初中数学苏科版八年级下册10.1 分式巩固练习

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1.分式的定义
分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
分式中，A叫做分子，B叫做分母．
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②整式B作为分母，则整式B0. = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③只要最终能转化为形式即可. = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④B中若无字母，为整式.
2.分式的相关概念
1）分式有意义的条件：分母不为0，即B0
2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B0
3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
课后培优练级练
培优第一阶——基础过关练
1．（2022春·广东深圳·八年级校考期末）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：，∴；故选：C．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
2．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）在，，，，中，其中是分式的有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据分式的概念逐一进行判断即可得．
【详解】在，，，，中，其中是分式的有，，，共3个，故选B．
【点睛】本题考查了分式的判断，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
3．（2022春·山东济南·八年级校考阶段练习）若分式的值为零，则的值是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】分式的值等于零，分子等于零，且分母不等于零．
【详解】解：依题意，得x2−9＝0，解得x=3或x=-3，
又因为x2-3x≠0，即x≠3且x≠0，所以x＝-3．故选：B．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）下列分式中，无论x取什么值，一定有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式有意义，分母不等于零即可求解．
【详解】解：A、当x+1=0，即x=-1时，分式的分母为零，所以该分式无意义；故本选项不符合题意；
B、当x=0时，分式的分母为零，所以该分式无意义；故本选项不符合题意；
C、中，无论x为何值，分母x2+1≠0，所以该分式有意义；故本选项符合题意；
D、当x=±1时，分式的分母为零，所以该分式无意义；故本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．掌握分式有意义的添加是分母不为零是解题的关键．
5．（2022秋·广西玉林·八年级期末）当分式的值为0时，x的值为_________．
【答案】0
【分析】由题意得，，则，进行计算即可得．
【详解】解：由题意得，，则解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了分式，解题的关键是掌握分式的值为零的条件．
6．（2022·宁夏银川·八年级统考期末）若分式无意义，则x的取值是_____．
【答案】
【分析】根据分母等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意得1-2x=0，∴x=．故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．
7．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）当x＝3时，分式的值等于 ___．
【答案】3
【分析】直接把代入分式求值即可．
【详解】解：∵∴．故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
8．（2022秋·江苏·八年级专题练习）求满足下列条件的的值
（1）分式的值为 （2）分式的值为负数
【答案】（1）（2）
【分析】（1）若x为0，不成立，即分两种情况，x大于和小于0的情况，去绝对值，然后列等式计算.(2)分式的分子恒不大于0，分母恒大于等于1，故分子不能为0，计算得出.
【详解】解：（1）当x＞0时，=—1，得x=4，当x＜0时，=—1，得x=-4.
（2）根据分析，-x2=0，x=0，得解x≠0.
【点睛】本题考查分式中未知数的取值，解题的关键根据条件和分式定义求解.
9．（2023春·江苏·八年级专题练习）当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）分式有意义，且；分式无意义，或；（2）分式有意义，；分式无意义，；（3）为任意实数时，分式有意义；（4）分式有意义，；分式无意义，．
【分析】（1）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可；
（2）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可；
（3）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可；
（4）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可．
【详解】（1）当时，分式有意义，解得且；当时，分式无意义，解得或．
（2）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得．
（3）为任意实数时，，为任意实数时，分式有意义．
（4）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得．
【点睛】本题考查分式有无意义的条件，解答本题的关键是明确分式有无意义的条件是什么．
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（2）（4）是整式，（1）（3）是分式
【分析】根据分式和整式的定义逐一判断即可得．
【详解】解：（1）的分母中含有字母，是分式；
（2）的分母中没有字母，且，是由2个单项式的和构成的，是整式；
（3）的分母中有字母，是分式；
（4）是由单项式xy与单项式x2y的和构成的多项式，是整式．
【点睛】本题主要考查分式和整式的定义，解题的关键是掌握如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式；单项式和多项式统称为整式．
培优第二阶——拓展培优练
1．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）不论取何值，下列代数式的值不可能为0的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别找出各式的值为0时的值，由此即可得．
【详解】解：A、当时，，则此项不符题意；
B、分式的分子为，则的值不可能为0，此项符合题意；
C、当时，，则此项不符题意；
D、当时，，则此项不符题意；故选：B．
【点睛】本题考查了分式的值为零，解题的关键是掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．
2．（2022·内蒙古·八年级统考期末）下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，可得答案．
【详解】解：选项A：；选项B：；选项C：；
选项D:∵2x2+1＞1，∴不论字母取何值都有意义．故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是分式有意义的条件，通过举反例也可排除不正确的选项．
3．（2022·八年级江苏统考课时练习）下列说法正确的是（ ）．
A．不是分式B．无论取何值，分式总有意义
C．分式的值可以等于零D．是分式
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，若分式的值为0，则分母不为0，分子为0．据些逐一分析即可.
