第12讲 四边形（题型训练）-2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

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1．（2021·四川·达州中学九年级期中）关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若，则平行四边形ABCD是菱形
B．若，则平行四边形ABCD是正方形
C．若，则平行四边形ABCD是矩形
D．若，则平行四边形ABCD是正方形
2．如图，四边形ABCD和四边形DBCE都是平行四边形，点R在CE上，且CR＝CE，则△APD，△DPQ，△QRC的面积比为（ ）
A．15：9：4B．25：9：4C．16：9：4D．5：3：2
3．（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）如图，点O为正方形ABCD对角线BD的中点，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下五个结论中①；②；③；④，正确结论有（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2021·吉林朝阳·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，交AD于点E．若，的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．16B．32C．36D．40
5．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（ ）
A．12B．14C．16D．18
6．如图，将▱DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，AD，CD．求证：四边形ABCD为平行四边形．
以下是证明过程，其顺序已被打乱，
①∴四边形ABCD为平行四边形；
②∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD=OB，OE=OF；
③连接BD，交AC于点O；
④又∵AE=CF，∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC
正确的证明步骤是（ ）
A．①②③④B．③④②①C．③②④①D．④③②①
7．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
A．B．6C．4D．
9．（2021·浙江·温州市第十二中学九年级期中）如图， ∆ABC 中， 于点 是半径为2的⊙A上一动点， 连结 ， 若是的中点， 连结， 则长的最大值为 （ ）
A．3B．C．4D．
10．如图，折叠，折痕经过点，交边于点，点落在的延长线上的点处，点落在点处，得到四边形，若的面积为8，有以下结论：
①；
②若，则四边形是菱形；
③设四边形的面积为，四边形的面积为，则与的函数关系式为；
④若，则点到的距离为1．
其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
11．（2021·陕西碑林·九年级期中）在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，则AF的长为______．
12．（2021·湖北云梦·九年级期中）如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，若MN＝1，则BC的长为 ___．
13．（2021·上海杨浦·九年级期中）如图，已知AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，联结BG并延长交边AC于点E，联结DE，那么S△ABC：S△GED的值为____．
14．（2021·上海市文来中学九年级期中）如图，∆ABC三边的中点分别为，，．联结交于点，交于点，则______．
15．（2021·福建·龙岩初级中学九年级期中）已知：A (-3，0)，B (0，3)，C是平面内任意一点，AC=1， D是BC的中点，则DO的取值范围是_____________．
16．（2021·江苏江阴·九年级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E从点B出发，以1单位每秒的速度向点C运动，DF＝，G，H分别是AE，EF的中点，在点E的整个运动过程中，当AE⊥EF时，点E的运动时间为____秒，线段GH扫过的图形面积为____．
17．（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DE＝2cm，AE＝8cm，求DC的长．
18．（2021·江苏滨湖·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，∠C＝∠DEA．
（1）求证：△ADE∽△DEC；
（2）若CE＝2，DE＝4，求EB的长．
19．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE．
(1)求证：BD=EC．
(2)当∠DAB=60°时，四边形BECD为菱形吗?请说明理由．
20．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，O是AC边的中点，CE//AD，交DO的延长线于点E，连接AE．
（1）如图1，求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）如图2，若点D是BC边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形．
21．（2021·河南·郑州市第二初级中学九年级期中）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若，AE＝4，求BC的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6.动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D，以AP，AD为边作▱APED．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AD的长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在BC边上时，求t的值．
（3）连结BE，当tan∠CBE＝时，求t的值．
（4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在△ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值．
题型二 矩形的判定与性质
1．（2021·山东陵城·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为AN的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④
2．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级开学考试）如图，四边形和均为正方形，点G在对角线上，点F在边上，连结，记和∆BFG的面积分别为和．若，，则的长为（ ）
A．3B．C．4D．
4．（2021·陕西·西安市汇文中学九年级开学考试）如图，在∆ABC中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A．2.4B．2.5C．4.8D．5
5．如图所示，在∆ABC中，，，在∆MPN中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
