浙教版七年级下册期末复习第4章因式分解好题精选60题（含解析）

这是一份浙教版七年级下册期末复习第4章因式分解好题精选60题（含解析），共51页。试卷主要包含了下列各式属于因式分解的是，已知下列多项式等内容，欢迎下载使用。

1．已知a+b＝1，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（ ）
A．57B．120C．﹣39D．﹣150
2．已知a＝﹣x+2021，b＝﹣x+2022，c＝﹣x+2023，那么，代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（ ）
A．﹣2022B．2022C．﹣3D．3
3．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣9xy2，取x＝10，y＝1时，用上述方法生成的密码可以是（ ）
A．101001B．1307C．1370D．10137
4．下列各式属于因式分解的是（ ）
A．（3x+1）（3x﹣1）＝9x2﹣1
B．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
C．a4﹣1＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）
D．9x2﹣1+3x＝（3x+1）（3x﹣1）+3x
5．已知下列多项式：①x2+y+y2；②﹣x2+2xy﹣y2；③x2+6xy﹣9y2；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．②③④B．①③④C．②④D．①②③
6．已知a＝2020m+2021n+2020，b＝2020m+2021n+2021，c＝2020m+2021n+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（ ）
A．1B．3C．6D．1010
7．已知a2+a﹣3＝0，那么a3+3a2﹣a+4的值是（ ）
A．﹣16B．16C．﹣10D．10
8．在多项式①﹣m4﹣n4，②a2+b2，③﹣16x2+y2，④9（a﹣b）2﹣4，⑤﹣4a2+b2中，能用平方差公式分解因式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如果x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2+2020的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
10．用分组分解法将x2﹣xy+2y﹣2x分解因式，下列分组不恰当的是（ ）
A．（x2﹣2x）+（2y﹣xy）B．（x2﹣xy）+（2y﹣2x）
C．（x2+2y）+（﹣xy﹣2x）D．（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y）
11．若（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，p、q为正整数，则m的最大值与最小值的差为（ ）
A．25B．24C．8D．74
12．下列四种说法中正确的有（ ）
①关于x、y的方程2x+4y＝107存在整数解
②若两个不等实数a、b满足2（a4+b4）＝（a2+b2）2，则a、b互为相反数．
③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，则2b＝a+c．
④若x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy，则x＝y＝z．
A．①④B．②③C．①②④D．②③④
13．若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（ ）
A．1B．5C．﹣1D．﹣5
14．在△ABC中，若三边长a，b，c满足a2+2ab+b2＝c2+24，a+b﹣c＝4，△ABC的周长是（ ）
A．12B．16C．8D．6
15．若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即x＝a2﹣b2（其中a、b、x为正整数），则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是（ ）
A．2022B．2021C．2020D．2019
二．填空题（共20小题）
16．分解因式：2a5﹣8a＝ ．
17．若x2+x﹣3＝0，则x3+2x2﹣2x+5的值为 ．
18．分解因式：（x2+9）2﹣36x2＝ ．
19．已知关于x的多项式ax2+bx+c（a≠0），下列四个结论：
①当x＝1时，ax2+bx+c＝0，则a+b+c＝0；
②若a﹣b+c＝0，则多项式ax2+bx+c有一个因式是x+1；
③若b2﹣4ac＝0，则多项式ax2+bx+c的最小值是0；
④若ax2+bx+c＝a（x﹣m）（x﹣n），则（m+1）（n+1）＝．
其中正确的是 （填写序号）．
20．分解因式：x2+4z2﹣9y2+4xz＝ ．
21．分解因式：（x+2）（x﹣3）（x+4）（x﹣5）+13＝ ．
22．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 ．
23．若m2＝2n+2021，n2＝2m+2021（m≠n），那么式子m3﹣4mn+n3值为 ．
24．如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（a＞b）．观察图形，发现多项式a2+3ab+2b2可因式分解为 ．
25．已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy﹣4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝ ．
26．如果实数a，b满足a﹣b＝ab的形式，那么a和b就是“智慧数”，用（a，b）表示．如：由于，所以是“智慧数”，现给出以下结论：①和﹣1是“智慧数”；②如果（3，☆）是“智慧数”，那么“☆”的值为；③如果（x，y）是“智慧数”，则y与x之间的关系式为；④如果（x，y）是“智慧数”，当x＞0时，y随x的增大而增大，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
27．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称这个正整数为智慧数．如，52﹣32＝16，则16是一个智慧数，5和3称为16的一对智慧分解数．则2019的智慧分解数有 ．
28．已知x2﹣2x﹣1＝0，则x4﹣x3﹣3x2﹣x+2022＝ ．
29．如果3个数位相同的自然数m，n，k满足：m+n＝k，且k各数位上的数字全部相同，则称数m和数n是一对“黄金搭档数”．例如：因为25，63，88都是两位数，且25+63＝88，则25和63是一对“黄金搭档数”．再如：因为152，514，666都是三位数，且152+514＝666，则152和514是一对“黄金搭档数”．
（1）87的“黄金搭档数”是 ；
（2）已知两位数s和两位数t的十位数字相同，若s和t是一对“黄金搭档数”，并且s与t的和能被7整除，则s的值 ．
