2023-2024学年河南省驻马店市汝南县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省驻马店市汝南县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示正方体的展开图中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算中，结果正确的是( )
A. 2m2+m2=3m4B. m2⋅m4=m8C. m4÷m2=m2D. (m2)4=m6
3.将0.00000023用科学记数法表示为( )
A. 23⋅10−7B. 2.3⋅10−7C. 2.3⋅10−8D. 0.23⋅10−8
4.如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠2=60°，则∠1=( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
5.设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片，长为a、宽为b的C类矩形纸片若干张.如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为3a+2b、宽为2a+b的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
6.如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A(−2,1)，B(−1,3)，C(−4,4).先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2.若B2(2,1)，则点A2坐标为( )
A. (1,5)B. (1,3)C. (5,3)D. (5,5)
7.如图，AD=BC，添加下列条件仍不能判定△ABC≌△CDA的是( )
A. AD//BCB. AB=CD
C. ∠B=∠DD. ∠DAC=∠BCA
8.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它是边形．( )
A. 四B. 五C. 六D. 八
9.我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式.给出以下4组图形及相应的代数恒等式：

其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.如果关于x的分式方程2x−mx+1=1的解是负数，那么实数m的取值范围是( )
A. m<−1B. m>−1且m≠0
C. m>−1D. m<−1且m≠−2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若代数式5x−1有意义，则实数x的取值范围是______．
12.如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA=10米，OB=8米，A、B间的距离可能是______.(写出一个即可)
13.已知y2−my+4是完全平方式，则m的值是______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4，CF=1，则EF的长度为______．
15.如图，∠AOB=15°，M是边OA上的一个定点，且OM=10，N，P分别是边OA、OB上的动点，则PM+PN的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)|−2023|−(−13)−1+π0− 9；
(2)(a−2b)(a+2b)−a(a−b)．
17.(本小题8分)
以下是某同学化简分式a−ba÷(a−2ab−b2a)的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第______步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
18.(本小题9分)
证明：角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图，OC平分∠AOB，点P是OC任意上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，E、F为垂足．
求证：______；
证明：
19.(本小题10分)
如图，已知∠MBC．
(1)尺规作图(不写作法，保留作图度迹)；
①作线段BC的垂直平分线，垂足为D，交BM于点A，连接AC；
②作∠MBC的角平分线BE，交AD于点E．
(2)若∠BAC=40°，求∠ABE的度数．
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°.过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D.使AD=AC.在边AC上截取AF=AB，连接DF.求证：DF=CB．
21.(本小题9分)
为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵.开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵？
22.(本小题10分)
阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小胡同学用换元法对多项式(x2−2x−1)(x2−2x+3)+4进行因式分解的过程．
解：设x2−2x=y，
原式=(y−1)(y+3)+4(第一步)
=y2+2y+1(第二步)
=(y+1)2(第三步)
=(x2−2x+1)2(第四步)
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小胡同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______；
A.提取公因式法
B.平方差公式法
C.完全平方公式法
(2)老师说，小胡同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______；
(3)请你用换元法对多项式(x2+6x)(x2+6x+18)+81进行因式分解．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且∠BED=∠CFE，BE=CF．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由轴对称图形定义可知D选项中的图形是轴对称图形，
故选：D．
根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果．
此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．
2.【答案】C
【解析】解：2m2+m2=3m2，则A不符合题意；
m2⋅m4=m6，则B不符合题意；
m4÷m2=m2，则C符合题意；
(m2)4=m8，则D不符合题意；
故选：C．
根据整式的运算法则将各项计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：0.00000023=2.3×10−7．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：∵∠D=90°，∠2=60°，
∴∠DAC=90°−∠2=90°−60°=30°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
AC=ACCB=CD，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴∠1=∠DAC=30°．
故选：A．
根据直角三角形两锐角互余求出∠ADC，再利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠DAC．
本题考查了全等三角形的判定与性质、证明三角形全等是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵(3a+2b)(2a+b)
=6a2+3ab+4ab+2b2
=6a2+2ab+2b2，
∴若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为7张．
故选：B．
用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据A、B、C类卡片的形状可得答案．
本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵A(−2,1)，B(−1,3)，C(−4,4)关于x轴对称的点的坐标为A1(−2,−1)，B1(−1,−3)，C1(−4,−4)，
又∵B2(2,1)，
∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点A2坐标为(−2+3,−1+4)，即(1,3)．
故选：B．
先根据轴对称的性质求出A1，B1，C1的坐标，根据平移的性质即可求出A2的坐标．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，坐标与图形变化−平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质．
7.【答案】C
【解析】解：∵AD=BC，AC=CA，
∴当添加AD//BC时，∠ACB=∠CAD，△ABC≌△CDA(SAS)；
当添加AB=CD时，△ABC≌△CDA(SSS)；
当添加∠B=∠D时不能判断△ABC≌△CDA；
故选：C．
由于AD=BC，AC为公共边，所以根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