6．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．③④
7．已知点A是抛物线y＝ax－4ax＋4a＋3（a＞0）的图象上的一点
（1）当a＝2时，该抛物线的顶点坐标为___________；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为斜边作Rt△ABC和Rt△DAC，使得BC∥AD，则BD的最小值为___________
8．（2021·山西太原·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，BC＝8．AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE．请从A，B两题中任选一题作答
（1）线段AE的长等于_______．
（2）线段OE的长等于________．
9．（2021·辽宁·沈阳市实验学校九年级期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB＝2，△DOE的面积为，则AE的长为 ___．
10．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，且BE＝2DE，连接AE并延长交CD于G，点F是BC边上一点，且CF＝2BF，连接AF、EF、FG．下列四个结论：①DG＝CG；②AF＝AG；③S△ABF＝S△FCG；④AE＝EF．其中正确的结论是 ___．（写出所有正确结论的序号）
11．（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为 __．
12．（2021·辽宁于洪·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，E为C边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．若AB＝8，BC＝10，则EC＝___；P，Q分别是AE，AD上的动点，PD＋PQ的最小值＝___．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为菱形？请说明理由．
14．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作 交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）连接OB，若，，求OB的长．
15．（2021·辽宁凌海·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AC为斜边的等腰直角三角形AEC的边CE与AD交于点F，连接OE，使得．在AD上截取，连接EH、ED．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若，，求EH的长．
16．（2021·福建永安·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AF⊥CD，垂足为F，延长DC到点E，使CE＝DF，连接BE．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）若AB＝5，CF＝2，AC⊥BD，连接OE，求OE的长．
17．（2021·福建永安·九年级期中）如图，点F在四边形ABCD的边AB上，
（1）如图①，当四边形ABCD是正方形时，过点B作BE⊥CF，垂足为O，交AD于点E．求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8时，
①如图②，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，求的值；
②如图③，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G，当BG＝2时，DE＝ ．
18．（2021·上海市徐汇中学九年级期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB=30°.连结EF，作点D关于直线EF的对称点P.
（1）若EF⊥BD，求DF的长;
（2）若PE⊥BD，求DF的长;
（3）直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，请直接写出DF长的取值范围.

题型三 菱形的判定与性质
1．如图，菱形ABCD的边长是5，两对角线交于点O，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0的两根，则m为（ ）
A．﹣4B．2C．2或﹣4D．﹣2或4
2．如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝5．对角线BD＝8，则▱ABCD的面积为（ ）
A．20B．24C．40D．48
3．（2021·四川雅安·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（ ）
①四边形AFCE为菱形；
②△ABF≌△CDE；
③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（2021·广西桂平·一模）如图，在平行四边形中，，是的中点，作于点，连接、，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，．则菱形的面积为（ ）
A．12B．10C．6D．24
6．如图，四边形ABCD中，AC＝m，BD＝n，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……，如此进行下去，得到四边形A5B5C5D5的周长是（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·山西盐湖·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点C在x轴正半轴上，顶点A在y轴正半轴上，顶点B与坐标原点O重合， ， ，将矩形ABCD沿对角线AC裁开，将沿CA方向平移得到，连接，，当四边形为菱形时，点的坐标为______．
8．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________．
9．在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得线段MA′．
（1）如图①，线段MA'的长＝___．
（2）如图②，连接A'C，则A'C长度的最小值是___．
10．（2021·黑龙江齐齐哈尔·二模）在中，，，直线垂直平分（垂足为，直线与的另一边相交于点，且时，则______．
11．（2021·浙江金华·中考真题）如图，菱形的边长为，，将该菱形沿AC方向平移得到四边形，交CD于点E，则点E到AC的距离为____________．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上一个动点，点D的坐标为（0，﹣2），当DP与AP之和最小时，点P的坐标为_____．
13．（2021·四川·成都实外九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形．
（2）若∠B＝60°，BC＝8，求菱形ADCE的高．
14．（2021·辽宁大东·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CFBD交OE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：四边形OCFD是矩形；
（2）若DF＝2，CF＝3，求菱形ABCD的面积．
15．（2021·宁夏·银川市第十五中学九年级期中）如图，在ABC中，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，∆ADE与∆ABC相似？请说明理由．
