2023-2024学年天津市北师大静海实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市北师大静海实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A. ax2+bx+c=0B. 1x2+1x=2
C. x2+2x=x2−1D. 3(x+1)2=2(x+1)
2.已知x=2是一元二次方程x2+x+m=0的一个解，则m的值是( )
A. −6B. 6C. 0D. 0或6
3.一元二次方程x2−8x−1=0，配方后可变形为( )
A. (x−4)2=17B. (x−4)2=18C. (x−8)2=1D. (x−4)2=1
4.一元二次方程kx2−4x+3=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. K≤2B. K≠0C. k≤43且k≠0D. K<2
5.某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为( )
A. 800(1+2x)=100B. 100(1−x)2=80
C. 80(1+x)2=100D. 80(1+x2)=100
6.如果函数y=(m−1)xm2+1−2x+5是二次函数，则m的值是( )
A. ±1B. −1C. 2D. 1
7.将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为. ( )
A. y=2(x+2)2+3B. y=2(x−2)2+3
C. y=2(x−2)2−3D. y=2(x+2)2−3
8.由二次函数y=2(x−3)2+1可知( )
A. 其图象的开口向下B. 其图象的对称轴为x=−3
C. 其最大值为1D. 当x<3时，y随x的增大而减小
9.已知点A(1,y1)，B(2,y2)，C(−3,y3)都在二次函数y=−2x2+4的图象上，则( )
A. y2>y3>y1B. y1>y2>y3C. y3>y2>y1D. y1>y3>y2
10.如图，y=ax2的图象上可以看出，当−1≤x≤2时，y的取值范围是( )
A. 1≤x≤4
B. 0C. 0≤x≤4
D. 111.在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+b的大致图象为( )
A. B. C. D.
12.若二次函数y=(x−m)2+2，在x<1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围( )
A. m=1B. m>1C. m≥1D. m≤1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.把一元二次方程(x+1)2=2化为一般形式为______．
14.已知x2+3x−1=0的两个根为x1、x2，则x1+x2−x1x2的值为______．
15.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为______．
16.已知二次函数y=2(x−1)2+1，当x<1时，y随x的增大而______；当x>1时，y随x的增大而______；当x=1时，y有最小值等于______．
17.已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是______.(请用“>”连接排序)
18.对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=a2−ab，例如：4*2=42−4×2=8.若x1，x2是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，则x1*x2= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共11分。
19.某商店经销一批季节性家电，每台成本40元，经市场预测，定价为52元时，可销售180台，定价每增加1元，销售量将减少10台．
(1)如果每台家电定价增加2元，则商店每天可销售的台数是多少？
(2)商店销售该家电获利2240元，同时让顾客更实惠，那么每台家电定价应为多少元？
四、解答题：本题共5小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
用适当的方法解方程：
(1)x2−x−1=0；
(2)3y(y−2)=2(y−2)．
21.(本小题11分)
k为何值时，关于x的二次方程kx2−6x+9=0．
(1)有两个不等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)无实数根？
22.(本小题11分)
已知抛物线y=−(x−2)2+1．
(1)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；
(2)判断点(3,−2)是否在此抛物线上；
(3)求出此抛物线上纵坐标为−3的点的坐标．
23.(本小题11分)
如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长19m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆30m．
(1)若花圃的面积为100m2，求花圃一边AB的长；
(2)花圃的面积能达到120m2吗？说明理由．
24.(本小题12分)
如图，已知抛物线y=−(x+1)2+4与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
(1)求点A、点B、点C的坐标．
(2)设抛物线的顶点为M，判断△ACM的形状．
(3)在抛物线是否存在一点P，使△PAB面积为8，若存在，直接写出总P的坐标；不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、ax2+bx+c=0当a=0时，不是一元二次方程，故A错误；
B、1x2+1x=2不是整式方程，故B错误；
C、x2+2x=x2−1是一元一次方程，故C错误；
D、3(x+1)2=2(x+1)是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2.【答案】A
【解析】解：∵x=2是一元二次方程x2+x+m=0的一个解，
∴将x=2代入方程得：22+2+m=0，
解得：m=−6，
故选：A．
由x=2是一元二次方程x2+x+m=0的一个解，将x=2代入方程得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3.【答案】A
【解析】解：方程x2−8x−1=0，
整理得：x2−8x=1，
配方得：x2−8x+16=17，即(x−4)2=17．
故选：A．
方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵一元二次方程kx2−4x+3=0有实数根，
∴k≠0且Δ≥0，
即16−12k≥0，
解得k≤43，