【详解】解：A、是分式，故A错误；
B、只有当分式的分母不为0时分式才有意义，在分式中，
∵x2≥0，∴3x2+1≠0，无论x取何值分式分母都不为0．分式有意义，故B正确；
C、分式的分子不为0，所以它的值不可能等于零，故C错误；
D、 不是字母，所以不是分式，故D错误．故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的概念及分式有无意义的条件，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
4．（2021春·江苏·八年级专题练习）已知：，，，，……，若（a、b为正整数）符合前面式子的规律，则a+b的值是（ ）．
A．109B．218C．326D．436
【答案】A
【分析】通过观察已知式子可得分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，即可求解．
【详解】解：由，，，，……，可知分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，
∴在中，b＝10，a＝102－1＝99，∴a＋b＝109，故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．
5．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）已知分式①当x=___________时分式无意义；
②当x_______分式值为正数．
【答案】 2
【分析】分式无意义：分母为0；分式是值为正数：分子与分母同号．
【详解】解：要使无意义，则，解得；
要使的值为正数，则，解得；故答案为：；．
【点睛】本题考查分式无意义以及为正数的条件，掌握分式无意义以及正数的条件是解题的关键．
6．（2022·山东聊城·八年级校考阶段练习）已知a2﹣3a+1＝0，则分式的值是 ___．
【答案】3
【分析】将a2﹣3a+1＝0，变形为，代入分式根据分式的性质即可求得分式的值
【详解】解：∵a2﹣3a+1＝0，∴故答案为：3
【点睛】本题考查了分式的性质，得到是解题的关键．
7．（2022·上海徐汇·七年级校考阶段练习）用中的任意两个代数式组成的一个分式：_________
【答案】
【分析】根据分式的定义，只要把b或x2+1写在分母上即可.
【详解】如：. 故答案为：（答案不唯一）.
【点睛】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
8．（2022·江苏扬州·八年级统考期末）若分式值为整数，则满足条件的整数的值为_____．
【答案】0或2
【分析】根据分式有意义的情况得出的范围，再根据分式的值为整数得出分母x-1=±1求解即可．
【详解】解：因为分式有意义，所以x-1≠0，即x≠1，
当分式值为整数时，有x-1=±1，解得x=0或x=2，故答案为：0或2．
【点睛】本题考查分式的意义，分式的值，理解分式的值的意义是解决问题的关键．
9．（2022·江西·八年级期中已知，则_______.
【答案】
【分析】先根据绝对值的非负性求出a和b的值，代入代数式中根据分数的性质对原式进行变形即可求出答案.
【详解】∵，所以，∴a=1，b=2，
∴原式= = = =
【点睛】本题考查非负数的性质，绝对值.本题解题关键有两个，①任意数的绝对值都大于或等于0，而两个非负数（或式）的和要等于0，那么这两个数（或式）都要为0；②注意分数的等量变形.