16．（2021·四川·成都绵实外国语学校九年级期中）如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，分别于AD、BC于点E、F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP；
（3）若AB＝6，AD＝8，求PC的长．
17．已知AB、CD为⊙O的两条弦，．
（1）如图1，求证弧弧BD；
（2）如图2，连接AC、BC、OA、BD，弦BC与半径OA相交于点G，延长AO交CD于点E，连接BE，使，若，求证：四边形ABEC为菱形；
（3）在（2）的条件下，CH与⊙O相切于点C，连接CO并延长交BE于点F，延长BE交CH于点H，，，求CH长．
18．综合与实践
操作探究
（1）如图1，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，与交于点．请回答下列问题：
①与全等的三角形为______，与相似的三角形为______．并证明你的结论：（相似比不为1，只填一个即可）：
②若连接、，请判断四边形的形状：______．并证明你的结论；
拓展延伸
（2）如图2，矩形中，，，点、分別在、边上，且，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，与交于点，连接．
①设，，则与的数量关系为______；
②设，，请用含的式子表示：______；
③的最小值为______．
题型四 正方形的判定与性质
1．（2021·北京·北师大实验中学九年级开学考试）如图，正方形的面积是4，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为
A．2B．C．4D．
2．如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为，其中正确结论有几个（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2021·江苏新吴·二模）如图，正方形的顶点A、D在⊙O上，边与⊙O相切，若正方形的周长记为，⊙O的周长记为，则、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法判断
4．（2021·广东阳西·二模）如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转90°得到，延长交于点，连接，，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
5．（2021·山东莱西·一模）如图，正方形ABCD边长为4，点E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF=1，点P、Q分别是AF、EF的中点，连接PD、PQ、DQ，则线段DQ的长等于（ ）
A．4B．C．D．
6．（2021·河北石家庄·一模）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形为正方形，则四边形必是正方形；
乙：若四边形为正方形，则四边形必是正方形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确
7．（2021·四川·成都实外九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B重合）连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G．若AB＝2，G是CD的中点，AF的长为 ___．
8．（2021·陕西陈仓·九年级期中）如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为___．
9．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级期中）如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM．其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，则当MN＝4，AN＝3时，正方形ABCD的边长为__．
10．（2021·安徽淮南·二模）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，AE＝CF＝3，点G、H在正方形ABCD的内部或边上，解答下列问题：
（1）EF＝_______；
（2）若四边形EGFH是菱形，则菱形EGFH的最大面积为_______．
11．（2021·浙江拱墅·二模）如图，在正方形ABCD中，以CD为边向形内作等边三角形CDG，连接AG，点E和F在边CD上，连接AE，BF，分别交DG，CG于点M，N，连接MN，则∠AGD＝______，若∠DAE＝∠CBF＝15°，则＝______．
12．（2021·广东惠州·三模）如图，已知在正方形中，对角线与相交于点，，分别是与的平分线，的延长线与相交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是___（填序号）．
13．（2021·广东·高州一中九年级期中）已知：四边形ABCD是矩形，它的对角线AC、BD交于点O，过C作CE∥BD，过D作DE∥AC，DE、CE交于E．
（1）求证：四边形OCED是菱形．
（2）四边形ABCD满足什么条件时，四边形OCED是正方形？证明你的结论．
14．（2021·江苏·南师附中新城初中二模）如图,在正方形中,､､､分别是各边上的点,且．
求证:（1）;
（2）四边形是正方形．
15．（2021·四川省成都市石室联合中学九年级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．
（1）求证：CH＝BE；
（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝12时，求线段GE的长；
（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，点E将CD分成1∶2两部分，求的值．
16．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．
（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面积．
17．（2021·四川·达州中学九年级期中）某数学兴趣小组在数学课外活动 ，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（观察与猜想）
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，，则的值为______；
（2）如图2，在矩形ABCD中，，，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且，则的值为______；
（类比探究）
（3）如图3，在四边形ABCD中，，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：；
（拓展延伸）
（4）如图4，在中，，，，将沿BD翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，．
①求的值；
②连接BF，若，直接写出BF的长度．
18．（2021·辽宁·沈阳市光明中学九年级期中）（1）[问题发现]
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一条边作正方形CDEP，点E恰好与点A重合．则线段BE与AF的数量关系为 ；
（2）[拓展研究]
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请就图2的情形给出证明；
（3）[问题发现]
