2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级（下）寒假竞赛数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级（下）寒假竞赛数学试卷（五四学制）（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．B．
C．D．
2．如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝（ ）
A．70°B．65°C．60°D．50°
3．我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人？”设有x人，则可列方程为（ ）
A．8x﹣3＝7x+4B．3x﹣8＝4x+7C．8x+3＝7x﹣4D．3x+8＝4x﹣7
4．某小学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机选取100名学生进行问卷调查（每位学生仅选一种），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图．下列说法错误的是（ ）
A．本次调查的样本容量为100
B．最喜欢篮球的人数占被调查人数的30%
C．最喜欢足球的学生为40人
D．“排球”对应扇形的圆心角为10°
5．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（ ）
A．2r，90°﹣αB．0，90°﹣αC．2r，D．0，
8．如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a+b＜c；
②a+b＞；
③（a+b）＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
9．已知在梯形ABCD中，连接AC，BD，且AC⊥BD，设AB＝a，CD＝b．下列两个说法：①AC＝（a+b）；②AD＝，则下列说法正确的是（ ）
A．①正确②错误B．①错误②正确
C．①②均正确D．①②均错误
10．如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若A点坐标为（0，3），反比例函数恰好经过点C，则k的值是（ ）
A．B．6C．D．
11．如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
A．B．C．17D．5
12．如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（ ）
A．54B．52C．50D．48
13．如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
14．已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2B．m2C．4D．2m2
15．若实数x，y，m满足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，则代数式﹣2xy+1的值可以是（ ）
A．3B．C．2D．
二、解答题（每题8分，共40分）
16．风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备．
17．【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为 ；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．
18．在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．
19．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：
（1）如图1，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；
（2）如图2，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
（3）如图3，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．
20．已知点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上．
（1）若m＝﹣2，求n的值；
（2）抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共60分）
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据几何体的三视图分析解答即可．
解：由几何体的三视图可得该几何体是B选项，
故选：B．
【点评】此题考查由三视图判断几何体，关键是熟悉几何体的三视图．
2．如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝（ ）
A．70°B．65°C．60°D．50°
【分析】由平行线的性质可得∠D＝∠ABD＝50°，再利用三角形的外角性质可求得∠DCE的度数，结合对顶角相等即可求∠ACB的度数．
解：∵DE∥AB，∠ABD＝50°，
∴∠D＝∠ABD＝50°，
∵∠DEF＝120°，且∠DEF是△DCE的外角，
∴∠DCE＝∠DEF﹣∠D＝70°，
∴∠ACB＝∠DCE＝70°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
3．我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人？”设有x人，则可列方程为（ ）
A．8x﹣3＝7x+4B．3x﹣8＝4x+7C．8x+3＝7x﹣4D．3x+8＝4x﹣7
【分析】根据“人出八，盈三；人出七，不足四”，结合物品的价格不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：∵人出八，盈三，
∴物品的价格为8x﹣3；
∵人出七，不足四，
∴物品的价格为7x+4．
∴根据题意可列方程为8x﹣3＝7x+4．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．某小学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机选取100名学生进行问卷调查（每位学生仅选一种），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图．下列说法错误的是（ ）
A．本次调查的样本容量为100
B．最喜欢篮球的人数占被调查人数的30%
C．最喜欢足球的学生为40人
D．“排球”对应扇形的圆心角为10°
【分析】利用扇形图可得喜欢排球的占10%，喜欢篮球的人数占被调查人数的30%，最喜欢足球的学生为100×40%＝40人；用360°×喜欢排球的所占百分比可得圆心角．
解：A、本次调查的样本容量为100，故此选项不合题意；
B、最喜欢篮球的人数占被调查人数的30%，故此选项不合题意；
C、最喜欢足球的学生为100×40%＝40（人），故此选项不合题意；
