2023-2024学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列几何体中，其左视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
2.下列四个点，在反比例函数y=6x的图象上的是( )
A. (−3,−3)B. (1,16)C. (3,2)D. (5,1)
3.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是( )
A. 7B. 6C. 5D. 4
4.如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠A=50°时，∠OBC的度数是( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
5.如图，利用标杆DA测量楼高，点C，A，B在同一直线上，DA⊥CB，EB⊥CB，垂足分别为A，B.若测得AB=16米，DA=3米，CA=4米，则楼高EB为( )
A. 10米B. 12米C. 15米D. 20米
6.如图，AB与CD相交于点O，添加一个条件，不能判断△AOC∽△BOD的是( )
A. ∠A=∠B
B. ∠C=∠D
C. OAOB=OCOD
D. OAOB=ACBD
7.关于反比例函数y=2x，下列结论正确的是( )
A. 图象位于第二、四象限B. 当x<0时，y随x的增大而减小
C. 当x>2时，y>1D. 图象与坐标轴有交点
8.已知二次函数y=ax2+2x+c，其中ac<0，则它的图象可能是( )
A. B. C. D.
9.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”.某数学兴趣小组用无人机测量超然楼AB的高度，测量方案如图2：先将无人机垂直上升至距水平地面142m的P点，测得超然楼顶端A的俯角为37°，再将无人机面向超然楼沿水平方向飞行210m到达Q点，测得超然楼顶端A的俯角为45°，则超然楼AB的高度约为( )
(参考数据：tan37°≈34，sin37°≈35，cs37°≈45)
A. 48mB. 50mC. 52mD. 54m
10.已知二次函数y=mx2−4mx+1，其中m>0，若当0≤x≤4时，对应的y的整数值有6个，则m的取值范围为( )
A. 12二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.抛物线y=2(x−1)2+5的顶点坐标是______．
12.二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动.如图，在边长为2cm的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验.经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为______cm2．
13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是______．
14.如图，点A是双曲线y=−10x上一点，过点A分别作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C两点.AB，AC与双曲线y=kx分别交于D，E两点，若四边形ADOE的面积为6，则k= ______．
15.如图，在网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，D，E均在格点上，且E在BCD上.AB交BCD于点C，则BC的长为______．
16.如图，在菱形ABCD中，AB=5，AD上有一点E，连接BE，将△ABE沿BE翻折使点A的对应点A′落在CD上，连接A′B，A′E.若A′C=3，则DE= ______．
三、解答题：本题共12小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：2sin30°−tan60°+2cs30°+(−1)2023．
18.(本小题6分)
某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数，如图所示．
(1)写出这一函数的表达式______．
(2)当气球内的气压大于160kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少？
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠ADE=∠C，AB=6，AC=9，DB=3，求AE的长．
20.(本小题8分)
某校举行了第二届信息技术应用大赛，将该校九年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成不完整的统计表和扇形统计图．
竞赛成绩不完整统计表
请观察上面的图表，解答下列问题：
(1)统计表中m= ______；统计图中n= ______，B组的圆心角是______度.
(2)D组的3名学生中，有2名男生和1名女生.从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动，请用画树状图或列表的方法求“至少1名女生被抽取参加5G体验活动”的概率．
21.(本小题8分)
小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图2，小丽坐在秋千的最低点F处，O，F，A共线.妈妈先将小丽拉到B处，然后用力一推，爸爸在C处接住她.若秋千OB的长度为3米，∠BOD=25°，∠COD=55°.(参考数据：sin25°≈0.42，cs25°≈0.91，sin55°≈0.82，cs55°≈0.57)

(1)求B处到OA的距离BD的长度；
(2)若秋千最低点F到地面的距离AF为0.3米，则C处距地面的高度为多少？
22.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点C.连接AC，BC．
(1)求证：∠CAB=∠BCD；
(2)若BD=2，CD=4，求AB的长．
23.(本小题10分)
喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.如图2，将喷灌架置于坡度为1：5的坡地底部点O处(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为20米时，达到最大高度(与喷灌架底部所在水平面的距离)9米．
(1)求图2中抛物线表达式；
(2)当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度AB的长；
(3)若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为3.5米，求水流与喷水头的水平距离．
24.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，B点坐标为(6,3)，反比例函数y=kx(x>0)与BC交于点D，与AB交于点E，BD=2CD．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，连接DE，AC，求证：DE/​/AC；
(3)如图3，点P在x轴上，连接DP，以点D为旋转中心将线段DP逆时针旋转90°得DP′，若点P′恰好落在反比例函数上，求点P的坐标．
25.(本小题12分)
(1)已知△ADC为等边三角形，点B是线段AD上的动点，连接BC．
①如图1，AN=AB，∠DAN=60°，连接ND，延长CB交DN于点E.则ND和BC的数量关系是______，ND和BC所夹的钝角∠NEC= ______°.
