数学八年级下册11.3用 反比例函数解决问题精练

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1.反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
3.反比例函数与一次函数的综合
1)涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。
针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2）求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
4.反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
课后培优练级练
培优第一阶——基础过关练
1．（2023·辽宁大连·统考一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1000N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示，当气体的密度为时，体积是（ ）．
A．1B．2C．4D．8
3．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（单位：Pa）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．函数解析式为B．物体承受的压力是
C．当时，D．当时，
4．（2023·江西南昌·统考一模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．I与R的函数关系式是
C．当时，D．当时，I的取值范围是
5．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）某商城推出免利息分期付款购买电脑的活动，在活动期间王先生要购买一款标价为7999元的电脑，前期付款1999元，后期每个月付相同的金额，设后期每个月付款金额为（千元），付款月数（为正整数），选取5组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·湖南湘潭·模拟预测）如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接、，设和的面积分别是、，比较它们的大小，可得（ ）
A．B．C．D．大小关系不能确定
7．（2023秋·河北唐山·九年级校考期末）如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10米的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设米，米，则下列说法正确的是（ ）
A．y关于x的函数关系式为 B．自变量x的取值范围为，且y随x的增大而减小
C．当时，x的取值范围为 D．当为3米时，长为6米
8．（2023秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴，垂足为H，连接，已知的面积是6，则k的值是__________．
9．（2022·广东深圳·校考一模）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为，则的值为_____．
10．（2023秋·山东临沂·九年级统考期末）研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为______度．
11．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x(米)是反比例函数关系，图象如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若该工程队有4台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？
12．（2022春·山西晋城·八年级统考期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼晴行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈，这就是有趣的“瞎转圈”现象． 经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径（米）是其两腿迈出的步长之差（厘米）的反比例函数，其图象如图所示，请根据图象中的信息解决下列问题：
(1)求与之间的函数表达式；
(2)当某人两腿迈出的步长之差为0.25厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米；
(3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米，则其两腿迈出的步长之差最多是______厘米．
13．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）在大棚中栽培新品种的蘑菇，在的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培．如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭，大棚内温度y（）随时间x（时）变化的函数图象，其中段是函数图象的一部分．
(1)分别求出和时对应的y与x的函数关系式；
(2)若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则这天该种蘑菇适宜生长的时间是多长？
14．（2023秋·云南文山·九年级统考期末）某饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温与开机时间x/分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温与开机时间x/分钟成反比例函数关系），当水温降至时，饮水机又自动开始加热，……，重复上述过程（如图所示）．(1)当时，求y与x之间的函数关系式；(2)第二次加热之前，水温保持不低于有多长时间？
15．（2023秋·山西晋中·九年级统考期末）如图1是某型号冷柜，如图2是该型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图，该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到℃时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到℃时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到℃时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比例函数．(1)求的值；(2)当前冷柜的温度℃，冷柜继续工作36分钟，此时冷柜中的温度是________℃．
16．（2023秋·山东泰安·九年级校考期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．其中，(1)求一次函数的解析式；(2)已知双曲线在第一象限的图像上有一点到y轴的距离为，求的面积．
17．（2023·吉林·统考一模）如图，一次函数的图像与x轴相交于点A，与反比例函数在第一象限的图像相交于点．(1)求反比例函数的解析式；(2)过点B作轴于点C，则的面积为_____．
培优第二阶——拓展培优练
1．（2023·河南安阳·统考一模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为
2．（2023秋·湖北荆州·九年级统考期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强生态文明建设，某工厂自今年1月份开始限产进行治污改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
B．治污改造完成前后共有5个月的利润不超过100万元
C．10月份该厂利润达到190万元 D．4月份的利润为50万元
3．（2022秋·重庆巴南·九年级统考期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为15∼20℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度随时间（小时）变化的函数图象，其中段是双曲线的一部分，则下列说法错误的是（ ）
A．的值为240
B．当时，大棚内的温度为15℃
C．恒温系统在这天保持大棚内温度20℃的时间有10小时
D．恒温系统在这天保持大棚内温度在的时间有16小时
4．（2023·河南商丘·校考一模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象交平行四边形于点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上，已知平行四边形的面积是，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江苏常州·统考一模）如图，直线与轴、轴分别相交于点A、，过点作，使．将绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2024次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．6B．C．D．4
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的一个动点，过点作轴交函数的图象于点，点、在轴上在的左侧，且，连接、，这关于四边形的面积的结论正确的是（ ）
A． B． C． D．四边形的面积无法确定
7．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图是6个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角和凹入的角的顶点记作（n为1~11的整数），函数的图象为L．
（1）若L过点，则______；（2）若L过，则L一定过另一点，则______；（3）若L使得这些点分布在它的两侧，且一侧5个点一侧6个点，请写出符合要求的k的所有整数值：______．
8．（2022秋·山东潍坊·九年级统考期末）饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中，水温与开机时间x分成反比例函数关系)，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去(如图所示)．那么开机后分钟时，水的温度是______．
9．（2022·江苏苏州·八年级统考期中）某蔬菜生产基地在气温较低时用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为的条件下生长最快的新品种．下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后大棚内的温度随时间（小时）变化的函数图象，其中段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：（1）恒温系统在这天保持大棚内的温度的时间有______小时；（2）______；（3）当棚内温度不低于时，该蔬菜能够快速生长，则这天该蔬菜能够快速生长______小时．
10．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）：
(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明理由.