当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．
第12讲 四边形
题型一 平行四边形的判定与性质
1．（2021·四川·达州中学九年级期中）关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若，则平行四边形ABCD是菱形
B．若，则平行四边形ABCD是正方形
C．若，则平行四边形ABCD是矩形
D．若，则平行四边形ABCD是正方形
2．如图，四边形ABCD和四边形DBCE都是平行四边形，点R在CE上，且CR＝CE，则△APD，△DPQ，△QRC的面积比为（ ）
A．15：9：4B．25：9：4C．16：9：4D．5：3：2
3．（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）如图，点O为正方形ABCD对角线BD的中点，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下五个结论中①；②；③；④，正确结论有（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2021·吉林朝阳·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，交AD于点E．若，的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．16B．32C．36D．40
5．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（ ）
A．12B．14C．16D．18
6．如图，将▱DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，AD，CD．求证：四边形ABCD为平行四边形．
以下是证明过程，其顺序已被打乱，
①∴四边形ABCD为平行四边形；
②∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD=OB，OE=OF；
③连接BD，交AC于点O；
④又∵AE=CF，∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC
正确的证明步骤是（ ）
A．①②③④B．③④②①C．③②④①D．④③②①
7．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
A．B．6C．4D．
9．（2021·浙江·温州市第十二中学九年级期中）如图， ∆ABC 中， 于点 是半径为2的⊙A上一动点， 连结 ， 若是的中点， 连结， 则长的最大值为 （ ）
A．3B．C．4D．
10．如图，折叠，折痕经过点，交边于点，点落在的延长线上的点处，点落在点处，得到四边形，若的面积为8，有以下结论：
①；
②若，则四边形是菱形；
③设四边形的面积为，四边形的面积为，则与的函数关系式为；
④若，则点到的距离为1．
其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
11．（2021·陕西碑林·九年级期中）在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，则AF的长为______．
12．（2021·湖北云梦·九年级期中）如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，若MN＝1，则BC的长为 ___．
13．（2021·上海杨浦·九年级期中）如图，已知AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，联结BG并延长交边AC于点E，联结DE，那么S△ABC：S△GED的值为____．
14．（2021·上海市文来中学九年级期中）如图，∆ABC三边的中点分别为，，．联结交于点，交于点，则______．
15．（2021·福建·龙岩初级中学九年级期中）已知：A (-3，0)，B (0，3)，C是平面内任意一点，AC=1， D是BC的中点，则DO的取值范围是_____________．
16．（2021·江苏江阴·九年级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E从点B出发，以1单位每秒的速度向点C运动，DF＝，G，H分别是AE，EF的中点，在点E的整个运动过程中，当AE⊥EF时，点E的运动时间为____秒，线段GH扫过的图形面积为____．
17．（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DE＝2cm，AE＝8cm，求DC的长．
18．（2021·江苏滨湖·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，∠C＝∠DEA．
（1）求证：△ADE∽△DEC；
（2）若CE＝2，DE＝4，求EB的长．
19． 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE．
(1)求证：BD=EC．
(2)当∠DAB=60°时，四边形BECD为菱形吗?请说明理由．
20．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，O是AC边的中点，CE//AD，交DO的延长线于点E，连接AE．
（1）如图1，求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）如图2，若点D是BC边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形．
21．（2021·河南·郑州市第二初级中学九年级期中）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若，AE＝4，求BC的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6.动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D，以AP，AD为边作▱APED．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AD的长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在BC边上时，求t的值．
（3）连结BE，当tan∠CBE＝时，求t的值．
（4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在△ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值．
题型二 矩形的判定与性质
1．（2021·山东陵城·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为AN的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④
2．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级开学考试）如图，四边形和均为正方形，点G在对角线上，点F在边上，连结，记和∆BFG的面积分别为和．若，，则的长为（ ）
A．3B．C．4D．
4．（2021·陕西·西安市汇文中学九年级开学考试）如图，在∆ABC中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A．2.4B．2.5C．4.8D．5
5．如图所示，在∆ABC中，，，在∆MPN中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
6．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．③④