②如图2，点M是BC上任意一点，点N在点M的左侧，作AN=12AM，∠MAN=60°，连接BN.当点B运动到AD的中点时，求BNMC的值和∠NBC的度数．
(2)如图3，已知△ADC为等腰直角三角形，∠DAC=90°，AC=4，点B，O分别是线段AD，AC的中点，连接BC.点M是线段BC上任意一点，点N在点M的左侧，作AN=12AM，∠MAN=90°，连接BN，ON，当ON取最小值时，直接写出BM的长．
26.(本小题12分)
抛物线y=x2−mx+m+1与y轴交于点A，顶点为D．
(1)若抛物线过点B(−3,2)，求抛物线顶点D和点A坐标；
(2)如图，在(1)的条件下，连接AB，点N为线段AB下方抛物线上一点，求△ABN面积的最大值；
(3)已知点P(2m+3,2)，Q(1,3+m2)，若线段PQ与抛物线恰有一个交点，求m的取值范围．
27.(本小题8分)
当整数k为何值时，关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+2k−1=0的两个根均为整数．
28.(本小题8分)
已知xy+x+y=44，x2y+xy2=484，求x3+y3．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、圆锥的左视图是三角形，故此选项符合题意；
B、三棱柱的左视图为长方形，故此选项不符合题意．
C、圆柱的左视图是长方形，故此选项不符合题意；
D、正方体的左视图是正方形，故此选项不符合题意；
故选：A．
利用左视图是从物体左面看，所得到的图形，进而分析得出即可．
本题考查了常见几何体的三视图，解题关键在于找准观察方位．
2.【答案】C
【解析】解：∵(−3)×(−3)=9，1×16=16，3×2=6，5×1=5，
∴点(3,2)在反比例函数y=6x的图象上，
故选：C．
根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
3.【答案】D
【解析】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内，
∴OP<5．
故选：D．
根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d4.【答案】D
【解析】解：∵∠A=∠BOC，∠A=50°，
∴∠BOC=100°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=12(180°−100°)=40°，
故选：D．
由圆周角定理，即可得到答案．
本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理及其推论的内容是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由题意得：CD/​/AE，
∴∠DCA=∠EAB，
∵DA⊥CB，EB⊥CB，
∴∠DAC=∠EBA=90°，
∴△DAC∽△EBA，
∴DAEB=ACAB，
∴3EB=416，
解得：EB=12，
∴楼高EB为12米，
故选：B．
根据题意可得：CD/​/AE，从而可得∠DCA=∠EAB，再根据垂直定义可得∠DAC=∠EBA=90°，然后证明△DAC∽△EBA，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：在△AOC和△BOD中，∠AOC=BOD，
A、∠A=∠B，∴△AOC∽△BOD，故A不符合题意；
B、∠C=∠D，∴△AOC∽△BOD，故B不符合题意；
C、OAOB=OCOD，∴△AOC∽△BOD，故C不符合题意；
D、OAOB=ACBD，不能判定△AOC∽△BOD，故D符合题意；
故选：D．
根据相似三角形的判定定理判断求解即可．
此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：反比例函数y=2x，图象在第一、三象限，与坐标轴没有公共点，故A选项和D选项不符合题意；
当x<0时，图象在第三象限，y随x的增大而减小，故B选项符合题意；
∵当x=2时，y=1，
当x>2时，图象在第一象限，y随x的增大而减小，
∴当x>2时，y<1，故C选项不符合题意；
故选：B．
利用反比例函数的图象和性质进行分析得出答案．
本题考查了反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵ac<0，
∴a，c异号，
当a>0时，c<0时，抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴的交点在负半轴，
当a<0时，c>0，抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在正半轴，
