数学八年级下册10.5 分式方程课时练习

这是一份数学八年级下册10.5 分式方程课时练习，文件包含105分式方程培优分阶练原卷版docx、105分式方程培优分阶练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
课后培优练级练
培优第一阶——基础过关练
1．（2022·山东济宁·八年级期末）下列方程中不是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式方程的概念逐项判断即可找出正确答案．
【详解】解：分式方程需同时满足3个条件，即是方程，有分母，分母中含有未知量，
观察可知，选项A B D均满足上述三个条件，故都是分式方程，
选项C分母中没有未知量，不属于分式方程，故答案为：C．
【点睛】本题考查分式方程的概念，熟练掌握分式方程的判定方法是解题的关键．
2．（2022·四川广元·八年级期末）方程的解为（ ）
A．B．C．D．原分式方程无解
【答案】D
【分析】利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验解分式方程即可．
【详解】解：
分式两边同乘得： ，移项合并同类项得：，
检验：当，，∴是原方程的增根，∴原方程无解；故选D．
【点睛】本题考查解分式方程，注意使最简公分母为0的x的值，是方程的增根，要舍掉．
3．（2022·湖南·明德湘南学校八年级阶段练习）把分式方程的两边同时乘以，约去分母，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方程两边同时乘以进行化简即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：；故选D．
【点睛】本题考查分式方程去分母．在去分母的时候，注意常数项不要漏乘．
4．（2022·晋州市月考）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方程（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】B
【分析】设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解析】解：设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，
依题意，得：＝；故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．（2022·江苏·八年级专题练习）将的分母化为整数，得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质求解．
【详解】解：将的分母化为整数，可得．故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．
6．（2022·江苏盐城市·八年级期中）若关于x的分式方程=2有增根，则增根是( )
A．x=0B．x=1C．x=2D．x=3
【答案】B
【分析】利用分式方程增根的定义直接得到答案．
【详解】解：∵关于x的分式方程=2有增根∴x﹣1=0，即x=1，所以增根为x=1．故选：B．
【点睛】本题考查的是分式方程的增根的含义，掌握分式方程的增根的含义是解题的关键．
7．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）方程的解昰___________．
【答案】
【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可.
【详解】解：
去分母得：
整理得：
解得：
经检验：是原方程的根，
∴ 原方程的根为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式方程的解法,掌握“分式方程的解法与步骤”是解本题的关键.
8．（2022·仪征市八年级月考）若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为______．
【答案】m＞1且m≠3．
【分析】先解关于x的分式方程，得x=1-m，再根据关于x的分式方程的解为负数，得1-m＜0且1-m≠-2，故m＞1且m≠3．
【详解】解：，去分母，得3-m=x+2，移项，得x=1-m．
∵关于x的分式方程的解为负数， ∴1-m＜0且1-m≠-2， ∴m＞1且m≠3． 故答案为：m＞1且m≠3．
【点睛】本题主要考查解分式方程以及解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程以及解一元一次不等式是解决本题的关键．
3．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)无解．
【分析】分式方程去分母即可转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验后即可得到分式方程的解．
【详解】（1）方程两边同时乘以 得：
，
解得：，
检验：当时，
所以分式方程的解为；
（2）方程两边同时乘以 得：
，
解得：，
检验：当时，
所以原分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定要注意验根．
9．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）解分式方程：．
【答案】
【分析】两边都乘以，化分式方程为整式方程，再进一步求解即可．
【详解】解：两边都乘以，得：，
整理，得：，
解得，，
检验：当时，，舍去；
当时，；
所以分式方程的解为．
【点睛】本题主要考查解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键，注意检验．
10．（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）解分式方程：
【答案】
【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】解：，
去分母得：
整理得：
解得：
经检验：是原方程的根，
∴原方程的根为：
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握“解分式方程的步骤与方法”是解本题的关键．
11．（2022·河北·八年级阶段练习）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)原方程无解
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，最后检验根是否有意义，即可求解；
（2）先将分式通分，再根据分式的加减法法则进行运算，最后把解的根代入原方程检验，若分式有意义则有解，原方程无意义则原方程无解．
（1）
解：原式变形得，，且，
，
∴，
代入原方程检验得，原方程左边：，原方程右边：，
即时，方程左边等于右边，且原方程有意义，
故方程的解是：．
（2）
解：原式通分得，，且，
，
，
∴，
，
代入原方程检验：原方程分母为零，方程无意义，故原方程无解．
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握分式的加减法法则，通分，分式方程有意义是解题的关键．
12．（2022·江苏海陵·泰州中学附属初中期中）近年来，市区住建部门加快推进“空转绿”“微添绿”等项目建设，新增大小游园数十个，让市民开门即见绿，休憩有绿荫．老王和小王两父子准备从家匀速步行前往位于城西新建的祥泰公园散步，由于小王有事耽搁，比老王晚出发8分钟，小王的步行速度是老王的1.2倍，结果两人同时到达公园．已知老王家与公园相距2.4km，求老王步行的速度．
【答案】老王步行的速度0.05km/min．
【分析】设老王平均每小时行x千米，则小王平均每小时行1.2x千米，根据题意列方程即可得到结论．
【解析】解：设老王平均每小时行x千米，则小王平均每小时行1.2x千米，
根据题意，得，解得，经检验，是原方程的根，
答：老王步行的速度0.05km/min．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．
培优第二阶——拓展培优练
1．（2022·江苏九年级专题练习）已知一个三角形三边的长分别为5，7，a，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24B．15C．12D．7
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系确定a的取值范围，再根据分式方程的解是非负数确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论.