D、根据扇形图可得喜欢排球的占10%，“排球”对应扇形的圆心角为360°×10%＝36°，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
5．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先罗列出所有等可能结果，从中找到“平稳数”的结果，再根据概率公式求解即可．
解：用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数出现的等可能结果有：
123、132、213、231、312、321，
其中恰好是“平稳数”的有123、321，
所以恰好是“平稳数”的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
6．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由圆的切线可得∠OAC＝∠OBC＝90°，进而可证明A、O、B、C四点共圆，利用圆内接四边形的性质可求得∠AOB＝60°，再根据弧长公式计算可求解．
解：∵过点A，B的两条切线相交于点C，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴A、O、B、C四点共圆，
∴∠AOB＝α＝60°，
∴圆曲线的长为：（km）．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线的性质，点与圆的位置关系，圆内接四边形的性质，弧长的计算，证明A、O、B、C四点共圆求解∠AOB的度数是解题的关键．
7．如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（ ）
A．2r，90°﹣αB．0，90°﹣αC．2r，D．0，
【分析】如图，连接IF，IE．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．
解：如图，连接IF，IE．
∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，
∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，
∴∠EIF＝180°﹣α，
∴∠EDF＝∠EIF＝90°﹣α．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．
8．如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a+b＜c；
②a+b＞；
③（a+b）＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；
②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；
③将c用a和b表示出来，再进行比较．
解：①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G．
∵DF∥AC，AC⊥AE，
∴DF⊥AE．
又∵BG⊥FD，
∴BG∥AE，
∴四边形ABGF为矩形．
同理可得，四边形BCDG也为矩形．
∴FD＝FG+GD＝a+b．
∴在Rt△EFD中，斜边c＞直角边a+b．
故①正确．
②∵△EAB≌△BCD，
∴AE＝BC＝b，
∴在Rt△EAB中，BE＝＝．
∵AB+AE＞BE，
∴a+b＞．
故②正确．
③∵△EAB≌△BCD，
∴∠AEB＝∠CBD，
又∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CBD+∠ABE＝90°，
∴∠EBD＝90°．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE＝45°，
∴BE＝＝c•sin45°＝c．
∴c＝．
∵＝2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a2+b2），
∴＞，
∴＞c．
故③正确．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的性质．虽然是选择题，但计算量不小，比较繁琐，需要细心、耐心．
9．已知在梯形ABCD中，连接AC，BD，且AC⊥BD，设AB＝a，CD＝b．下列两个说法：①AC＝（a+b）；②AD＝，则下列说法正确的是（ ）
A．①正确②错误B．①错误②正确
C．①②均正确D．①②均错误
【分析】根据题意，作出图形，若梯形ABCD为等腰梯形，可得①；②，其余情况得不出这样的结论，从而得到答案．
解：过B作BE∥CA，交DC延长线于E，如图所示：
若AD＝BC，AB∥CD，则四边形ACEB是平行四边形，
∴CE＝AB，AC＝BE，
∴AB∥DC，
∴∠DAB＝∠CBA，
∵AB＝AB，
∴△DAB≌△CBA（SAS），
∴AC＝BD，即BD＝BE，
∵AC⊥BD，
∴BE⊥BD，
在Rt△BDE 中，BD＝BE，AB＝a，CD＝b，
∴DE＝DC+CE＝b+a，
∴，此时①正确；
过B作BF⊥DE于F，如图所示：
在Rt△BFC中，BD＝BE，AB＝a，CD＝b，DE＝b+a，
∴，，
∴BC＝＝，此时②正确；
但已知中，梯形ABCD是否为等腰梯形，并未确定；梯形ABCD是AB∥CD还是AD∥BC，并未确定，
∴无法保证①②正确，
故选：D．
【点评】本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，孰练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
10．如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若A点坐标为（0，3），反比例函数恰好经过点C，则k的值是（ ）
A．B．6C．D．
【分析】根据含30°角的直角三角形边角关系分别求出OB、OC长，最后得到点C的坐标，根据反比例函数k值的几何意义解出k即可．
解：如图，作CD⊥x轴，垂足为点D，
∵∠AOB＝∠BOC＝30°，
∴∠COD＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
在Rt△AOB中，
∵∠AOB＝30°，
∴＝cs30°＝，
∵OA＝3，
∴OB＝2，
在Rt△BOC中，
∵∠BOC＝30°
∴＝，
∴OC＝4，
在Rt△COD中，
∵∠COD＝30°，OC＝4，
∴CD＝2，OD＝2，
∴C（2，2）
∵点C在反比例函数y＝图象上，
∴k＝2×＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，利用特殊直角三角形的边角关系求出线段长是解答本题的关键．
11．如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
A．B．C．17D．5
【分析】根据图象可知t＝0时，点P与点A重合，得到AB＝15，进而求出点P从点A运动到点所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可．
