第11讲 勾股定理与锐角三角函数（压轴题组）-【学霸计划】2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

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（1）连接，，试说明．
（2）如图2，为边上一个动点，将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上，边与边交于点．
①如图3，当点与点重合时，求到的距离．
②在点从点运动到点的过程中，求点相应运动的路径长（路程）．
2．（2021·上海市奉贤区育秀实验学校九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF＝90°．
（1）（图1）求DE：DF的值；
（2）（图2）连结EF，射线DF与射线BA相交于点G，当△EFG是等腰三角形时，求CF的长度；
（3）（图3）连结EF，设点B与点E间的距离为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
3．（2021·北京师范大学实验华夏女子中学九年级期中）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，给出如下定义：记线段AB的中点为，当点不在⊙O上时，平移线段，使点落在⊙O上，得到线段（分别为点的对应点）．线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．
（1）已知点的坐标为（－1，0），点在x轴上．
①若点与原点重合，则线段到⊙O的“平移距离”为________；
②若线段到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为________；
（2）若点都在直线上，＝2，记线段到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若点的坐标为（－4，－2），AB＝2，记线段到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围．
4．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）在△ABC中，AB＝BC＝5，AD⊥BC于D，AD＝4．动点P从点B出发，沿折线BA→AC运动（点P不与B、C重合），点P在边BA上运动的速度为2.5个单位长度，在边AC上的运动速度为个单位长度，过P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边向右作矩形PQFE，使PQ＝2PE，点F在线段BC上，设点P运动的时间为t．
（1）点P在BA上时，则PQ＝ ；（用含t代数式表示）
（2）点P在AC上时，则PQ＝ ；（用含t代数式表示）
（3）连结DE，当△DEF与△ADC相似时，求t的值．
（4）设矩形PQFE的对角线相交于点O，当点O在△ACD边上时，直接写出t的取值范围．
5．（2021·黑龙江龙沙·九年级期中）综合与实践
动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．
如图1，△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．
思考探索：（1）在图1中：
①CD＝ ；
②△A′BC的面积为 ；
拓展延伸：（2）如图2，若△ACB为任意直角三角形，∠ACB＝90°．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．猜想三条线段AC、CD、A′D的数量关系，并证明．
（3）如图3，在△ACB中，AB＝AC＝5，BC＝6，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C．
①△A′BC的面积为 ．
②若点D是△ACB的边BC的高线上的一动点，连接A′D、DB，则A′D+DB的最小值是 ．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；
②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，说明此时∠APB最大的理由，并求出点P的坐标；如果没有请说明理由．
7．（2021·四川·成都实外九年级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B在线段AO上，且AB＝2BO，若点P在x轴的负半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB．
（1）如图1，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴，垂足为点C．
①求点B的坐标；②求证：△BOP∽△PCE．
（2）在（1）的条件下，如图2，若点C坐标为（﹣4，0）．过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点D，若点C关于直线PQ的对称点C′正好落在线段AD上，连接PC′，求点P的坐标．
（3）如图3，若∠BPO＝60°，点E在直线PQ上，EC⊥x轴，垂足为点C，若以点E，P，C为顶点的三角形和△BPE相似，请直接写出点E的坐标．
8．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝40，cs∠ABC＝，射线CM//AB， D为线段BC上的一动点且和B、C不重合，连接DA，过D作DE⊥DA交射线CM于E，联结AE，作EC＝EF，交 BC的延长线于F，设x＝BD．
（1）当AD∥EF，求BD；
（2）若y＝CE，求y关于的数解析式，并写出定义域；
（3）作∠BDG＝∠AEF，交AE于G，若△DGE与△CDE相似，求BD的长．
9．（2021·浙江台州·九年级期中）如图1， 矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转， 得到矩形．
（1）当点落在上时， 则线段的长度等于 ；
（2）如图2，当点落在上吋， 则 的面积为 ；
（3）如图3，连接 ， 判断与的位置关系并说明理由；
（4）在旋转过程中， 求出的最大值．
10．（2021·江苏锡山·九年级期中）如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点B出发，沿AB边向终点A以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→B→A向终点A以每秒3cm的速度运动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题：
（1）若Q在BC上运动，当t= 秒时，PQ的长为cm？
（2）如图2，以P为圆心，PQ长为半径作⊙P，在整个过程中，是否存在这样的t的值，使⊙P正好与△ABD的一边（或所在的直线）相切？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．