中心对称，
故关于原点中心对称，所以为奇函数，C正确；
画出与的图象，如下：
因为
所以两函数图象共有5个交点，所以方程仅有5个不同实数解，D正错误.
故选：BC
30．（2022秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知偶函数在R上可导，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】A选项：根据偶函数图象的特点和导数的几何意义判断即可；
B选项；对求导，得到，，再根据函数的奇偶性得到，然后求即可；
C选项：利用特殊函数的思路，找出一个满足题目要求的，代入即可判断；
D选项：根据的奇偶性得到，然后利用累加法求即可.
【详解】因为函数为偶函数，所以的图象在处的斜率为0，即，故A正确；
函数为偶函数，所以为奇函数，，所以，令，得，又为奇函数，所以，，故B正确；
假设，满足为偶函数，，，符合题目的要求，此时，，故C错；
为偶函数，所以，即，
，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】①为偶函数，则为奇函数；为奇函数，则为偶函数；
②当（可求和）时，可以用累加法求，.
2023届新高考数学复习尖子生30题难题破（江苏省专用）
一、单选题
1．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知函数的图像既关于点中心对称，又关于直线轴对称.当时，，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设表示函数的图像，，根据中心对称性与轴对称性，可依次得，，，取，可计算得，从而可计算得.
【详解】用表示函数的图像，对任意的，
令，则，且，
利用的中心对称性与轴对称性，可依次推得
，，，
取，此时，
因此.
故选：B
【点睛】本题考查了中心对称与轴对称的应用，求解的关键是根据中心对称与轴对称特点表示出函数图像上的点之间的关系，然后代值计算.
2．（2022秋·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，；且当时，．则方程所有的根之和为（ ）
A．6B．12C．14D．10
【答案】D
【分析】根据题意可得为奇函数，其图象关于直线对称且一个周期为4，再根据当时，，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.
【详解】∵，∴为奇函数，又∵，
∴的图象关于直线对称．
当时，，单调递增．
由，即有，
所以，即函数的一个周期为4，
由可得，，所以的图象关于中心对称．
函数的简图如下：
其中，
由，∴所有实根之和为.
故选：D．
【点睛】本题求零点之和需要掌握的方法：
（1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；
（2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；
3．（2022秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先证明为奇函数，再进行合理赋值逐个分析判断.
【详解】对A：∵为偶函数，则
两边求导可得
∴为奇函数，则
令，则可得，则，A成立；
对B：令，则可得，则，B成立；
∵，则可得
，则可得
两式相加可得：，
∴关于点成中心对称
则，D成立
又∵，则可得
，则可得
∴以4为周期的周期函数
根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立
故选：C.
【点睛】对于抽象函数的问题，一般通过赋值结合定义分析运算.
4．（2022秋·江苏镇江·高三校考期中）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为奇函数
C．在上是减函数D．方程仅有个实数解
【答案】C
【分析】推导出，可判断A选项的正误；利用函数的周期性可判断BC选项的正误；数形结合可判断D选项.
【详解】由题意可得，所以，，
由题意，，所以，，
所以，，则，故函数的周期为，
对于A选项，，A对；
对于B选项，因为，
因为函数为奇函数，则函数为奇函数，B对；
对于C选项，因为，则函数的图象关于直线对称，
当时，，故函数在上单调递增，
又因为函数的周期为，故函数在上单调递增，C错；
对于D选项，因为当，，
的图象关于直线对称，且关于点对称，
且当时，，且，
作出函数的图象与曲线的图象如下图所示：
由图可知，函数的图象与曲线的图象只有个交点，D对.
故选：C.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
5．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第七中学校考阶段练习）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论错误的是（ ）
A．是奇函数B．
C．的图像关于（1，0）对称D．
【答案】A
【分析】根据题设有、，进而可得，即可判断的对称性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求，最后结合在上的单调性及对称性和周期性判断上的单调性，比较函数值大小.
【详解】由题设，，即，则关于对称，C正确；
，即，关于对称，
所以，即周期为4，
且，即为偶函数，A错误；
则，
因为函数的定义域为R，关于对称，则，B正确；
又，且，都有，即在上递增，
综上，在上递增，则上递减，故，D正确.