故选：C．
根据ac<0得出a，c异号，然后判断即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是对二次函数性质的掌握．
9.【答案】C
【解析】解：延长BA交PQ于点C，
由题意得：BC=142m，PQ=210m，BC⊥PQ，
设PC=x m，
∴CQ=PQ−PC=(210−x)m，
在Rt△APC中，∠APC=37°，
∴AC=PC⋅tan37°≈34x(m)，
在Rt△ACQ中，∠AQC=45°，
∴AC=CQ⋅tan45°=(210−x)m，
∴34x=210−x，
解得：x=120，
∴AC=210−x=90(m)，
∴AB=BC−AC=142−90=52(m)，
∴超然楼AB的高度约为52m，
故选：C．
延长BA交PQ于点C，根据题意可得：BC=142m，PQ=210m，BC⊥PQ，设PC=x m，则CQ=(210−x)m，然后分别在Rt△APC和Rt△ACQ中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵y=mx2−4mx+1=m(x−2)2+1−4m，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=0时，y=1，
当x=4时，y=1，
∵m>0，当0≤x≤4时，对应的y的整数值有6个，
∴当2≤x≤4时，y随着x的增大而增大，
则−5<1−4m≤−4，
∴54≤m<32，
故选：D．
由y=mx2−4mx+1=m(x−2)2+1−4m，可知在3≤x≤6范围内，函数的最小值为1−4m，最大值为1，若当0≤x≤4时，对应的y的整数值有6个，则−5<1−4m≤−4，解得即可．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数性质是解题的关键．
11.【答案】(1,5)
【解析】解：∵y=2(x−1)2+5是抛物线解析式的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(1,5)．
根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．
本题考查了顶点式y=a(x−h)2+k中，顶点坐标是(h,k)．
12.【答案】2.8
【解析】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为2×2×0.7≈2.8(cm2)，
故答案为：2.8．
用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13.【答案】140°
【解析】解：∵∠BOD=80°，
∴∠A=40°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD=180°−40°=140°，
故答案为：140°．
首先根据圆周角定理可得∠A=12∠BOD，然后再根据圆内接四边形对角互补可得答案．
此题主要考查了云内接四边形的性质和圆周角定理，关键是掌握圆内接四边形的对角互补；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14.【答案】−4
【解析】解：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，∠BOC=90°，
∴四边形ABOC为矩形，
∵点A是双曲线y=−10x上一点，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S矩形ABOC=|−10|=10，
∵点D，E在双曲线y=k/x上，且EC⊥y轴，DB⊥x轴，
∴S△OEC=12|k|，S△OBD=12|k|，
∵若四边形ADOE的面积为6，
∴S矩形ABOC−S△OEC−S△OBD=6，
即10−12|k|−12|k|=6，
∴|k|=4，
∵双曲线y=kx在第二象限，
∴k=−4．
故答案为：−4．
根据反比例函数比例系数的几何意义得S矩形ABOC=10，S△OEC=12|k|，S△OBD=12|k|，再根据若四边形ADOE的面积为6，得S矩形ABOC−S△OEC−S△OBD=6，即10−12|k|−12|k|=6，由此解出k即可．
此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，准确识图，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．
15.【答案】 52π
【解析】解：如图，设圆心为O，连接OC，OB．
∵OC=OB= 5，BC= 10，
∴OC2+OB2=BC2，
∴∠BOC=90°，
∴BC的长=90π× 5180= 52π.
故答案为： 52π.