7．已知点A是抛物线y＝ax－4ax＋4a＋3（a＞0）的图象上的一点
（1）当a＝2时，该抛物线的顶点坐标为___________；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为斜边作Rt△ABC和Rt△DAC，使得BC∥AD，则BD的最小值为___________
8．（2021·山西太原·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，BC＝8．AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE．请从A，B两题中任选一题作答
（1）线段AE的长等于_______．
（2）线段OE的长等于________．
9．（2021·辽宁·沈阳市实验学校九年级期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB＝2，△DOE的面积为，则AE的长为 ___．
10．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，且BE＝2DE，连接AE并延长交CD于G，点F是BC边上一点，且CF＝2BF，连接AF、EF、FG．下列四个结论：①DG＝CG；②AF＝AG；③S△ABF＝S△FCG；④AE＝EF．其中正确的结论是 ___．（写出所有正确结论的序号）
11．（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为 __．
12．（2021·辽宁于洪·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，E为C边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．若AB＝8，BC＝10，则EC＝___；P，Q分别是AE，AD上的动点，PD＋PQ的最小值＝___．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为菱形？请说明理由．
14．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作 交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）连接OB，若，，求OB的长．
15．（2021·辽宁凌海·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AC为斜边的等腰直角三角形AEC的边CE与AD交于点F，连接OE，使得．在AD上截取，连接EH、ED．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若，，求EH的长．
16．（2021·福建永安·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AF⊥CD，垂足为F，延长DC到点E，使CE＝DF，连接BE．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）若AB＝5，CF＝2，AC⊥BD，连接OE，求OE的长．
17．（2021·福建永安·九年级期中）如图，点F在四边形ABCD的边AB上，
（1）如图①，当四边形ABCD是正方形时，过点B作BE⊥CF，垂足为O，交AD于点E．求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8时，
①如图②，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，求的值；
②如图③，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G，当BG＝2时，DE＝ ．
18．（2021·上海市徐汇中学九年级期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB=30°.连结EF，作点D关于直线EF的对称点P.
（1）若EF⊥BD，求DF的长;
（2）若PE⊥BD，求DF的长;
（3）直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，请直接写出DF长的取值范围.

题型三 菱形的判定与性质
1．如图，菱形ABCD的边长是5，两对角线交于点O，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0的两根，则m为（ ）
A．﹣4B．2C．2或﹣4D．﹣2或4
2．如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝5．对角线BD＝8，则▱ABCD的面积为（ ）
A．20B．24C．40D．48
3．（2021·四川雅安·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（ ）
①四边形AFCE为菱形；
②△ABF≌△CDE；
③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（2021·广西桂平·一模）如图，在平行四边形中，，是的中点，作于点，连接、，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，．则菱形的面积为（ ）
A．12B．10C．6D．24
6．如图，四边形ABCD中，AC＝m，BD＝n，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……，如此进行下去，得到四边形A5B5C5D5的周长是（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·山西盐湖·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点C在x轴正半轴上，顶点A在y轴正半轴上，顶点B与坐标原点O重合， ， ，将矩形ABCD沿对角线AC裁开，将沿CA方向平移得到，连接，，当四边形为菱形时，点的坐标为______．
8．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________．
9．在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得线段MA′．
（1）如图①，线段MA'的长＝___．
（2）如图②，连接A'C，则A'C长度的最小值是___．
10．（2021·黑龙江齐齐哈尔·二模）在中，，，直线垂直平分（垂足为，直线与的另一边相交于点，且时，则______．
11．（2021·浙江金华·中考真题）如图，菱形的边长为，，将该菱形沿AC方向平移得到四边形，交CD于点E，则点E到AC的距离为____________．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上一个动点，点D的坐标为（0，﹣2），当DP与AP之和最小时，点P的坐标为_____．
13．（2021·四川·成都实外九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形．
（2）若∠B＝60°，BC＝8，求菱形ADCE的高．
14．（2021·辽宁大东·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CFBD交OE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：四边形OCFD是矩形；
（2）若DF＝2，CF＝3，求菱形ABCD的面积．
15．（2021·宁夏·银川市第十五中学九年级期中）如图，在ABC中，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，∆ADE与∆ABC相似？请说明理由．