故选：A
6．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】B
【分析】先判断函数是严格递减的函数，且有对称中心，找出之间的关系可求.
【详解】，
故函数关于对称，又在上严格递减；
即
当且仅当时取得.
故选：B.
7．（2022秋·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论错误的为（ ）
A．是偶函数B．
C．的图象关于对称D．
【答案】D
【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．
【详解】为奇函数，为偶函数，的图象关于点对称且关于直线对称，，，，
，所以是周期函数，4是它的一个周期．
，
，B正确；
，是偶函数，A正确；
因此的图象也关于点对称，C正确；
对任意的，且，都有，即时，，所以在是单调递增，
，，，
，∴，D错．
故选：D．
【点睛】结论点睛：（1）的图象关于点对称，也关于点对称，则是周期函数，是的一个周期；
（2）的图象关于直线对称，也关于直线对称，则是周期函数，是的一个周期；
（1）的图象关于点对称，也关于直线对称，则是周期函数，是的一个周期．
8．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为R，且是偶函数，记，也是偶函数，则的值为（ ）
A．－2B．－1C．0D．2
【答案】C
【分析】根据是偶函数，可得 ，求导推得，从而求得，再根据为偶函数，可推得，即4是函数的一个周期，由此可求得答案.
【详解】因为是偶函数，所以 ，
两边求导得 ，即，
所以 ，即，
令 可得 ，即 ，
因为为偶函数，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
，所以4是函数的一个周期，
所以,
故选∶C．
【点睛】方法点睛：此类有关抽象函数的求值问题，一般方法是要根据题意推导出函数具有的性质，比如函数的奇偶性单调性以及周期性，然后利用周期性求值.
9．（2022秋·江苏盐城·高三统考阶段练习）已知函数，若，其中，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】通过函数解析式可推得，再利用倒序相加法求得
，得到的值，然后对分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以
，
令
则所以
所以，所以，其中，则.
当时
当且仅当 即 时等号成立；
当时
，
当且仅当 即 时等号成立；
因为，所以的最小值为.
故选：A.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．（2021秋·江苏南京·高三南京市中华中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，进而可得答案.
【详解】当时，单调递减，，
当时，单调递减，，
故在上单调递减，
由，得的对称轴为，
若对任意的，不等式恒成立，
即对，不等式恒成立，
，
即，
即，
故实数的最大值为.
故选：C.
11．（2021·江苏镇江·模拟预测）已知为自然对数的底数，为函数的导数.函数满足，且对任意的都有，，则下列一定判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，根据导数判断函数在上单调递增，根据得到函数关于对称，得出，，以及，进而可得结果.
【详解】设，则，
∵对任意的都有，
∴，则在上单调递增，
，，
∵，∴，
∴，∴，
∴关于对称，则，
∵在上单调递增，
∴，即，∴；
即成立，故D错误；
∵，，
∴，，
即，，故A，C 均错误；
∵，∴，故B正确；
故选：B.
【点睛】破解抽象函数不等问题需要构建新函数，常见构造形式如下：
1.对于不等式，构造函数；
2.对于不等式，构造函数；
3.对于不等式，构造函数；
4. 对于不等式，构造函数；
5. 对于不等式，构造函数；
12．（2022秋·江苏淮安·高三马坝高中校考阶段练习）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
13．（2021秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考阶段练习）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先探究得到：当或时，；当时，. 然后将不等式等价为或，进而可得结果.
【详解】显然，函数是定义域为的偶函数.
当时，，所以是减函数，且；
所以当时，是增函数，且.
因此，当或时，；当时，.
所以，或
或
或.
故的解集为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是探究得到：当或时，；当时，.
14．（2020春·江苏盐城·高三江苏省滨海中学校考阶段练习）已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设，构造，易证为奇函数，利用导数可证为增函数，结合题设不等式可得，即对任意均成立，即可求的范围.
【详解】由题设，令，
∴，
∴为奇函数，又，即为增函数，
∵，即，
∴，则，
∴对任意均成立，又，当且仅当时等号成立，
∴，即.
故选：A
【点睛】关键点点睛：构造并证明其奇偶性、单调性，结合题设不等式可将问题转化为对任意均成立.