如图，设圆心为O，连接OC，OB.证明∠BOC=90°，利用弧长公式求解．
本题考查弧长公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】158
【解析】解：延长AD、BA′交于点G，作EF/​/AB交A′B于点F，
∵四边形ABCD是菱形，AB=5，
∴CD=CB=AB=AD=5，∠A=∠C，AB/​/CD，
∴∠GBA=∠BA′C，
由翻折得A′B=AB，
∴CB=A′B，
∴∠BA′C=∠C，
∴∠GBA=∠C=∠A，
∴AG=BG，
∵∠GFE=∠GBA=∠A=∠GEF，
∴EG=FG，
∴AG−EG=BG−FG，
∴AE=BF，
∵∠FBE=∠ABE，∠FEB=∠ABE，
∴∠FBE=∠FEB，
∴EF=BF，
∴AE=EF，
∵CD=5，A′C=3，
∴DA′=CD−A′C=5−3=2，
∵DA′//AB，
∴△GDA′∽△GAB，
∴DGAG=DA′AB=25，
∴DG5+DG=25，
解得DG=103，
∴AG=AD+DG=5+103=253，
∵△GEF∽△GAB，
∴EGAG=EFAB，
∴253−AE253=AE5，
解得AE=258，
∴DE=AD−AE=5−258=158，
故答案为：158．
延长AD、BA′交于点G，作EF/​/AB交A′B于点F，由菱形的性质得CD=CB=AB=AD=5，∠A=∠C，AB/​/CD，则∠GBA=∠BA′C，由翻折得A′B=AB，所以CB=A′B，则∠BA′C=∠C，所以∠GBA=∠C=∠A，则AG=BG，再证明EG=FG，可推导出AE=BF，再证明∠FBE=∠ABE=∠FEB，得EF=BF，则AE=EF，由CD=5，A′C=3，求得DA′=2，再证明△GDA′∽△GAB，得DG5+DG=25，求得DG=103，则AG=AD+DG=253，再证明△GEF∽△GAB，得253−AE253=AE5，求得AE=258，则DE=AD−AE=158，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：原式=2×12− 3+2× 32−1
=1− 3+ 3−1
=0．
【解析】利用特殊锐角的三角函数值计算即可．
本题考查特殊锐角的三角函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18.【答案】P=96v
【解析】解：设气球内气体的气压P(kPa)和气体体积V(m3)的反比例函数为P=kv，
∵点A(0.8,120)为反比例函数图象上的点，
∴k=120×0.8=96．
∴P=96v，
故答案为：P=96v；
(2)当P=160kPa时，V=0.6m3．
故气球的体积应不小于0.6m3．
(1)设气球内气体的气压P(kPa)和气体体积V(m3)的反比例函数为P=kv，将A点坐标代入求出k，即可得解；
(2)再将P=160代入求出V的最小值．
本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
19.【答案】解：∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴AEAB=ADAC，
∵AB=6，AC=9，DB=3，
∴AD=AB−DB=6−3=3，
∴AE=AB⋅ADAC=6×39=2，
∴AE的长是2．
【解析】由∠ADE=∠C，∠A=∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△AED∽△ABC，得AEAB=ADAC，由AB=6，DB=3，得AD=AB−DB=3，则AE=AB⋅ADAC=2．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△AED∽△ABC是解题的关键．
20.【答案】20 34 144°
【解析】解：(1)该校九年级参加竞赛的学生人数为10÷20%=50(人)，
∴m=50−10−17−3=20．
n%=17÷50×100%=34%．
∴n=34．
B组的圆心角是360°×2050=144°．
故答案为：20；34；144°．
(2)画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中至少1名女生被抽取参加5G体验活动的结果有：(男，女)，(男，女)，(女，男)，(女，男)，共4种，
∴“至少1名女生被抽取参加5G体验活动”的概率为46=23．