【详解】解：
去分母得:
移项得: ∴
∵分式方程的解为非负数，∴∴，且a≠3
∵三角形的三边为:5，7，a，∴∴，
又∵a≠3，且为整数，∴a可取4，5，6，和为15.故选：B.
【点睛】本题考查了三角形的三边关系、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式（组）解集，求出不等式（组）的整数解.
2．（2022·江苏洪泽·八年级期中）若关于的方程无解，则__________．
【答案】2或
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．据此解答可得．
【解析】解：去分母，得：，整理，得：，
当时，分式方程无解，
当时，若，则，即；若，则（无解）；
综上所述，或，故答案为：2或．
【点睛】本题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件，最简公分母为0，或者得到的整式方程无解．
3．（2022·南通市八年级月考）若分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________．
【答案】m＞1且m≠3
【分析】方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．
【详解】解：方程两边同乘以x-1，得，m-3=2(x-1)，解得，
∵分式方程解为正数∴且x-1≠0，
即m＞1且，∴m＞1且m≠3，故答案为：m＞1且m≠3．
【点睛】本题考查了分式方程的解，要注意分式的分母不为0的条件，此题是一道易错题，有点难度．
4．（2022·江苏九年级专题练习）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：ab=．例如：52==.若4x=－3，=________．
【答案】
【分析】先根据新定义的运算得到分式方程，然后根据解分式方程的方法求解即可．
【详解】解：由题意得：，
去分母得：，
移项并合并同类项得：，
解得：，经检验，是分式方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是根据新定义的运算得到分式方程．
5．（2022·厦门中考模拟）观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是_____．
【答案】x=n+4或x=n+5
【分析】根据方程变形后，归纳总结得到一般性规律，求出所求方程的解即可．
【详解】解：，解得：或；，解得：或；
，解得：或；得到规律，的解为：或；
所求方程整理得：，根据规律得：或，
解得：x=n+4或x=n+5故答案为：x=n+4或x=n+5
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清楚题中的规律是解本题的关键．
6．（2022·重庆南岸·模拟）某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区．甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是_____米．
【答案】1500
【分析】甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），根据“刚好在事先预计的时间到达该小区”，结合函数图象列出方程，可以分别求得甲乙的速度和甲到达公司的时间，进而求得甲到小区时，乙距公司的路程．
【解析】设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），
由题意可得，解得，a＝500，
设乙的速度为b（m/min），由甲乙相遇知，
∴b＝1000，
∴甲乙相遇时乙距公司的路程为：（9﹣）×1000＝3000，
甲到达小区的时间为：＝12（min），
∴甲到小区时，乙距公司的路程为：3000﹣1000××（12﹣9）＝1500（m），故答案为：1500．
【点睛】本题考查了函数图像的识别，分式方程，根据题目中的等量关系列出正确的方程是本题的关键．
7.（2022·江西寻乌·初二期末）列方程解应用题：老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少，小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树，他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/时，走了约3分钟。（1）由此估算这段路长约____千米；（2）然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米，小宇计从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制出了示意图，考虑到投入资金的限制，他设计了一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少400棵树，请你求出a的值
【答案】（1）3；（2）7.5
【分析】（1）利用路程=速度×时间可求出这条路的长度；（2）设原计划每a米种一棵树，则现设计每2a米种一棵树，根据需种树的棵数=路的长度÷树间距结合现设计的每一侧都减少400棵树，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解析】（1）这段路长约60（千米）．故答案为：3．
（2）设原计划每a米种一棵树，则现设计每2a米种一棵树，依题意，得：
由愿意可得，解方程得，
经检验，满足方程且符合题意．答：的值是．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．注意单位的统一．
8．（2022·西安市初二期中）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）1600，2000；（2）有7种，当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元；（3）当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大；当k=50时，每种进货方案的总利润都一样．
【分析】（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据“商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”，列出方程，即可解答；
（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，表示出总利润y=﹣50x+15000，根据题意得：求出x的取值范围，根据x为正整数，所以x=34，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有7种，利用一次函数的性质，确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）当电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元时，则利润y=（k﹣50）x+15000，分两种情况讨论：当k﹣50＞0；当k﹣50＜0；利用一次函数的性质，即可解答．
【解析】解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据题意得：
，解得：x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解，x+400=1600+400=2000，
答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．
（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，
则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根据题意得：
，解得：，∵x为正整数，∴x=34，35，36，37，38，39，40，
∴合理的方案共有7种，即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台；
∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元），
答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．
（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，
则利润y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，
当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，
∵，∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；
当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，
∵，∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；
答：当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．
【点睛】本题考查一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