30．计算：12﹣22﹣32+42+52﹣62﹣72+82+…+20132﹣20142﹣20152+20162＝ ．
31．阅读以下材料，并解决相应问题．
材料一：对于个位数字非零的任意三位数M，将个位数字与百位数字对调得到M′，则称M′为M的“倒序数”，F（M）表示一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商，如：325的“倒序数”为523，F（325）＝＝2；
材料二：任意三位数满足：c＞a且a+c＝3b，称这个数为“登高数”．如：138为“登高数”，若M为“登高数”，且F（M）＝3，则M的最大值为 ．
32．x是正整数，代数式x5+3x4﹣5x3﹣15x2+4x+12的值可能等于 ．（在66，8510，15120，21600四个数中选）
33．王聪同学动手剪了若干张如图所示的正方形与长方形纸片．
（1）拼成如图所示的正方形，根据四个小纸片的面积和等于大纸片（正方形）的面积，有a2+2ab+b2＝（a+b）2，验证了完全平方公式（分解因式）；
（2）拼成如图所示的矩形，由面积可得a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），多项式a2+3ab+2b2分解因式的结果是表示矩形长、宽两个整式（a+2b）与（a+b）的积．
问题：
①动手操作一番，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2＝ ．
②猜想面积为2a2+5ab+2b2的矩形的长、宽可能分别为 ．
34．计算：＝
35．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）
（1）如图①所示的几何体的体积是 ．
（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式 ．
三．解答题（共25小题）
36．因式分解：
（1）x2﹣4；
（2）2mx2﹣4mx+2m；
（3）（y2﹣1）2﹣6（y2﹣1）+9．
37．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）
②拆项法：
例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①用分组分解法4x2+4x﹣y2+1；
②用拆项法x4﹣3x2+1；
（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+5b2+c2﹣4ab﹣6b﹣10c+34＝0，求△ABC的周长．
38．分解因式：
（1）2xy2﹣12xy+18x；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．
39．我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
求代数式2x2+4x﹣6的最小值；2x2+4x﹣6＝2（x2+2x）﹣6＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ ；
（2）求代数式﹣a2+8a+1的最大值；
（3）将一根长为24cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后做成两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．
40．先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值．
解：m2+2mn+2n2﹣6n+13＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）+4＝（m+n）2+（n﹣3）2+4，
∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0
∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4．
（1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是 ；
（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足 a2+b2＝16a+8b﹣80，求第三边c的取值范围；
（3）求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣8y+14 的最大值．
41．阅读理解并解答：
（1）我们把多项式a2+2ab+b2和 a2﹣2ab+b2 叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断一个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式值的最大（最小）值问题：
例如：①x2+2x+5＝（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4．
∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+4≥4．
则代数式x2+2x+5的最小值为 ，此时，相应的x的值为 ．
②3x2﹣12x+3＝3（x2﹣4x）+3＝3（x2﹣4x+4﹣4）+3．
＝3（x2﹣4x+4）﹣12+3＝3（x﹣2）2﹣9．
∵（x﹣2）2≥0，∴3（x﹣2）2﹣9≥﹣9．
∴代数式3x2﹣12x+3的最小值为 ，此时，相应的x的值为 ．
（2）仿照上述方法，代数式﹣x2﹣6x+6 有最 （“大”或“小”）值，并求相应的代数式﹣x2﹣6x+6的最值．
42．如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，故4，12，20 都是神秘数．
（1）写出一个除4，12，20之外的“神秘数”： ；
（2）设两个连续偶数为2k和2k+2（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗？为什么？
（3）两个相邻的“神秘数”之差是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．
43．阅读材料：
在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2﹣B2的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：x4+4．
解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
即原式＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．
分解因式：（1）4x4+1；
（2）x4+x2+1．
44．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：
（1）写出图②中所表示的数学等式 ；
（2）猜测（a+b+c+d）2＝ ．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；
（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．
45．分解因式：