(1)用统计表中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得该校九年级参加竞赛的学生人数，再分别减去统计表中A，C，D的人数，可求出m的值；用统计表中C的人数除以该校九年级参加竞赛的学生人数再乘以100%可求出n%，即可得n的值；用360°乘以B组的人数所占的百分比，即可得B组的圆心角度数．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及至少1名女生被抽取参加5G体验活动的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、频数(率)分布表、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)在Rt△OBD中，
∵sin∠BOD=BDOB，
∴BD=sin∠BOD⋅OB
=sin25°×3
≈0.42×3
=1.26(米)．
(2)过点C作CN⊥PQ，CM⊥OA，垂足分别为N、M．
∵OA⊥PQ，
∴四边形AMCN是矩形．
∴CN=AM．
∵秋千OB的长度为3米，
∴OF=OC=3米．
∴OA=OF+AF=3+0.3=3.3(米)．
在Rt△OCM中，
∵cs∠COM=OMOC，
∴OM=cs∠COM⋅OC
=cs55°⋅3
≈0.57×3
=1.71(米)．
∴AM=OA−OM=3.3−1.71=1.59(米)．
∴CN=1.59米．
答：C处距地面的高度为1.59米．
【解析】(1)在Rt△OBD中，利用直角三角形的边角间关系可得结论；
(2)点C作CN⊥PQ，CM⊥OA构造矩形AMCN，先利用矩形的性质说明AM、CN的关系，再在Rt△OCM中利用直角三角形的边角间关系求出OM的长，最后利用线段的和差得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握矩形的性质和判定及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠ACO=BCD，
∴∠CAB=∠BCD；
(2)解：∵∠BAC=∠BCD，∠D=∠D，
∴△ACD∽△CBD，
∴CDAD=BDCD，
∴4AB+2=24，
∴AB=6．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质，圆周角定理以及切线的性质即可得到结论；
(2)根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确地找出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意，得抛物线的顶点为(20,9)，
∴可设抛物线的解析式为y=a(x−20)2+9，
其图象过点(0,1)，
∴1=a(0−20)2+9，
解得a=−150，
故图2中抛物线表达式为y=−150(x−20)2+9；
(2)设AB的延长线交x轴于点C，如图，

∵坡度为1：5，OC=20米，
∴BC=4米，
∴AB=AC−BC=9−4=5(米)，
答：水流与坡面之间铅直高度AB的长为5米；
(3)设水流与喷水头的水平距离为a米，
根据题意，得−150(a−20)2+9−15a=3.5，
解得a1=5，a2=25，
答：水流与喷水头的水平距离为5米或25米．
【解析】(1)根据待定系数法即可求出图2中抛物线表达式；
(2)求出点B与过点O的水平面的距离BC，根据AB=AC−BC即可求出水流与坡面之间铅直高度AB的长；
(3)设水流与喷水头的水平距离为a米，用a表示出喷射出的水流与坡面之间的铅直高度列方程解出即可．
本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
24.【答案】(1)解：∵四边形OABC是矩形，
∴BC/​/OA，
∵B点坐标为(6,3)，
∴BC=6，AB=3，
∵BD=2CD，
∴CD=13BC=2，
∴D(2,3)，
∵点D在y=kx(x>0)的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的表达式为y=6x；
(2)证明：∵点E在双曲线y=6x上，
∵x=6，
∴y=1，
∴E(6,1)，
∴AE=1，
∵AB=3，
∴AE=13AB，
即BE=2AE，
∴BDCD=BEAE=21，
∴DE/​/AC；
(3)解：设P(a,0)，
过P作PH⊥BC于H，过P′作P′G⊥BC于G，

∴∠PHD=∠DGP′=90°，
∵将线段DP逆时针旋转90°得DP′，
∴∠PDP′=90°，DP=DP′，
∴∠PDH+∠DPH=∠PDH+∠GDP′=90°，
∴∠DPH=∠GDP′，
∴△DPH≌△DP′G(AAS)，
∴DG=PH=3，P′G=DH=1−a，
∴P′(4,a+2)，
∵点P′在反比例函数上，
∴4(a+2)=6，
解得a=−12，
∴P(−12,0)．
【解析】(1)根据矩形的性质得到BC/​/OA，求得D(2,3)，根据点D在y=kx(x>0)的图象上，于是得到结论；