8.【答案】C
【解析】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这是个六边形，
故选：C．
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
本题主要考查了多边形的内角和与外角和定理，熟练掌握多边形内角和=180°(n−2)及外角和定理是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选：D．
观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积．
10.【答案】D
【解析】解：将分式方程两边同乘(x+1)，去分母可得：2x−m=x+1，
移项，合并同类项得：x=m+1，
∵原分式方程的解是负数，
∴m+1<0，且m+1+1≠0，
解得：m<−1且m≠−2，
故选：D．
解含参的分式方程，结合已知条件及分式有意义的条件切得m的取值范围即可．
本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，特别注意解得的分式方程的解不能使最简公分母为0．
11.【答案】x≠1
【解析】解：∵代数式5x−1有意义，
∴x−1≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．
根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
12.【答案】10
【解析】解：∵10−8∴2∴A、B间的距离可能是10米．
故答案为：10(答案不唯一)．
根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围，看哪个数值不在范围即可．
此题考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是大于已知的两边的差，而小于两边的和．
13.【答案】±4
【解析】解：∵(y±2)2=y2±4y+4，
∴在y2−my+4中，±y=my，
解得m=±4．
故答案为：±4．
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，这里首末两项是y和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去y和2积的2倍，故m=±4．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
14.【答案】3
【解析】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA=∠AFC=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠FAC=∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC∠ABE=∠FACAB=AC，
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴AF=BE，AE=CF，
∵BE=4，CF=1，
∴AF=BE=4，AE=CF=1，
∴EF=AF−AE=4−1=3，
故答案为：3．
先证明△ABE≌△CAF(AAS)，根据全等三角形的性质可得AF=BE=4，AE=CF=1，进一步可得EF的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：作M关于OB的对称点Q，过Q作QN⊥OA于N，交OB于P，则此时PM+PN的值最小，连接OQ，
则∠QOB=∠AOB=15°，OQ=OM=10，PM=PQ，∠QNO=90°，
∵QN=12OQ12×10=5，
∴PM+PN=PQ+PN=QN=5，
故答案为：5．
作M关于OB的对称点Q，过Q作QN⊥OA于N，交OB于P，则此时PM+PN的值最小，连接OQ，得出∠QOB=∠AOB=15°，OQ=OM=10，PM=PQ，∠QNO=90°，根据含30度角的直角三角形性质求出QN即可．
本题考查了含30度角的直角三角形性质，轴对称−最短路线问题，垂线段最短的应用，关键是确定P、N的位置．
16.【答案】解：(1)原式=2023+3+1−3
=2024；
(2)原式=a2−4b2−a2+ab
=−4b2+ab．
【解析】(1)先算绝对值，负整数指数幂，零指数幂，算术平方根，再算加减即可；
(2)先利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．
本题主要考查实数的运算和整式的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】一
【解析】解：(1)上面的运算过程中第一步开始出现了错误；
故答案为：一；
(2)原式=a−ba÷a2−2ab+b2a
=a−ba⋅a(a−b)2
=1a−b．
(1)利用分式的混合运算法则判断得出答案；
(2)利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
18.【答案】PE=PF
【解析】解：求证：PE=PF．
故答案为：PE=PF．
证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠POE=∠POF，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∠PEO=∠PFO=90°，
在△PEO和△PFO中，
∠POE=∠POF∠PEO=∠PFO=90°PO=PO，
∴△PEO≌△PFO(AAS)，
∴PE=PF．
根据题意可填写出求证的结果；根据角平分线的定义可得∠POE=∠POF，再根据垂直的定义可得∠PEO=∠PFO=90°，据此可依据“AAS”判定△PEO和△PFO全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，垂直的定义是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，AD、BE为所作；

(2)∵AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠BAC)=12×(180°−40°)=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=12×70°=35°．
【解析】(1)①利用基本作图作BC的垂直平分线；
②利用基本作图作∠MBC的平分线；
(2)先根据线段垂直平分线的性质得到AB=AC，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABC=70°，然后根据角平分线的定义求解．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
20.【答案】证明：在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，
∴∠CAB=180°−∠B−∠C=110°．
∵AE⊥BC．
∴∠AEC=90°．
∴∠DAF=∠AEC+∠C=110°，
∴∠DAF=∠CAB．
在△DAF和△CAB中，
AD=BC∠DAF=∠CABAF=AB，
∴△DAF≌△CAB(SAS)．
∴DF=CB．
【解析】利用三角形内角和定理得∠CAB的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
21.【答案】解：设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树(1+20%)x棵，
根据题意得：6000x−6000(1+20%)x=2，
解得：x=500，
经检验，x=500是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．
【解析】设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树(1+20%)x棵，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】C (x−1)4
【解析】解：(1)故选：C；
(2)(x2−2x+1)2
=(x−1)4；
故答案为：(x−1)4；
(3)设x2+6x=y，
原式=y(y+18)+81
=y2+18y+81
=(y+9)2
=(x2+6x+9)2
=(x+3)4．
(1)根据完全平方公式进行分解因式；
(2)最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
(3)根据材料，用换元法进行分解因式．
本题考查了因式分解−换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DBE和△ECF中，
∠BED=∠CFEBE=CF∠B=∠C，
∴△DBE≌△ECF(ASA)，
∴DE=FE，
∴△DEF是等腰三角形；
(2)解：当∠A=60°时，△DEF是等边三角形．理由如下：
∵∠BED+∠DEF=∠CFE+∠C，
又∵∠BED=∠CFE∴∠DEF=∠C．
∵∠A=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠DEF=60°，
由(1)知△DEF是等腰三角形，
∴△DEF是等边三角形．
【解析】(1)首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE=FE，进而可得到△DEF是等腰三角形；
(2)∠A=60°时，△DEF是等边三角形，首先根据△DBE≌△ECF，再证明∠DEF=60°，可以证出结论．
此题主要考查了等腰三角形的判定，等边三角形的判定，解答本题的关键是证明△DBE≌△ECF．解：原式=a−ba÷a−a−ba÷2ab−b2a……第一步
=a−ba⋅1a−a−ba⋅a2ab−b2……第二步
=a−ba2−a−b2ab−b2……第三步
……