11．（2023·江苏常州·统考一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点，与x轴交于点．
(1)求与的值；(2)点是x轴正半轴上一点，若，求的面积．
12．（2023秋·福建福州·九年级校考期末）已知电源电压且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为5Ω，10Ω，15Ω，20Ω，25Ω；滑动变阻器．在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表．
(1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流随电阻的变化规律，请直接写出与的函数关系式 ；
(2)在（1）的条件下，直接写出，的值，并画出该函数在第一象限的图象；
(3)已知该滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，记其电阻为．将定值电阻更换为一电阻箱，根据物理知识可知电源电压．在（1）的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为时，为保证电路安全，取值范围是 ．
13．（2023春·广东中山·九年级校考阶段练习）已知反比例函数的图象上有一点，点C的坐标为，将线段绕点C按逆时针方向旋转，得到线段．
(1)求直线的解析式；(2)在x轴上找一点Q，使得的值最小，求Q的坐标；
(3)点P是线段上的一点，连接，若把的面积分为两部分，求点P的横坐标．
14．（2023·四川内江·校考一模）如图，双曲线：与直线在第一象限交于点．
(1)求双曲线与直线的解析式；
(2)曲线 是反比例函数在第四象限的分支，点B是上的一点，且是等腰直角三角形，，求的解析式；
(3)是否在x轴上存在一点P，使的值最大，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
培优第三阶——中考沙场点兵
1．（2023·山西晋中·统考一模）小亮新买了一盏亮度可调节的台灯（图①），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流是电阻的反比例函数，其图象如图②所示．下列说法正确的是（ ）
A．电流随电阻的增大而增大B．电流与电阻的关系式为
C．当电阻为时，电流I为 D．当电阻时，电流I的范围为
2．（2023·河南周口·统考一模）某自助餐厅餐桌上装有光盘仪，可用于“光盘行动”，光盘仪是一种质量电阻（图1中的传感器），的阻值随载盘台所载质量m的变化而变化（如图2），已知空载盘的质量为g，电源电压保持V不变，提示器的电阻恒为，则下列说法不正确的是（ ）
A．载盘台所载质量m越大，传感器的阻值越小 B．当g时，的阻值为
C．当g时，提示器不会发出提示音 D．当时，提示器会发出提示音
3．（2023春·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）一件工作，已知每人每天完成的工作量相同，一个人完成需24天，若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·福建福州·统考一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力×动力臂，当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力F和动力臂l，下列说法错误的是（ ）
A．F与l的积为定值 B．F随l的增大而减小
C．当l为时，撬动石头至少需要的力 D．F关于l的函数图象位于第一、第三象限
5．（2023·吉林长春·校考一模）如图，在中，轴，点B、D在反比例函数的图象上，若的面积是20，则k的值是（ ）
A．10B．15C．20D．25
6．（2023·四川内江·校考一模）点P，Q，R在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴，y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，则的值为（ ）
A．10B．12C．14D．16
7．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于、两点，则不等式的解集为 _____．
8．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在（千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差___小时．
9．（2023·山东青岛·统考一模）为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资料表明空气中氯含量不低于，才能有效杀灭新冠病毒．如图，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例，消毒液挥发时，与成反比例，则此次消杀的有效作用时间是______min．
10．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流与电阻是反比例函数关系，当电阻时，电流．(1)求关于的函数表达式；
(2)若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不超过，求用电器可变电阻应控制在什么范围？
11．（2023·山东枣庄·统考一模）电灭蚊器的电阻y（）随温度x（）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．(1)当时，求y与x之间的关系式；(2)电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过？
12．（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）喷绘在商业广告、宣传等领域应用广泛，喷绘画面是使用喷绘机打印出来的，喷绘机工作时相当于一条直线（喷嘴）连续扫过一张画布．一家广告公司在一个直角梯形ABCD的画布上使用喷绘机印刷广告，画布的底角为，上底长4米，下底长8米，如图所示，直线MN垂直于AB，记（（）），记梯形ABCD位于直线MN左侧的图形（阴影部分）的面积为S，定义为平均喷绘率．
当时，，．

(1)求当时y与x的函数关系式；(2)补全表格中的y的值：
以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，并在x的取值范围内画出y的函数图象；(3)问在何时平均喷绘率y满足？请结合函数图象写出对应的x的取值范围．
13．（2022秋·山西大同·九年级统考期末）阅读与思考
任务：(1)填空：已知，只有当______时，有最小值，最小值为______．(2)如图，P为双曲线上的一点，过点P作轴于点C，轴于点D，求的最小值．
14．（2023·河南驻马店·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为，轴于点，连接．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)结合图象，直接写出时的取值范围；
(3)若点是反比例函数图象上的一点，且满足与的面积相等，求出点的坐标．（单位：Ω）
5
10
15
20
25
（单位：A）
0．4
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
0
1
2
下面是小米同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
如果，，那么，即，得，即是的最小值，当时，等号成立．
例题：当时，求的最小值．
解：令，，由，得，∴，
故当时，有最小值2．