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；
第4个等式：…按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出第5个等式________；(2)请写出第个等式，并证明．
【答案】(1)(2)第个等式为，证明见解析
【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可；（2）根据规律写出代数式然后证明即可．
【详解】（1）解：根据已知规律，第5个等式为，故答案为：；
（2）解：根据题意，第个等式为，
证明：右边
=左边，∴等式成立．
【点睛】本题考查规律探索问题，从特殊的、简单的问题推理到普通的、复杂的问题，从中归纳问题的规律，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养．
11．（2022秋·广东汕头·八年级统考期末）观察以下等式：
第1个等式： 第2个等式： 第3个等式：
第4个等式： 第5个等式： 按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式： ；
（2）写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示），并证明．
【答案】（1） （2）；证明见解析
【分析】（1）观察前几个等式即可写出第7个等式；
（2）结合（1）观察数字的变化规律即可写出第n个等式，并进行证明．
【详解】解：观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，
第4个等式：，第5个等式：，……按照以上规律，
（1）第7个等式：；故答案为：；
（2）第n个等式：
证明：∵等式右边
∴左边＝右边∴猜想得证．故答案为：
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
培优第三阶——中考沙场点兵
1．（2022·安徽·九年级专题练习）下列关于分式的说法，错误的是( )
A．当x>-2时，分式的值一定为负数 B．当x=0时，分式没有意义
C．当x<-2时，分式的值一定为正数 D．当x=-2时，分式的值为0
【答案】A
【分析】根据“分式的分子分母同号时，分式的值为正数，当分式的分子分母异号时，分式的值为负数”判断A，C选项；根据“分式的分母为0时，分式没有意义”判断B选项；根据“当分式的分母不为0，且分子为0时，分式的值为0”判断D选项．
【详解】解：A项：当x=1时，分式的值为正数，故此选项错误，符合题意；
B项：当x=0时，分式没有意义，正确，故此选项不合题意；
C项：当x<-2时，分式的值一定为正数，正确，故此选项不合题意；
D项：当x=-2时，分式的值为0，正确，故此选项不合题意．故选A．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，分式无意义的条件，以及分式的值为正数或负数的条件．正确掌握相关性质是解题的关键．
2．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．
【详解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3个，故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
3．（2023·河南·中考模拟）下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式有意义B．当时，分式无意义
C．不论取何值，分式都有意义D．当时，分式的值为0
【答案】C
【分析】分母不为0时，分式有意义，分母为0时，分式无意义，分子等于0，分母不为0时分式值为0，由此判断即可.
【解析】解：A选项当，即时，分式有意义，故A正确；
B选项当，即时，分式无意义，故B正确；
C选项当，即时，分式有意义，故C错误；
D选项当，且即时，分式的值为0，故D正确.故选C.
【点睛】本题主要考查了分式有意义、无意义、值为0的条件，熟练掌握分式的分母不为0是确定分式有意义的关键.
4．（2023·绵阳市·中考模拟）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零B．无论为何值，的值总为正数
C．无论为何值，不可能得整数值D．当时，无意义
【答案】B
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
【详解】解：A、当x＝2时，分母x−2＝0，分式无意义，故A错误；
B、分母中x2＋3≥3，因而第二个式子一定成立，故B正确；
C、当x＋1＝1或−1时，的值是整数，故C错误；D、不是分式，故D错误．故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式各种结果的判断标准：分式的值是正数的条件是分子、分母同号；值是负数的条件是分子、分母异号；分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
5．（2021·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15B．﹣3C．3D．15
【答案】A
【分析】先把分子分母进行分解因式，后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.
【详解】解：
把代入上式中 原式故选A.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.
6．（2022·湖北黄冈·中考真题）若分式有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵分式有意义，∴，
解得．故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
7．（2022·广西·中考真题）当______时，分式的值为零．
【答案】0
【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x=0，x+2≠0求解即可．
【详解】解：由题意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键．
8．（2022春·浙江湖州·九年级专题练习）若x＝5y（xy≠0），则＝_______．
【答案】11
【分析】将x＝5y代入，根据比例的性质即可求解．
【详解】解：x＝5y（xy≠0），
，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了利用比例的性质求分式的值，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
9．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______．
【答案】2
【分析】直接把a的值代入计算即可．
【详解】解：当a=1时，．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．