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第02讲 整式(知识点梳理)(记诵版)-【学霸计划】2024年中考数学大复习
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这是一份第02讲 整式(知识点梳理)(记诵版)-【学霸计划】2024年中考数学大复习,共6页。学案主要包含了单项式,多项式等内容,欢迎下载使用。
考点01 代数式
1.代数式的概念:用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式。单独一个数或一个字母也是代数式;运算符号是指加、减、乘、除、乘方等。
2.代数式的书写规则:
(1)含有乘法运算的代数式的书写规则:字母与字母相乘,乘号一般可以省略不写,字母的排列顺序不变;数字与字母相乘,乘号一般也可以省略,但数字一定要写在字母的前面,且当数字是带分数时,必须写成假分数的形式;数字与数字相乘,乘号不能省略;带括号的式子与字母的地位相同。
(2)含有除法运算的代数式的书写规则:当代数式中含有除法运算时,一般不用“÷”,而改用分数线;因为分数线具有括号的作用,所以分数线又称括线。
(3)含有单位名称的代数式的书写规则:若代数式是和或差的形式,如需注明单位,则必须用括号把整个式子括起来后再写单位;若代数式是积或商的形式,则无需加括号,直接在代数式后面写出单位即可。
3.代数式的值
(1)代数式的值:一般地,用具体数值代替代数式中的字母,按照代数式中指明的运算计算出的结果,叫作代数式的值。
(2)求代数式的值的步骤:
第1步:代入,用具体数值代替代数式里的字母;
第2步:计算,按照代数式里指明的运算,计算出结果。
(3)求代数式的值时要注意:一个代数式中的同一个字母,只能用同一个数值去代替;如果代数式里省略了乘号,那么字母用数值代替时要添上乘号,代入负数和分数时要加括号;代入数值时,不能改变原式中的运算符号及数字。
(4)运算时,要注意运算顺序。(先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的要求先算括号里面的)
考点02 单项式和多项式
一、单项式
1.单项式的概念:如3、、、等这些代数式都是数字、字母、数字与字母的积、字母与字母的积,像这样的式子叫单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式。
2.单项式中不能含有加减法运算,但可以含有除法运算。
3.单项式的系数:单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数,确定单项式的系数的注意事项:
(1)确定单项式的系数时,最好现将单项式写成数与字母的乘积的形式,在确定系数;
(2)圆周率是常数,单项式中出现时,应看作系数;
(3)当一个单项式的系数是1或-1时,1通常省略不写,负数做系数应包括前面的符号;
(4)单项式的系数是带分数时,通常写成假分数。
4.单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。没有写指数的字母,实际上其指数是1,计算时不能将其遗漏;不能将数字的指数一同计算。
二、多项式
1.多项式的概念:几个单项式的和叫作多项式,例如:,等。
2.多项式的项:在多项式中每个单项式叫作多项式的项,不含字母的项叫作常数项。
3.多项式中应注意的问题:
(1)多项式的每一项包括它前面的符号;
(2)一个多项式含有几项,就叫几项式,例如:是一个三项式。
4.多项式的次数:多项式里次数最高项的次数叫作这个多项式的次数。多项式的次数不是所有项的次数之和,而是多项式中次数最高的单项式的次数;多项式通常以它的项的次数和项数来命名,例如:是一个六次三项式。
5.整式:单项式与多项式统称为整式。所有的整式都是代数式,但反过来就不一定是整式。
6.多项式的降幂与升幂排列
(1)把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫作把这个多项式按这个字母降幂排列;把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫作把这个多项式按这个字母升幂排列。
考点03 整式的加减
1.同类项的定义:所含字母相同,且相同字母的指数也相同的项,所有的常数项都是同类项。
2.合并同类项
(1)合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项;
(2)合并同类项法则:把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变;
(3)合并同类项的一般步骤:①找出多项式中的同类项;②将多项式中的同类项移到一起;③将系数相加,字母和字母的指数不变。
3.去括号:如果括号外的因数是正数,那么去括号后,原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
4.整式加减法的运算法则:几个整式加减,如果有括号,当出现多层括号时,一般由里向外去括号,如遇特殊情况,为了简便运算,也可由外向里逐层去括号。
考点04 整式的乘法
1.同底数幂的乘法:
(1)法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
(2)符号表示:(都是正整数)
(3)知识拓展:当3个或3个以上同底数幂相乘时,也同样适用这一法则;法则可以逆运用,即;
2.幂的乘方:
(1)法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘;
