第12讲 四边形（易错点梳理+微练习）-2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

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易错点梳理
易错点01 混淆特殊平行四边形的判定定理
矩形、菱形、正方形有各自成立的前提条件，解题时应明确矩形、菱形、正方形的判定定理，不要混淆。
易错点02 对对角线所分割而成的三角形的特征把握不准
平行四边形的两条对角线把其分割为4个三角形，其中相对的两个互相全等；矩形的两条对角线把其分割为4个等腰三角形，其中相对的两个互相全等；菱形的两条对角线把其分割为4个全等的直角三角形；正方形的两条对角线把其分割为4个全等的等腰直角三角形.解题时要充分应用这些三角形的特征，注意它们的联系与区别。
易错点03 混淆三角形的两个性质
三角形的中位线等于第三边的一半，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，尽管都有“一半”，但二者成立的条件和结论不一样，不要混淆。
例题分析
考向01 平行四边形的判定和性质
例题1：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为（ ）
A．10B．5C．2.5D．2.25
例题2：（2021·四川·成都绵实外国语学校九年级期中）如图，矩形ABCD的周长是28，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，AC＝10，则△DOE的周长是（ ）
A．12B．13C．14D．15
考向02 矩形的判定和性质
例题3：（2021·广东紫金·九年级期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在边AB上的点C′上，且GE＝GC′，若DE＝3，AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）
A．4B．3C．4.5D．5
例题4：（2021·广西凤山·九年级期中）如图，在∆ABC中，，点、分别是边、的中点，将∆ADE绕点旋转得∆CFE，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．菱形
C．正方形D．梯形
考向03 菱形的判定和性质
例题5：（2021·江苏·无锡市东林中学九年级期中）如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．9B．10C．9D．10
例题6：（2021·山东南区·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，E是AD边的中点，连接BE交AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CBF，②CF＝2AF，③DF＝DC，④2S四边形CDEF＝5S△ABF，其中正确正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
考向04 正方形的判定和性质
例题7：（2021·四川·隆昌市知行中学九年级期中）如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是与的角平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
例题8：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（ ）
A．2B．C．4D．2
考向05 梯形的性质
例题9：如图，直角梯形中， ，且，连，则∆ADE的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题10：（2021·山东济南·二模）如图，为的中点，设，，，则，，的关系是（ ）
A．B．
C．D．
微练习
一、单选题
1．（2021·四川·成都教育科学研究院附属学校九年级期中）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若△ADE的面积为2，则四边形DECB的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
2．（2021·四川恩阳·九年级期中）如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将（ ）．
A．先变大，后变小B．保持不变
C．先变小，后变大D．无法确定
3．（2021·陕西武功·九年级期中）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
4．（2021·广东·深圳市龙岗区龙城初级中学九年级期中）如图，中，点为上一点，，连结，交于点，延长线交的延长线于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·四川省成都市石室联合中学九年级期中）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（ ）
A．16B．20C．29D．34
6．（2021·辽宁本溪·九年级期中）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成矩形零件，使其边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且，则这个矩形零件的长为（ ）
A．32mmB．36mmC．40mmD．44mm
7．（2021·山西·介休市第三中学校九年级阶段练习）如图，菱形ABCD中，，对角线AC等于8，，则DE的长为（ ）
A．5B．6C．9.6D．4.8
8．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝3：2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，CE交BO于点E，过点B作，垂足为F，交AC于点G．现给出下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（2021·重庆一中九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为CD、BC的中点，把△ADE沿AE翻折得到△AD'E，延长AD'交BC于点G，连接EG，M是AB边上一点，连接FM，把△BMF沿MF翻折，点B的对应点B'恰好落在AG上，则B'D'的长度为（ ）
A．B．C．D．
11．（2021·内蒙古包头·三模）如图，直角梯形中，，将腰绕点D逆时针方向旋转并缩短，恰好使，连接，则∆ADE的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF＝S△BCE，则所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．③④
二、填空题
13．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接BO．若AB＝4，CF＝5，则OB的长为_______________．
14．（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校九年级阶段练习）如图，∆ABC中，D为AC中点，E为BC上一点，连接DE，且，若，，则BC的长度为______．
15．（2021·辽宁甘井子·九年级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边BC上，点F在边CD上，∠AEF＝90°，设BE＝x，CF＝y，当0＜x＜4时，y关于x的函数解析式是______．
16．（2021·山东薛城·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_________________．
17．（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，F是边AD上的动点，E是边CD上的动点，满足AF+CE＝2，则FDE的最大面积为____．
18．（2021·山东·济南市济阳区实验中学九年级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DEAC，CEBD．若AD＝2，AB＝3，则四边形CODE的周长是________．
19．正方形ABCD的边长为1， E为边BC上动点，将AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，M为DE的中点，连接MF，则MF的最小值为________
20．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）如图，E是正方形ABCD外一点，连接AE，BE，DE，AP⊥AE交DE于点P，连接BP，若AE＝AP＝1，PB＝，则下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离是；③；④S正方形ABCD=．其中正确结论的序号为______．
三、解答题
21．（2021·湖南新田·九年级期中）如图，点F为边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求CE的长．
22．（2021·河南桐柏·九年级期中）如图，在∆ABC中，，分别是边，的中点，连接，．若平分，求证：．
23．（2021·广东高州·九年级期中）如图，已知平行四边形的对角线、交于点O，∆AOB是等边三角形，．
（1）求证：平行四边形是矩形；
（2）求平行四边形的面积．
24．（2021·辽宁本溪·九年级期中）在中，AE平分，交BC于点E，BF平分，交AD于点F，AE与BF交于点O，连接EF、OC．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若点E为BC的中点，且，，求OC的长．
25．（2021·湖北·黄石八中三模）如图，正方形ABCD的边长为4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若DE＝1，求△AFE的面积．
26．（2021·北京·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，，垂足为．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，求和的长．