河南省信阳市淮滨县2024届九年级上学期阶段性学情调研测试数学试卷(含答案)

这是一份河南省信阳市淮滨县2024届九年级上学期阶段性学情调研测试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下面四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．“抛掷1枚均匀硬币正面朝上”是（ ）
A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．不能确定
3．下列关于方程x2﹣5x+7＝0的结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根D．无实数根
4．如图，△ACB≌△A′CB′，A′B′经过点A，∠BAC＝70°，则∠ACA′的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x+1）＝45B．
C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝45
7．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
8．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（ ）
A．108°B．72°C．54°D．36°
9．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，CE＝2AE，则下列结论：①△ABC∽△ADE；②DE∥BC；③DE：BC＝1：2；④S△ABC＝9S△ADE中成立的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在AB边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作EF垂直AB交直角边于F．设AE＝x，△AEF面积为y，则y关于x的函数图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知点A（m，2）与点B（﹣6，n）关于原点对称，则m﹣n的值为 ．
12．如图，矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数的图象上，若点A的坐标为（2，6），AB＝3，AD∥x轴，则点C的坐标为 ．
13．抛物线y＝ax2﹣ax+c（a＞0）与x轴的一个交点是A（﹣1，0）．当y＜0时，x的取值范围是 ．
14．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，分别以B、C为圆心，AB长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最小值是 ．
三、解答题（共75分）
16．（8分）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．
（1）请用树状图或列表法列出所有可能的结果；
（2）若指针所指的两个数字都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则乙获胜，问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明．
17、（9分）如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）若PC=2，求CD的长．
18．（9分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2时，直接写出自变量x的取值范围为 ；
（3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为 ．
19．（9分）阅读材料，回答下列问题：
阿尔•花拉子米（约780～约850），著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x2+2x﹣35＝0的一个解．如图
将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是x2+2×x×1+1×1，即x2+2x+1，而由原方程x2+2x﹣35＝0变形得x2+2x+1＝35+1，即右边边长为x+1的正方形面积为36．所以（x+1）2＝36，则x＝5．
（1）上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的 ．
A．直接开平方法 B．公式法 C．配方法 D．因式分解法
（2）所用的数学思想方法是 ．
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．转化思想
（3）运用上述方法构造出符合方程x2+4x﹣5＝0的一个正根的正方形．
20．（9分）如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．
（1）直接写出ED和EC的数量关系： ；
（2）DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
（3）填空：当BC＝ 时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是 ．
21．（10分）某景区纪念品超市以50元每个的价格新进一批工艺摆件，经过一段时间的销售发现日销量y（个）与单个售价x（元）之间的函数关系如图．（景区规定任何商品的利润率不得高于90%）
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式；
（2）该超市要想每天获得2400元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
22．（10分）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据 ，易证△AFE≌ ，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF＝BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
23（11分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
九年级数学参考答案与评分标准
一、选择题
1-----5 BCDCB 6-----10 BCCCD
二、填空题
11. 8 12 （4，3） 13 -1三、解答题
16 解：（1）列表如下：
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
（2）因为，方程x2﹣5x+6＝0的解是：x1＝2，x2＝3。。。。。。。。。。。。。。。。5分
所以，从上表中可看出，指针所指的两个数字有12种等可能的结果，其中两个数字都是方程x2﹣5x+6＝0的解有4次，两个数字都不是方程x2﹣5x+6＝0的解有2次，
所以，P（甲胜）＝＝，P（乙胜）＝ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
所以，此游戏甲获胜的概率大．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
17 （1）证明：∵等边三角形ABC，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠CPD=120°，
在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，
∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
（2）解：等边三角形边长为3，PC=2，
由（1）得△ABP∽△PCD，
，
∴，
∴CD=．
答：CD的长为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
18、解：（1）将A（2，8），B（8，2）代入y1＝ax+b得，
解得，
∴一次函数为y1＝﹣x+10，
将A（2，8）代入y2＝得8＝，解得k＝16，
∴反比例函数的解析式为y2＝；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
（2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，
故答案为x＞8或0＜x＜2；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
（3）P（3，0）或P（﹣3，0），。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
20、解：（1）答案为：C．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
（2）答案为：B．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
（3）将边长为x的正方形和边长为2的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为2，拼合在一起面积就是x2+2×x+2×2，即x2+2x+1，
而由原方程x2+4x﹣5＝0变形得x2+4x+4＝9，即图中边长为x+2的正方形面积为9．所以（x+2）2＝9，x+2＝3
则x＝1．
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
20、解：（1）DE＝CE。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
（2）DE是⊙O的切线．理由如下：
连接OD，如图，
∵BC为切线，
∴OC⊥BC，
∴∠OCB＝90°，即∠2+∠4＝90°，
∵OC＝OD，ED＝EC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，即∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
（3） 2 ， 正方形 ．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
21、解：（1）设y＝kx+b（k≠0，b为常数），
将点（60，140），（70，120）代入，得，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+260；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝2400，
化简得：x2﹣180x+7700＝0，
解得：x1＝70，x2＝110，
∵50×（1+90%）＝95，且110＞95，
∴x2＝110（舍去），
∴x＝70．
∴销售单价应定为70元；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
（3）设每天获得的利润为W元，由题意得：
W＝（x﹣50）（﹣2x+260）
＝﹣2（x﹣90）2+3200，
∵a＝﹣2，抛物线开口向下，
∴W有最大值，当x＝90时，W最大值＝3200．
∴销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
22、解：（1）SAS；△AFG；。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（2）∠B+∠ADC＝180°；。。。。。。。。。。。。。。。。6分
（3）联想拓展
猜想：DE2＝BD2+EC2．。。。。。。。。。。。。。。。。7分
理由如下：
把△ACE绕点A逆时针旋转90°到ABF的位置，连接DF，如图3所示：
则△ABF≌△ACE，∠FAE＝90°，
∴∠FAB＝∠CAE．BF＝CE，∠ABF＝∠C，
∴∠FAE＝∠BAC＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△ADF和△ADE中，，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF＝DE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠C＝∠ABF＝45°，
∴∠DBF＝∠ABF+∠ABC＝90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2+BF2＝DF2，
∴BD2+EC2＝DE2．。。。。。。。。。。。。。。。。10分
23（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，
∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，﹣4），
∴D（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
（3）∵点P在抛物线上，
∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直线BC解析式为y＝x﹣4，
∴F（t，t﹣4），
∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴S△PBC＝S△PFC+S△PFB＝PF•OE+PF•BE＝PF•（OE+BE）＝PF•OB＝（﹣t2+4t）×4＝﹣2（t﹣2）2+8，
∴当t＝2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，
∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

1
2
3
4
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）