9．（2022·长沙市初二月考）雅礼集团某学校教学楼需要在规定时间内建造完成，以备迎接新学期的开学，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书如下：(部分信息)
学校后勤处提出两个方案：①由甲工程队独施工；②由乙工程队单独施工；
校团委学生代表小组根据甲、乙两队的投标书测算及工期安排，提出了新的方案：
③若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：(1)学校规定的期限是多少天？(2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
【答案】（1）12 （2）选择方案③最节省工程款，理由见解析
【分析】（1）设该工程的规定时间为x天，根据题意列出方程求解即可．（2）根据已知算出各方案的价钱，再根据题意进行选择．
【解析】（1）设该工程的规定时间为x天，则甲队需要天，乙队需要天完成，由题意得
解得经检验，是方程的根
答：学校规定的期限是12天．
（2）选择方案③最节省工程款 由于不耽误工程，故方案②舍去，只能选择方案①和方案③
方案①：总费用（万元）
方案③：总费用（万元）
∵∴选择方案③最节省工程款．
【点睛】本题考查了分式方程的工程问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
1．（2022·河北·石家庄三模）小明和小亮在解答“解分式方程：”的过程如框，对他们的解答过程（每一步只对上一步负责）有以下判断，判断错误的是（ ）
小明的解法：
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
系数化为得：⑤
是原分式方程的解⑥
小亮的解法：
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
系数化为得：⑤
A．小明的步骤①错误，漏乘B．小明的步骤②、③、④都正确
C．小明的步骤⑤错误D．小亮的解答完全正确
【答案】D
【分析】观察解方程的步骤，找出出错的即可．
【详解】解：根据题意得：小亮的解答没有检验过程，出错；
小明的步骤错误，漏乘，小明的步骤、、都正确，小明的步骤错误．故选：．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
2．（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且，即可求解．
【详解】方程两边同时乘以，得，
解得，
关于x的分式方程的解是正数，
，且，
即且，
且，故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．（2022·山东泰安·中考真题）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用天，现在甲、乙两队合做天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为天，下面所列方程中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设总工程量为，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期天，所以乙的工作效率为，根据甲、乙两队合做天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．
【详解】解：设规定日期为天，由题意可得，，
整理得，或或．
则选项均正确，故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
4．（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0B．4或6C．6D．0或4
【答案】D
【分析】现将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘，得，整理得，
原方程无解，当时，；
当时，或，此时，，解得或，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或4；故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是____．
【答案】5
【分析】根据题意得到方程，解方程即可求解．
【详解】解：依题意得：，即，
去分母得：3-x+2(x-4)=0，
去括号得：3-x+2x-8=0，
解得：x=5，
经检验，x=5是方程的解，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
6．（2022·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________．
【答案】
【分析】根据比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，可得比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，根据比赛时所用时间比训练前少用3分钟列出方程．
【详解】解：∵比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，小亮训练前的平均速度为x米/分，
∴比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，
根据题意可得，故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是______________．
【答案】m >0且m≠1
【分析】先解分式方程得到解为，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得到：，
整理得到：，
∵分式方程的解大于1，
∴，解得：，
又分式方程的分母不为0，
∴且，解得：且，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
8．（2022·重庆·中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．
【答案】
【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可．
【详解】设三座山各需香樟数量分别为4x、3x、9x．甲、乙两山需红枫数量、．
∴，∴，故丙山的红枫数量为，
设香樟和红枫价格分别为、．
∴，∴，
∴实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为，答案：．
【点睛】本题考查未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求解是解题的关键．
9．（2022·广西梧州·中考真题）解方程：
【答案】
【分析】先方程两边同时乘以，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得到：，
解出：，
当时分式方程的分母不为0，
∴分式方程的解为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．
10．（2022·四川乐山·中考真题）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
【答案】摩托车的速度为40千米/时
【分析】设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，
依题意，得：，解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的根，且符合题意，
答：摩托车的速度为40千米/时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11．（2022·重庆·中考真题）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【答案】(1)100米(2)90米
【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建米，根据工效问题公式：工作总量＝工作时间×工作效率，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建米，根据水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y的分式方程，解方程即可得出答案．
(1)解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建米，
则有解得
∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．
(2)∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同
∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)
乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米)
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建米，即1.2y米
则有解得
经检验，是原方程的解，符合题意
∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，应注意分式方程要检验，读懂题意，正确设出未知数，并列出方程，是解题的关键．
先化简，再求值：，其中
解：原式