(2)根据反比例函数的性质得到E(6,1)，求得AE=13AB，得到BDCD=BEAE=21，即可得到结论；
(3)设P(a,0)，过P作PH⊥BC于H，过P′作P′G⊥BC于G，根据旋转的性质得到∠PDP′=90°，DP=DP′，求得∠DPH=∠GDP′，根据全等三角形的性质得到DG=PH=3，P′G=DH=1−a，求得P′(4,a+2)，根据点P′在反比例函数上，列方程即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线的判定，正确地找出辅助线是解题的关键．
25.【答案】ND=BC 120
【解析】解：(1)①∵△ADC为等边三角形，∠DAN=60°，
∴AD=AC，∠DAN=∠CAB=60°，
在△AND和△ABC中，
AN=AB∠DAN=∠CABAD=AC，
∴△AND≌△ABC(SAS)，
∴ND=BC，∠N=∠ABC，
∴∠N+∠ABE=∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠NEC=360°−(∠N+∠ABE)−∠DAN=360°−180°−60°=120°，
故答案为：ND=BC，120°．
②如图2，连接MN，
∵点B是AD的中点，∠ACD=60°，
∴AB=DG=12AD=12AC，BC⊥AD，∠ACM=∠DCB=12∠ACD=30°，
∴∠ABC=90°，
∵AN=12AM，
∴ABAC=ANAM=12，
∵∠MAN=∠CAD=60°，
∴∠BAN=∠CAM=60°−∠MAD，
∴△NAB∽△MAC，
∴BNMC=ABAC=12，∠ABN=∠ACM=30°，
∴∠NBC=∠ABN+∠ABC=30°+90°=120°，
∴BNMC的值是12，∠NBC的度数是120°．
(2)BM的长为6 55，
理由：如图3，作OI⊥BC于点I，
∵△ADC为等腰直角三角形，∠DAC=90°，AC=4，
∴AD=AC=4，
∵点B，O分别是线段AD，AC的中点，
∴AB=DB=12AD=12AC=12×4=2，OA=OC=12AC=2，
∵AN=12AM，
∴ABAC=ANAM=12，
∵∠MAN=∠DAC=90°，
∴∠BAN=∠CAM=90°−∠DAM，
∴△BAN∽△CAM，
∴∠ABN=∠ACM，BNCM=ABAC=12，
∴∠NBC=∠ABN+∠ABC=∠ACM+∠ABC=90°，
∴点N在经过点B且与BC垂直的直线上运动，
∴当ON⊥BN时，ON的值最小，
作OI⊥BC于点I，则∠OIC=∠BAC=90°，
∴OIIC=ABAC=tan∠ACB=12，
∴IC=2OI，
∴OC= OI2+IC2= OI2+(2OI)2= 5OI=2，
∴OI=2 55，
∵∠BIO=∠BNO=∠NBI=90°，
∴四边形BION是矩形，
∴BN=OI=2 55，
∴CM=2BN=2×2 55=4 55，
∵BC= AB2+AC2= 22+42=2 5，
∴BM=BC−CM=2 5−4 55=6 55，
∴BM的长为6 55．
(1)①由△ADC为等边三角形，∠DAN=60°，得AD=AC，∠DAN=∠CAB=60°，而AN=AB，即可证明△AND≌△ABC，得ND=BC，∠N=∠ABC，则∠N+∠ABE=∠ABC+∠ABE=180°，可求得∠NEC=120°，于是得到问题的答案；
②连接MN，因为点B是AD的中点，∠ACD=60°，所以AB=DG=12AD=12AC，BC⊥AD，∠ACM=∠DCB=12∠ACD=30°，则∠ABC=90°，而AN=12AM，所以ABAC=ANAM=12，由∠MAN=∠CAD=60°，推导出∠BAN=∠CAM，可证明△NAB∽△MAC，则BNMC=ABAC=12，∠ABN=∠ACM=30°，所以∠NBC=∠ABN+∠ABC=120°；
(2)作OI⊥BC于点I，由AD=AC=4，得AB=DB=OA=OC=12AD=12AC=2，而AN=12AM，所以ABAC=ANAM=12，再由∠MAN=∠DAC=90°推导出∠BAN=∠CAM，可证明△BAN∽△CAM，得∠ABN=∠ACM，BNCM=ABAC=12，求得∠NBC=90°，可知点N在经过点B且与BC垂直的直线上运动，当ON⊥BN时，ON的值最小，作OI⊥BC于点I，则OIIC=ABAC=tan∠ACB=12，所以IC=2OI，由OC= OI2+IC2= 5OI=2，求得OI=2 55，再证明四边形BION是矩形，得BN=OI=2 55，则CM=2BN=4 55，因为BC= AB2+AC2=2 5，所以BM=BC−CM=6 55．
此题重点考查等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线过点B(−3,2)，
∴2=9+3m+m+1，
解得m=−2，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−1，