15．（2021秋·江苏盐城·高三阜宁县东沟中学校考阶段练习）定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至多有三个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先利用是偶函数的条件求出，进而得到函数具有周期性，然后利用函数的周期性和奇偶性作出函数的图像，利用与的图像在上至多有三个交点确定a的取值范围.
【详解】∵函数是偶函数，
∴令得，
解得.
∴，即函数的周期是2.
由得，
令，
当时，，
若，如图所示：
则由图像可知，此时函数在上没有零点，此时满足条件.
若，如图所示：
则由图像可知，要使两个函数与在上至多有三个交点，
则不能在点上方，
即，
∴.
综上所述，a的取值范围是，
故选：B.
16．（2021秋·江苏扬州·高三统考期中）设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，.若对任意的不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．[0，1]B．C．D．[1，2]
【答案】B
【分析】由所给解析式可得，原问题转化为，根据单调性及偶函数的性质可得恒成立，去掉绝对值即可求解.
【详解】易得: ，则,
即
由解析式知，在递增
不等式可化为: 对任意恒成立，
即对任意恒成立，
由单调性知， 即恒成立，
则，
故选：B
17．（2022秋·江苏南京·高三期末）若函数 的定义域为，且 ， ，则曲线与的交点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】利用赋值法求出当，且x依次取时的一些函数值，从而找到函数值变化的规律，同理找到当，且x依次取时，函数值变化的规律，数形结合，即可求得答案.
【详解】由题意函数 的定义域为，且，
，
令，则，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
依次类推，可发现此时当，且x依次取时，
函数的值依次为 ，即每四个值为一循环，
此时曲线与的交点为；
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
依次类推，可发现此时当，且x依次取时，
函数的值依次为 ，即每四个值为一循环，
此时曲线与的交点为；
故综合上述,曲线与的交点个数为3，
故选：B
【点睛】难点点睛：确定曲线与的交点个数，要明确函数的性质，因此要通过赋值求得的一些函数值，从中寻找规律，即找到函数的函数值循环的规律特点，这是解答本题的难点所在.
二、多选题
18．（2020秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数（为自然对数的底数）有唯一零点，则的值可以为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】BC
【解析】由已知，换元令，可得，从而为偶函数，图象关于对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.
【详解】∵，
令，则，定义域为，
，故函数为偶函数，
所以函数的图象关于对称，
要使得函数有唯一零点，则，
即，解得或
①当时，
由基本不等式有，当且仅当时取得
故，当且仅当取等号
故此时有唯一零点
②当时，，同理满足题意.
故选：BC．
【点睛】方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.
②的图象关于直线对称
19．（2022春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且时，，时，．令，，若函数的零点有个，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据函数满足的性质，作出的图象，函数零点可转化为两函数图象的交点，利用数形结合求解.
【详解】，
自变量每增加2个单位，纵坐标扩大为原来的2倍，
时，，时，，
作出图象如图，
的零点有8个，
即与在上有8个交点，
由图象可知，需满足
，
解得.
所以可取，
故选：BC
【点睛】关键点点睛：根据所给函数满足的性质，作出函数在上的图象是解题的关键，根据数形结合，由交点个数为8探求的取值范围，属于难题.
20．（2022秋·江苏扬州·高三校考期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为R
B．是偶函数
C．的图象关于直线对称
D．
【答案】BCD
【分析】求得的值域判断选项A；求得的奇偶性判断选项B；求得的对称轴判断选项C；求得的大小关系判断选项D.
【详解】，因为，
所以的值域为.A错；
的定义域是R，且，则是偶函数.B对；
的图象可看成的图象向左平移一个单位长度，
又的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称.C对；
令，则，
当时，，单调递增，且
又为上增函数，所以在上单调递增，
因为，所以，
又是偶函数，则，则.D对.
故选：BCD.
21．（2021秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知函数满足：对于任意实数，都有，且，则（ ）
A．是奇函数B．是周期函数
C．D．在上是增函数
【答案】AB
【分析】利用赋值法以及特殊函数即可得出答案.
【详解】解：对A，由
令，得 ，
，
为奇函数，故A正确；
对B，令，得
是周期函数，故B正确；
对C，当时，符合题意，但是，故C错误；
对D，当时，符合题意，但是在上是减函数，故D错误.
故选：AB.
