第13讲 轴对称与旋转（知识点梳理）（记诵版）-2024年中考数学大复习

这是一份第13讲 轴对称与旋转（知识点梳理）（记诵版）-2024年中考数学大复习，共7页。
考点01 轴对称
1.轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.
2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
3轴对称与轴对称图形的区别和联系
4.线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
5.图形轴对称的性质
(1)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，如图，MN为AB的垂直平分线.
(2)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
6.线段的垂直平分线的性质
(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
(2)与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
7.线段垂直平分线的尺规作图
已知线段AB，求作AB的垂直平分线.
作法：
分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点
作直线CD。CD就是所求作的直线。
8.利用垂直平分线解决实际问题
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用此性质可以解决生活中由同一点到几个不同地点距离相等的问题.
9.画图形的对称轴
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.
同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。
考点02 画轴对称图形
1.画轴对称图形
(1)由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同。
新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
(2)画一个图形的轴对称图形的方法
①找一在原图形上找特殊点（如线段的端点）
②作一作各个特殊点关于对称轴的对称点
③连一依次连接各对称点
2.用坐标表示轴对称
(1)已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律
◎点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y).
a点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y).
此外，点(x，y)关于第一、三象限角平分线的对称点的坐标为(y，x)；点(x，y)关于第二、四象限角平分线的对称点的坐标为(-y，-x).
(2)在坐标系中画出一个已知图形的对称图形
对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。
考点03 等腰三角形
1.等腰三角形：有两边相等的三角形是等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形。
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3.等腰三角形的判定
(1)定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”）。
4.等边三角形：等边三角形是三边都相等的三角形，也叫正三角形。
5.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
(2)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴交于一点，该点称为“中心”。
(3)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。
(4)等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一。
6.等边三角形的判定
(1)定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
7.含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，则 BC=12AB。
考点04 最短路径问题
1.求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置.
点A，点B分别是直线l异侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA+CB最小，这时点C是直线l与AB的交点，如图所示。
2.求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置.
点A，点B分别是直线l同侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA+CB最小.这时先作点A关于直线l的对称点A＇，则点C是直线l与A＇B的交点；或者先作点B关于直线l的对称点B＇，则点C是直线l与直线AB＇的交点，如图所示。
考点05 图形的旋转
1.定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P＇，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
2.旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等.
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
(3)旋转前、后的图形全等.
3.图形的旋转：把一个图案进行旋转，选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会出现不同的效果.
(1)旋转中心不变，改变旋转角
如下图所示的四边形ABCD的旋转图形，是以O点为中心，分别以40°，60°为旋转角顺时针旋转得到的
(2)旋转角不变，改变旋转中心
考点06 中心对称
1.中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
2.中心对称的性质
(1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.
(2)中心对称的两个图形是全等图形。
3.简单图形的中心对称图形的画法
(1)在图形中找到各线段的端点，如点A，B，C，然后作出点A，B，C关于对称中心O的对称点A＇，B＇，C＇.
(2)按原图形中点的连接顺序将对称点相应地连接起来。
4.中心对称图形
(1)中心对称图形的概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；
线段和平行四边形是最常见的中心对称图形，线段的对称中心是它的中点，平行四边形的对称中心是它两条对角线的交点。
(2)中心对称与中心对称图形的区别与联系
(3)对称中心的确定方法
方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心；
方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心。
5关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P＇(-x，-y)。名称
关系
轴对称
轴对称图形
区
别
意义不同
两个图形之间的对称关系
具有特殊形状的图形
对象不同
两个图形
一个图形
对称轴的位置不同
在两个图形之间
过图形的某条直线
对称轴的数量不同
只有一条
不一定只有一条
联系
(1)沿对称轴折叠，两个图形
重合；
(2)如果把成轴对称的两个
图形看成一个整体，那么它
就是一个轴对称图形
(1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合；
(2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称
中心对称
中心对称图形
区别
(1)是针对两个图形而言的；
(2)是指两个图形的位置关系
(1)是针对一个图形而言的；
(2)是指具有某种性质的一个图形
联系
(1)都是通过把图形旋转180°重合来定义的；
(2)两者可相互转化，若把中心对称的两个图形看成一个整体，那么这“一个图形”就是中心对称图形；反之，若把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称