故k≤43且k≠0．
故选：C．
根据一元二次方程kx2−4x+3=0有实数根，列出不等式，即可解得k的范围．
本题考查一元二次方程的概念及根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有实数根的条件Δ≥0．
5.【答案】C
【解析】【分析】
利用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
此题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
【解答】
解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2017年蔬菜产量为80吨，则2018年蔬菜产量为80(1+x)吨，2019年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，
即：80(1+x)(1+x)=100或80(1+x)2=100．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意得：
m2+1=2，且m−1≠0，
解得：m=−1．
故选：B．
直接利用二次函数的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题的关键．要注意：二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)也叫做二次函数的一般形式．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，
再向右平移2个单位长度，
得到的抛物线的解析式为y=2(x−2)2+3，
故选：B．
8.【答案】D
【解析】解：
∵y=2(x−3)2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为(3,1)，
∴函数有最小值1，当x<3时，y随x的增大而减小，
故选：D．
根据二次函数的解析式进行逐项判断即可．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为(h,k)．
9.【答案】B
【解析】解：二次函数y=−2x2+4，
∴抛物线开口向下，对称轴是y轴，当x>0时，y随x的增大而减小，
∵点A(1,y1)，B(2,y2)，C(−3,y3)都在二次函数y=−2x2+4的图象上，
∴点C(−3,y3)关于对称轴的对称点是(3,y3)，
∵1<2<3，
∴y1>y2>y3，
故选：B．
先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由图象可知x=−1时，y=1，
当x=2时，y=4，
而抛物线的对称轴为x=0时，y=0，
∴0≤y≤4
故选：C．
根据函数图形得出x=−1和x=2时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可．
此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包括对称轴x=0，要特别注意．
11.【答案】B
【解析】解：A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向上，故A错误；
B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a<0，b>0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B正确；
C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a<0，b<0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，故C错误；
D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a<0，b>0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，故D错误；
故选：B．
可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
12.【答案】C
【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=m，
∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，
∴当x而x<1时，y的值随x值的增大而减小，
∴m≥1，
故选：C．
先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x=m，则当x本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
13.【答案】x2+2x−1=0
【解析】解：(x+1)2=2，
x2+2x+1=2，
x2+2x−1=0，
故答案为：x2+2x−1=0．
根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．
14.【答案】−2
【解析】解：∵x1，x2是方程x2+3x−1=0的两个实数根，
∴x1+x2=−3，x1x2=−1，
∴x1+x2−x1x2=−3−(−1)=−2．
故答案为：−2．
利用根与系数的关系，可得出x1+x2=−3，x1x2=−1，将其代入x1+x2−x1x2中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
15.【答案】12x(x−1)=36
【解析】解：设比赛组织者应邀请x队参赛，
则由题意可列方程为：12x(x−1)=36．
故答案为：12x(x−1)=36．
设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加(x−1)场比赛，则共有12x(x−1)场比赛，可以列出一个一元二次方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
16.【答案】减小 增大 1
【解析】解：∵二次函数y=2(x−1)2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大；当x=1时，y有最小值等于1．
故答案为：减小，增大，1．
利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，即可得到答案．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握抛物线的开口方向、对称轴、抛物线增减性及函数的最值等知识．
17.【答案】a1>a2>a3>a4
【解析】解：如图所示：①y=a1x2的开口小于②y=a2x2的开口，则a1>a2>0，
③y=a3x2的开口大于④y=a4x2的开口，开口向下，则a4故a1>a2>a3>a4．
故答案为；a1>a2>a3>a4