【点睛】关键点睛：对于抽象函数，常用赋值法求解函数相关性质.
22．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（ ）
A．当时，
B．任意，
C．存在非零实数，使得任意，
D．存在非零实数，使得任意，
【答案】ABD
【分析】令可推导得，结合的值可知A正确；令可推导得，结合可推导知B正确；根据单调性可知C错误；当时，根据的对称中心及其在时的值域可确定时满足，知D正确.
【详解】对于A，令，则，即，
又，；
令得：，，，，
则由可知：当时，，A正确；
对于B，令，则，即，
，
由A的推导过程知：，，B正确；
对于C，为上的增函数，
当时，，则；当时，，则，
不存在非零实数，使得任意，，C错误；
对于D，当时，；
由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；
当时，为上的增函数，，，，
；
由图象对称性可知：此时对任意，，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据已知关系式确定的对称中心，同时采用赋值的方式确定所满足的其他关系式，从而结合对称性和其他函数关系式来确定所具有的其他性质.
23．（2022秋·江苏镇江·高三校考开学考试）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数B．
C．的图像关于对称D．
【答案】BCD
【分析】根据题设有、，进而可得，即可判断的对称性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求，最后结合在上的单调性及对称性和周期性判断上的单调性，比较函数值大小.
【详解】由题设，，即，则关于对称，C正确；
，即，关于对称，
所以，即周期为4，
且，即为偶函数，A错误；
则，B正确；
又，且，都有，即在上递增，
综上，在上递增，则上递减，故，D正确.
故选：BCD
24．（2022秋·江苏扬州·高三统考开学考试）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，的取值范围为
C．为奇函数D．方程仅有5个不同实数解
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，确定函数的对称性、周期性，判断A，B，C；作出函数、的部分图象判断D作答.
【详解】依题意，当时，，当时，，函数的定义域为，有，
又，即，因此有，即，
于是有，从而得函数的周期，
对于A，，A不正确；
对于B，当时，，有，则，
当时，，，有，
，当时，的取值范围为，B正确；
对于C，，函数为奇函数，C正确；
对于D，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：
方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，
观察图象知，函数与的图象有5个交点，因此方程仅有5个不同实数解，D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
25．（2022秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考开学考试）已知定义在R上的函数 满足 ， ，且对任意的 ，当 时，都有 ，则以下判断正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．函数在上单调递增
C．x=2是函数的对称轴D．函数的最小正周期是12
【答案】BCD
【分析】根据函数的奇偶性的定义判断A;由结合函数的奇偶性可推得以及，从而判断函数的对称轴和周期，判断C,D；根据函数的对称性和单调性以及周期性可判断B;
【详解】因为定义在R上的函数 满足，即，
故函数是奇函数，故A错误；
因为，故，而，
所以，即的图象关于对称，
则x=2是函数的对称轴，故C正确；
因为，所以，
故12是函数的周期；
对任意的 ，当 时，都有 ，
即，
故时，单调递减，又因为为奇函数，所以时，单调递减，
又因为的图象关于对称，故时，单调递增，
因为12是函数的周期，故函数在 单调性与时的单调性相同，
故函数在上单调递增，故B正确，
作出函数的大致图象如图示：
结合图象可得知12是函数的最小正周期，D正确；
故选：BCD
【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性以及对称性和周期性的判断，综合性强，推理复杂，要能熟练地应用相应概念进行相应的推理，解答的关键是函数单调性对称性以及奇偶性周期性的综合应用.
26．（2022秋·江苏南通·高三统考开学考试）设定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．的解析式唯一
C．若是周期为的函数，则
D．若时，，则是上的增函数
【答案】ACD
【分析】令求出，再令即可得到，即可判断A，再利用特殊值判断B，根据判断C，最后根据奇函数的性质及单调性的定义判断D.