当x=0时，y=−1，
∴A(0,−1)，
∵y=x2+2x−1=(x+1)2−2，
∴抛物线顶点D的坐标为(−1,−2)；
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴−3k+b=2b=−1，
∴k=−1b=−1，
∴直线AB的解析式为y=−x−1，
过N作MN/​/y轴交AB于M，
设N(n,n2+2n−1)，则M(n,−n−1)，

∴MN=−n−1−n2−2n+1=−n2−3n，
∴S△ABN=12×3MN=32(−n2−3n)=−32(n2+3n)=−32(n+32)2+278，
∴△ABN面积的最大值为278；
(3)令y=2，则y=x2−mx+m+1=2，
解得x=m−1或1，
∴点E(m−1,2,)F(1,2)，
∴点P在直线EF上，
①如图，当m−1>1，即m>2时，2m+3>m−1，3+m2>2，

∴E(m−1,2)在F(1,2)右侧，且Q(1,3+m2)在F(1,2)的上方，
∴P(2m+3,2)在E(m−1,2)右侧，线段PQ与抛物线恰有一个交点，
∴m>2；
②当m−1<1，即m<2时，3+m2>2，

由图得，当2m+3≤m−1时，线段PQ与抛物线恰有一个交点，
∴m≤−4；
当2m+3≥1时，线段PQ与抛物线恰有一个交点，
∴m≥−1，
∴−1≤m<2；
③当m−1=1即m=2时，2m+3=7，3+m2>7，

∴点P(7,2)，Q(1,7)，E(1,2)F(1,2)，
此时，线段PQ与抛物线恰有一个交点，
∴m=2，
综上所述，m的取值范围为m>2或m≤−4或−1≤m<2或m=2．
【解析】(1)将m=−2代入y=mx2−2m(m+1)x+2可得抛物线解析式为：y=−2x2−4x+2=−2(x+1)2+4，即可得抛物线的顶点坐标；
(2)利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=−x−1，过N作MN/​/y轴交AB于M，设N(n,n2+2n−1)，则M(n,−n−1)，MN=−n−1−n2−2n+1=−n2−3n，则S△ABN=12×3MN=32(−n2−3n)=−32(n2+3n)=−32(n+32)2+278，根据二次函数的性质即可求解；
(3)令y=2，可得抛物线过点E(m−1,2)F(1,2)，可得点P在直线EF上，分m−1>1时，m−1<1时，m−1=1时，画出图象，结合图象列出不等式组，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对m进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．
27.【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+2k−1=0的两个根均为整数，
∴Δ=(k+1)2−4(2k−1)=k2−6k+5为完全平方式，
不妨设k2−6k+5=m2(m是整数)，即(k−3)2−m2=4，
分解因式得：(k−3+m)(k−3−m)=4，
∵k−3+m与k−3−m的符号相同，
∴k−3+m=2k−3−m=2或k−3+m=−2k−3−m=−2或k−3+m=1k−3−m=4或k−3+m=−1k−3−m=−4，
解得：k=5或k=1或k=5.5(舍去)或k=0.5(舍去)，
则整数k的值为5或1．
【解析】根据一元二次方程的两根均为整数，得到根的判别式为完全平方式，利用完全平方公式确定出整数k的值即可．
此题考查了根的判别式，根与系数的关系，以及完全平方公式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
28.【答案】解：设m=xy，n=x+y，
因为xy+x+y=44，x2y+xy2=484，
所m+n=44mn=484，
解得m=22n=22，
即xy=22，x+y=22，
∴x2+y2=(x+y)2−2xy，得x2+y2=(x+y)2−2xy=484−44=440，
把xy=22，x+y=22，x2+y2=440代入x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=22(440−22)=9196．
故答案为：9196．
【解析】设m=xy，n=x+y，然后解m+n=44mn=484，即可得xy=22，x+y=22，再代入x3+y3即可作答．
本题考查了代数式求值，换元法解二元二次方程组，解一元二次方程及完全平方公式的运用，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．组别
成绩x/分
人数
A
60≤x<70
10
B
70≤x<80
m
C
80≤x<90
17
D
90≤x<100
3