直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
18.【答案】−2或3
【解析】解：∵x2−5x+6=0，即(x−2)(x−3)=0，
∴x−2=0或x−3=0，
所以x1=2，x2=3或x1=3，x2=2，
∴x1*x2=2*3=22−2×3=−2或x1*x2=3*2=32−3×2=3，
故答案为：−2或3．
因式分解得：(x−2)(x−3)=0，进而求得x1=2，x2=3或x1=3，x2=2，接下来结合新定义求解即可．
本题考查了新定义题型和因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法和理解新定义的运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)180−2×10=160(台)，
答：如果每台家电定价增加2元，则商店每天可销售160台;
(2)设每台定价增加x元(x≥0)，
根据题意得(52−40+x)(180−10x)=2240，
整理得x2−6x+8=0，
解得x1=2，x2=4，
∵要让顾客更实惠，
∴x=2，即每台家电定价应为54元．
答：商店销售该家电获利2240元，那么每台家电定价应为54元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用．
(1)根据定价每增加1元，销售量将减少10台，即可算出结论；
(2)设每台定价增加x元(x≥0)，根据利润=单台利润×销售数量即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
20.【答案】解：(1)x2−x−1=0；
Δ=(−1)2−4×1×(−1)=5，
∴x=1± 52，
所以x1=1+ 52，x2=1− 52；
(2)3y(y−2)=2(y−2)，
3y(y−2)−2(y−2)=0，
(y−2)(3y−2)=0，
y−2=0或3y−2=0，
所以y1=2，y2=23．
【解析】(1)利用公式法解方程；
(2)先移项得到3y(y−2)−2(y−2)=0，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−公式法、因式分解法，掌握求根公式和因式分解的方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)根据题意得k≠0且Δ=(−6)2−4k⋅9>0，
解得k<1且k≠0；
(2)根据题意得k≠0且Δ=(−6)2−4k⋅9=0，
解得k=1；
(3)根据题意得k≠0且Δ=(−6)2−4k⋅9<0，
解得k>1．
【解析】(1)根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=(−6)2−4k⋅9>0，然后解不等式可得到k的取值范围；
(2)根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=(−6)2−4k⋅9=0，然后解不等式和方程可得到k的取值；
(3)根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=(−6)2−4k⋅9<0，然后解不等式可得到k的取值范围．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
22.【答案】解：(1)∵y=−(x−2)2+1，
∴a=−1<0，
∴二次函数图象的开口方向向下，顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线x=2．
(2)把x=3代入y=−(x−2)2+1，得：
y=−(3−2)2+1=0，
∴点(3,−2)不在此抛物线上；
(3)把y=−3代入y=−(x−2)2+1，得：
−3=−(x−2)2+1，
解得：x1=4，x2=0，
∴抛物线上纵坐标为−3的点的坐标(4,−3)或(0,−3)．
【解析】(1)根据解析式是顶点式直接写出开口方向、顶点坐标、对称轴即可．
(2)把点(3,−2)代入解析式，即可判断；
(3)把y=−3代入解析式，即可求解．
本题考查二次函数的图象性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数的图象性质，函数解析式与图象上的点之间的关系：点在图象上，则点的坐标满足函数解析式；反之，不在函数图象上则点的坐标不满足函数解析式．
23.【答案】解：(1)设AB的长为x米，
由题意可得：x(30−2x)=100，
解得：x1=5，x2=10，
∵30−2x≤19，
∴x=5，
答：AB的长为5米；
(2)花圃的面积不能达到120m2.理由如下：
设AB的长为y米，
由题意可得：y(30−2y)=120，
∴Δ=225−240=−15<0，
∴方程无解，
∴花圃的面积不能达到120m2．
【解析】(1)设AB的长为x米，由花圃的面积为100m2，列出方程可求解；
(2)设AB的长为y米，由花圃的面积为120m2，列出方程可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
24.【答案】解：(1)抛物线y=−(x+1)2+4与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
∵y=−(x+1)2+4=−x2−2x+3，
令x=0，则y=3，
∴C(0,3)，
令y=0，
则−(x+1)2+4=0，
解得x1=1，x2=−3，
∴A(−3,0)，B(1,0)；
(2)∵抛物线的顶点为M(−1,4)，
如图，连接AC，MC，AM，

∵A(−3,0)，B(1,0)，C(0,3)，
∴OA=OC=3，OB=1，
∴AC2=2OA2=18，
∵M(−1,4)，
过点M作MD⊥y轴于点D，
∴MD=1，OD=4，
∴CD=OD−OC=1，
∴MC2=2CD2=2，
∵AM2=22+42=20，
∴AM2=AC2+MC2，
∴△ACM是直角三角形；
(3)抛物线存在一点P(−1,4)，使△PAB面积为8，理由如下：
设P(x,−x2−2x+3)，
∵△PAB面积为8，AB=OA+OB=4，
∴12×4×(−x2−2x+3)=8，
整理得x2+2x+1=0，
解得x1=x2=−1，
∴P(−1,4)．
【解析】(1)根据抛物线y=−(x+1)2+4与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C.解方程即可解决问题；
(2)根据题意可得抛物线的顶点为M(−1,4)，连接AC，MC，AM，根据勾股定理可得AM2=AC2+MC2，再根据勾股定理逆定理即可解决问题；
(3)设P(x,−x2−2x+3)，根据△PAB面积为8，AB=OA+OB=4，列出方程求解即可解决问题．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，坐标与图形的性质，勾股定理逆定理，三角形的面积，一元二次方程，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．