【详解】解：因为，令，可得，解得，
再令，所以，即，所以，所以为奇函数，故A正确；
令，
则，
，
满足，故的解析式不唯一，即B错误；
若是周期为的函数，则，所以，又，
所以，故C正确；
因为当时，，所以当时，则，
设任意的，且，则，
所以，因为，且，
所以，，，，，
所以，即，
所以在上单调递增，则在上单调递增，又，
且当时，，当时，则，
所以是上的增函数，故D正确；
故选：ACD
27．（2022·江苏苏州·高三校联考阶段练习）已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则（ ）
A．的图像关于点对称
B．在区间上单调递减
C．若关于x的方程在区间上的所有实数根的和为，则
D．函数有4个零点
【答案】ACD
【分析】对于A，由，结合偶函数性质，可得答案；
对于B，根据偶函数的对称性和函数图像的中心对称性，可得答案；
对于C，根据函数与方程的关系，结合对称性，可得答案；
对于D，根据函数的图像性质，函数值域之间的比较，可得答案.
【详解】由题意，得，所以，所以是以4为周期的函数，故，所以的图像关于点对称，故选项A正确；
由A可知：当时，，当时，，
.即当时，，
又，所以为偶函数，则当时，，
，所以.根据的周期性，
当时，，则，
同理，当，，得，
所以在区间上单调递增，故选项B错误；
根据上述结论，函数在上的图像如下：
求方程等价于函数的图像与的图像相交点的横坐标，如图，
设从小到大依次为，，，其中，其和，解得，代入，得，故选项C正确；
求函数的零点个数，即求曲线与的公共点个数.
当时，在点处的切线方程为，故与只有一个公共点.由，，得时，与有一个交点，故当时，与有2个公共点.由与均为偶函数，得当时，与有2个公共点，故函数有4个零点.如下图.
故选项D正确.
故选：ACD.
28．（2022秋·江苏盐城·高三盐城中学校考阶段练习）已知是定义在R上周期为4的函数，且，当时，，对于闭区间，用表示在上的最大值．若正数满足，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】先利用函数的对称性与周期性推导得，进而计算得的解析式，结合函数的周期从而计算得与的解析式，作出函数图像，然后分类讨论，，，，五种情况下，，并根据计算并得复合条件的值.
【详解】由，且周期为4，
，
即，
令，则，所以，
所以；所以当时，，
时，…
作出函数的部分图像如图所示：
若，则，在上单调递增，
所以，，
显然不满足；若，则，
在上单调递增，在上单调递减，
所以，，显然不满足，
若，则，所以，
，由，
即，解得或（舍去）；
若，则，所以，
或，
由，即，
解得或（舍去）；
当时，，所以，，
显然不满足，故舍去；故或
故选：AD
【点睛】思路点睛：根据函数的对称性与周期性推导函数的奇偶性，即可计算的解析式，再结合周期写出函数与的解析式，再作出函数图像，注意利用数形结合与分类讨论的方法，计算的值，并代入计算.
29．（2022秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）设函数的定义域为，且满足，当时，.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，的取值范围为
C．为奇函数
D．方程仅有4个不同实数解
【答案】BC
【分析】A选项，根据，推导出，所以的周期为8，得到，A错误；
B选项，根据函数性质求出，，当时，，从而确定的取值范围；
C选项，根据得到关于中心对称，从而关于原点中心对称，即为奇函数；
D选项，画出与的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程的根的个数.
【详解】因为，
所以，
因为，
故，
所以，
即，
所以，
所以，
所以的周期为8，
因为，
所以
因为，
所以，
因为时，，
所以，
故，A错误；
当，，
所以，
当，，，
所以，
综上：当时，的取值范围为，B正确；
因为，所以关于中心对称，
故关于原点中心对称，所以为奇函数，C正确；
画出与的图象，如下：
因为
所以两函数图象共有5个交点，所以方程仅有5个不同实数解，D正错误.
故选：BC
30．（2022秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知偶函数在R上可导，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】A选项：根据偶函数图象的特点和导数的几何意义判断即可；
B选项；对求导，得到，，再根据函数的奇偶性得到，然后求即可；
C选项：利用特殊函数的思路，找出一个满足题目要求的，代入即可判断；
D选项：根据的奇偶性得到，然后利用累加法求即可.
【详解】因为函数为偶函数，所以的图象在处的斜率为0，即，故A正确；
函数为偶函数，所以为奇函数，，所以，令，得，又为奇函数，所以，，故B正确；
假设，满足为偶函数，，，符合题目的要求，此时，，故C错；
为偶函数，所以，即，
，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】①为偶函数，则为奇函数；为奇函数，则为偶函数；
②当（可求和）时，可以用累加法求，.
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