16．（2021·四川·成都绵实外国语学校九年级期中）如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，分别于AD、BC于点E、F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP；
（3）若AB＝6，AD＝8，求PC的长．
17．已知AB、CD为⊙O的两条弦，．
（1）如图1，求证弧弧BD；
（2）如图2，连接AC、BC、OA、BD，弦BC与半径OA相交于点G，延长AO交CD于点E，连接BE，使，若，求证：四边形ABEC为菱形；
（3）在（2）的条件下，CH与⊙O相切于点C，连接CO并延长交BE于点F，延长BE交CH于点H，，，求CH长．
18．综合与实践
操作探究
（1）如图1，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，与交于点．请回答下列问题：
①与全等的三角形为______，与相似的三角形为______．并证明你的结论：（相似比不为1，只填一个即可）：
②若连接、，请判断四边形的形状：______．并证明你的结论；
拓展延伸
（2）如图2，矩形中，，，点、分別在、边上，且，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，与交于点，连接．
①设，，则与的数量关系为______；
②设，，请用含的式子表示：______；
③的最小值为______．
题型四 正方形的判定与性质
1．（2021·北京·北师大实验中学九年级开学考试）如图，正方形的面积是4，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为
A．2B．C．4D．
2．如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为，其中正确结论有几个（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2021·江苏新吴·二模）如图，正方形的顶点A、D在⊙O上，边与⊙O相切，若正方形的周长记为，⊙O的周长记为，则、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法判断
4．（2021·广东阳西·二模）如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转90°得到，延长交于点，连接，，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
5．（2021·山东莱西·一模）如图，正方形ABCD边长为4，点E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF=1，点P、Q分别是AF、EF的中点，连接PD、PQ、DQ，则线段DQ的长等于（ ）
A．4B．C．D．
6．（2021·河北石家庄·一模）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形为正方形，则四边形必是正方形；
乙：若四边形为正方形，则四边形必是正方形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确
7．（2021·四川·成都实外九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B重合）连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G．若AB＝2，G是CD的中点，AF的长为 ___．
8．（2021·陕西陈仓·九年级期中）如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为___．
9．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级期中）如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM．其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，则当MN＝4，AN＝3时，正方形ABCD的边长为__．
10．（2021·安徽淮南·二模）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，AE＝CF＝3，点G、H在正方形ABCD的内部或边上，解答下列问题：
（1）EF＝_______；
（2）若四边形EGFH是菱形，则菱形EGFH的最大面积为_______．
11．（2021·浙江拱墅·二模）如图，在正方形ABCD中，以CD为边向形内作等边三角形CDG，连接AG，点E和F在边CD上，连接AE，BF，分别交DG，CG于点M，N，连接MN，则∠AGD＝______，若∠DAE＝∠CBF＝15°，则＝______．
12．（2021·广东惠州·三模）如图，已知在正方形中，对角线与相交于点，，分别是与的平分线，的延长线与相交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是___（填序号）．
13．（2021·广东·高州一中九年级期中）已知：四边形ABCD是矩形，它的对角线AC、BD交于点O，过C作CE∥BD，过D作DE∥AC，DE、CE交于E．
（1）求证：四边形OCED是菱形．
（2）四边形ABCD满足什么条件时，四边形OCED是正方形？证明你的结论．
14．（2021·江苏·南师附中新城初中二模）如图,在正方形中,､､､分别是各边上的点,且．
求证:（1）;
（2）四边形是正方形．
15．（2021·四川省成都市石室联合中学九年级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．
（1）求证：CH＝BE；
（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝12时，求线段GE的长；
（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，点E将CD分成1∶2两部分，求的值．
16．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．
（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面积．
17．（2021·四川·达州中学九年级期中）某数学兴趣小组在数学课外活动 ，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（观察与猜想）
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，，则的值为______；
（2）如图2，在矩形ABCD中，，，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且，则的值为______；
（类比探究）
（3）如图3，在四边形ABCD中，，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：；
（拓展延伸）
（4）如图4，在中，，，，将沿BD翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，．
①求的值；
②连接BF，若，直接写出BF的长度．
18．（2021·辽宁·沈阳市光明中学九年级期中）（1）[问题发现]
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一条边作正方形CDEP，点E恰好与点A重合．则线段BE与AF的数量关系为 ；
（2）[拓展研究]
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请就图2的情形给出证明；
（3）[问题发现]
当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．