解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合，
∴AB＝15，
∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2＝7.5（s）；
∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s），
∴BC＝2×4＝8；
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；
故选C．
【点评】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB，BC的长是解题的关键．
12．如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（ ）
A．54B．52C．50D．48
【分析】根据勾股定理求出AB＝25，再分别求出0≤x≤15和15＜x≤35时的PD，AD的长，再用三角形的面积公式写出y与x的函数解析式即可．
【解答】解∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，
∴AB＝＝＝25，
①当0≤x≤15时，点P在AC边上，如图所示，
此时AD＝x，
∵ED⊥AB，
∴∠DEA＝90°＝∠C，
∵∠CAB＝∠EAD，
∴△CAB∽△EAD，
∴＝＝，
∴AE＝＝，
DE＝＝，
BE＝25﹣，
∴y＝BE•DE＝×（25﹣）×＝10x﹣，
当x＝10时，y＝76，
∴a＝76，
②当15＜x≤35时，点D在BC边上，如图所示，
此时BP＝35﹣x，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°＝∠C，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴，
∴BE＝＝＝28﹣，
DE＝＝＝21﹣，
∴y＝DE•BE＝×（28﹣）×（21﹣）＝（14﹣）（21﹣），
当x＝25时，y＝24，
∴b＝24，
∴a﹣b＝76﹣24＝52，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握．
13．如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．
解：过A作AH⊥x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
设A（m，m），则B（0，2m），
∴，
解得am＝﹣1，m＝，
∴ac的值为﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．
14．已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2B．m2C．4D．2m2
【分析】求出三个交点的坐标，再构建方程求解．
解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0，
∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m，
∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
若m＞0，则m2＝2m，
∴m＝2，
若m＜0时，则m2＝﹣2m，
∴m＝﹣2．
∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴为直线x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴为直线x＝，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离＝＝2．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
15．若实数x，y，m满足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，则代数式﹣2xy+1的值可以是（ ）
A．3B．C．2D．
【分析】结合已知条件解含参的二元一次方程组，然后代入﹣2xy+1中确定其取值即可．
解：由题意可得，
解得：，
则﹣2xy+1
＝﹣2××+1
＝﹣+1
＝﹣+1
＝﹣+1
＝﹣+≤，
∵3＞＞2＞，
∴A，B，C不符合题意，D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解得x，y的值后代入﹣2xy+1中整理出﹣+是解题的关键．
二、解答题（每题8分，共40分）
16．风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备．
【分析】设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，根据1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
解：（1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，
由题意得：，
解得：，
答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨．
（2）解：设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥．
根据题意得：（1.2+0.8×3）•m+8≤30，
解得：m≤．
∵m为整数，
∴m取最大值，
∴m＝6．
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17．【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为 3n ；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．
【分析】（1）不难看出，第1个图案中“◎”的个数为：3＝1+2，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+1，第3个图案中“◎”的个数为：9＝1+2+2+3+1，…，从而可求第n个图案中“◎”的个数；
（2）根据所给的规律进行总结即可；
（3）结合（1）（2）列出相应的式子求解即可．
解：（1）∵第1个图案中“◎”的个数为：3＝1+2，
第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+1，
第3个图案中“◎”的个数为：9＝1+2+2+3+1，
…，
∴第n个图案中“◎”的个数：1+2（n﹣1）+n+1＝3n，
故答案为：3n；
（2）由题意得：第n个图案中“★”的个数可表示为：；
故答案为：；
（3）由题意得：＝2×3n，
解得：n＝11或n＝0（不符合题意）．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
18．在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．
【分析】（1）由旋转的性质得DM＝DE，∠MDE＝2α，利用三角形外角的性质求出∠DEC＝α＝∠C，可得DE＝DC，等量代换得到DM＝DC即可；