(2)符号表示:(都是正整数);
(3)知识拓展:法则可推广为(都是正整数);法则可逆运用,(都是正整数);不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆,幂的乘方是转化为指数的乘法运算,同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算。
3.积的乘方:
(1)法则:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;
(2)符号表示:(是正整数);
(3)知识拓展:3个或3个以上的数的乘积,也适用这一法则;法则可以逆运用。
4.单项式乘单项式
(1)法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
(2)单项式乘以单项式的运算步骤:①系数:把它们的系数相乘,包括它们的符号;②同底数幂:同底数幂相乘;③只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
(3)知识拓展:①应先确定积的符号;②注意按运算顺序进行;③不要丢掉只有一个单项式里含有的字母。
5.单项式乘多项式:
(1)法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即
;
(2)知识拓展:单项式与多项式相乘的依据是乘法分配律,先将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式,再转化为同底数幂相乘;单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同,运算时可以以此来检验是否漏乘。
6.多项式乘多项式:
(1)法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,即:;
(2)知识拓展:①相乘时,按一定的顺序进行,必须做到不重不漏;②多项式与多项式相乘,仍得多项式,在合并同类项之前,积的项数应等于原多项式的项数之积;③多项式是单项式的和,每一项都包括前面的符号,运算过程中要注意先确定积中各项的符号;④相乘后,若有同类项应该合并。
7.同底数幂的除法:
(1)法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减。
(2)符号表示:(,都是正整数,且);
(3)知识拓展:3个或3个以上的同底数幂相除,也适用这一法则;法则可以逆运用。
(4)0次幂:任何不等于0的数的0次幂都等于1,即。
8.单项式除以单项式:单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。单项式除以单项式的结果仍为单项式。
9.多项式除以单项式:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。多项式除以单项式的结果是一个多项式。
考点05 乘法公式
1.平方差公式:
(1)符号表述:
(2)语言描述:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差;
(3)知识拓展:①公式中的和可以是实数,也可以是单项式或多项式;②公式可以逆运用;
2.完全平方公式:
(1)符号表述:两数和的完全平方公式
两数差的完全平方公式
(2)语言描述:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和加上(或减去)它们积的2倍。
(3)①公式中的和可以是实数,也可以是单项式或多项式;②公式可以逆运用;
3.添括号法则:
(1)法则:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号。
(2)字母表示:。
考点06 因式分解
1.概念:把一个多项式化为几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫作把这个多项式分解因式。
2.因式分解与整式乘法的关系:因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式是积化和,因式分解则是和化积。
3.因式分解的结果要以积的形式表示,否则不是因式分解;因式分解中每个括号内如有同类项要合并,因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底。
4.公因式:多项式的各项中都含有的公共因式叫作这个多项式的公因式。确定公因式时,一看系数,取各项系数的最大公约数作为公因式的系数;二看字母,取各项相同的字母;三看指数,取相同字母的最低次幂;最后还要根据情况确定符号。
5.提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。(注意:①所提公因式必须是最大公因式;②如果多项式的首相系数是负数,应先提出“-”号;③如果多项式的某一项恰好与公因式相同,那么提公因式后此项为1,而不是0)
6.用平方差公式分解因式:(公式中的和可以是实数,也可以是单项式或多项式)
7.用完全平方公式分解因式:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方,即:,;公式中的和可以是实数,也可以是单项式或多项式。
8.因式分解的一般步骤:一提;二套;三试;四分;五查。
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