（2）延长FE到H使FE＝EH，连接CH，AH，可得DE是△FCH的中位线，然后求出∠B＝∠ACH，设DM＝DE＝m，CD＝n，求出BF＝2m＝CH，证明△ABF≌ACH（SAS），得到AF＝AH，再根据等腰三角形三线合一证明AE⊥FH即可．
【解答】（1）证明：由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2α，
∵∠C＝α，
∴∠DEC＝∠MDE﹣∠C＝α，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴DM＝DC，即D是MC的中点；
（2）∠AEF＝90°，
证明：如图，延长FE到H使FE＝EH，连接CH，AH，
∵DF＝DC，
∴DE是△FCH的中位线，
∴DE∥CH，CH＝2DE，
由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2α，
∴∠FCH＝2α，
∵∠B＝∠C＝α，
∴∠ACH＝α，△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠ACH，AB＝AC
设DM＝DE＝m，CD＝n，则CH＝2m，CM＝m+n，
.DF＝CD＝n，
∴FM＝DF﹣DM＝n﹣m，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CM＝m+n，
∴BF＝BM﹣FM＝m+n﹣（n﹣m）＝2m，
∴CH＝BF，
在△ABF和△ACH中，
，
∴△ABF≌△ACH（SAS），
∴AF＝AH，
∵FE＝EH，
∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°，
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
19．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：
（1）如图1，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；
（2）如图2，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
（3）如图3，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为y＝ax2+4，求出A点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出y＝3.75时对应的自变量的值，得到FN的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线AC的解析式，进而设出过点K的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出m的值，进而求出K点坐标，即可得出BK的长．
解：（1）∵抛物线AED的顶点E（0，4），
设抛物线的解析式为y＝ax2+4，
∵四边形ABCD为矩形，OE为BC的中垂线，
∴AD＝BC＝4m，OB＝2m，
∵AB＝3m，
∴点A（﹣2，3），代入y＝ax2+4，得：
3＝4a+4，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵四边形LFGT，四边形SMNR均为正方形，FL＝NR＝0.75m，
∴TG＝MN＝FL＝NR＝0.75m，
延长LF交BC于点H，延长RN交BC于点J，则四边形FHJN，四边形ABFH均为矩形，
∴FH＝AB＝3m，FN＝HJ，
∴HL＝HF+FL＝3.75m，
∵，当y＝3.75时，，解得：x＝±1，
∴H（﹣1，0），J（1，0），
∴FN＝HJ＝2m，
∴GM＝FN﹣FG﹣MN＝0.5m；
（3）∵BC＝4m，OE垂直平分BC，
∴OB＝OC＝2m，
∴B（﹣2，0），C（2，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点K平行于AC的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：x2﹣3x+4m﹣16＝0，
则：Δ＝（﹣3）2﹣4（4m﹣16）＝0，解得：；
∴，当y＝0时，，
∴，
∵B（﹣2，0），
∴．
【点评】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
20．已知点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上．
（1）若m＝﹣2，求n的值；
（2）抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把m＝﹣2代入y＝﹣（x＜0）得n＝﹣＝1，即可求解；
（2）①x＝，得y＝（x﹣m）（x﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣2﹣（m+n）2≤﹣2，即可求解；
②求出直线TS的表达式为：y＝﹣m（x﹣m）﹣1，得到点C的坐标为：（，﹣）；由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，则FG＝2（yC﹣yG）＝2×（﹣+2）＝3；由四边形FGEC为平行四边形，则CE＝FG＝3＝yC﹣yE＝﹣﹣yE，求出yE＝﹣，进而求解．
解：（1）把m＝﹣2代入y＝﹣（x＜0）得n＝﹣＝1；
故n的值为1；
（2）①在y＝（x﹣m）（x﹣n）中，令y＝0，则（x﹣m）（x﹣n）＝0，
解得x＝m或x＝n，
∴M（m，0），N（n，0），
∵点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴mn＝﹣2，
令x＝，得y＝（x﹣m）（x﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣2﹣（m+n）2≤﹣2，
即当m+n＝0，且mn＝﹣2，
则m2＝2，解得：m＝﹣（正值已舍去），
即m＝﹣时，点E到达最高处；
②假设存在，理由：
对于y＝（x﹣m）（x﹣n），当x＝0时，y＝mn＝﹣2，即点G（0，﹣2），
由①得M（m，0），N（n，0），G（0，﹣2），E（，﹣（m﹣n）2 ），对称轴为直线x＝，
由点M（m，0）、G（0，﹣2）的坐标知，tan∠OMG＝＝，
作MG的中垂线交MG于点T，交y轴于点S，交x轴于点K，则点T（m，﹣1），
则tan∠MKT＝﹣m，
则直线TS的表达式为：y＝﹣m（x﹣m）﹣1．
当x＝时，y＝﹣m（x﹣m）﹣1＝﹣，
则点C的坐标为：（，﹣）．
由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，则FG＝2（yC﹣yG）＝2×（﹣+2）＝3．
∵四边形FGEC为平行四边形，
则CE＝FG＝3＝yC﹣yE＝﹣﹣yE，
解得：yE＝﹣，
即﹣（m﹣n）2＝﹣，且mn＝﹣2，
则m+n＝，
∴E（﹣，﹣），或（，﹣）．
【点评】本题为反比例函数和二次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识，其中（3），数据处理是解题的难点．