（1）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2；
（2）4a2﹣b2﹣4a+1．
46．因式分解：
（1）ax2+2a2x+a3；
（2）（a+1）（a﹣1）﹣8．
47．【阅读理解】一般地，如果正整数a，b，c满足a2+b2＝c2，那么a，b，c称为一组“商高数”．
【问题解决】：
（1）下列数组：①7，3，4；②3，4，6；③5，12，13，其中是“商高数”的有 （直接填序号）；
（2）“商高数”有很多的构造方法．求证：如果m，n为任意正整数，且m＞n，那么m2+n2，m2﹣n2，2mn一定是“商高数”；
（3）：
①若按（2）中的方法构造出的一组“商高数”中最大的数与最小的数的差为32，求n的值；
②若按（2）中的方法构造出的一组“商高数”中最大数是2p2+10p+13（p是任意正整数），则这组“商高数”中的最小数为 （用含p的代数式表示）．
48．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式：x2﹣12x+2020的最小值．
解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020＝（x﹣6）2+1984
∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，原式最小值为1984．
例如：分解因式：x2﹣120x+3456
解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456
＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60）2﹣122
＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）
（1）分解因式：x2+6x﹣7＝ ；
（2）利用配方法求代数式﹣x2+10x+33的最大值；
（3）试说明：m、n取任何实数时，代数式9m2+8n2+12mn﹣24n+45的值总大于8．
49．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）请说明28是否为“神秘数”；
（2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由．
①嘉嘉发现：两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．
②洪淇发现：2024是“神秘数”．
50．分解因式：
（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2；
（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24．
51．（1）因式分解：x2（x﹣3）+y2（3﹣x）；
（2）已知x+y＝3，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值．
52．阅读下面的材料．
材料一：当ab＝0时，a＝0，或b＝0．
材料二：把等式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab的左右两边交换位置后，得到x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
所以在解方程x2+3x+2＝0时，可以把方程变形为（x+1）（x+2）＝0，所以x+1＝0，或x+2＝0．所以x1＝﹣1，x2＝﹣2．
根据以上材料回答下列问题：
（1）因式分解：x2+7x﹣18＝ ；
（2）解方程：x2﹣5x+4＝0；
（3）若x2﹣xy﹣12y2＝0，则x与y的关系式是 ．
53．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）若a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc＝ ．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．
54．数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：
（1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示）；
（2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；
（3）用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个长方形，使其面积为a2+4ab+3b2，画出你的拼法，并根据画的图形分解因式：a2+4ab+3b2．
55．学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“积数”
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与个位数字之积恰好能被十位数字整除，则称这个自然数为“积数”，例如：124是“积数”，因为1，2，4都不为0，且1×4＝4，4能被2整除；643不是“积数”，因为6×3＝18，18不能被4整除．
（1）判断951，396是否是“积数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比个位数字大6的所有“积数”，并说明理由．
56．在“整式乘法与因式分解”一章的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性，根据课堂学习的经验，解决下列问题：
（1）如图1，有若干张A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片（其中a＜b），若取2张A类卡片、3张B类卡片、1张C类卡片拼成如图2的长方形，借助图形，将多项式2a2+3ab+b2分解因式：2a2+3ab+b2＝ ．
（2）若现有3张A类卡片，6张B类卡片，10张C类卡片，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），则拼成的正方形的边长最大是 ．
（3）若取1张C类卡片和4张A类卡片按图3、4两种方式摆放，求图4中，大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积 （用含m、n的代数式表示）．
57．阅读：因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2；当因式x﹣2＝0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解：
（1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x＝ ，A＝0；
（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x﹣2，面积为x2+kx﹣14，求k的值；
（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x﹣1），体积为4x3+ax2﹣7x+b，试求a，b的值．
58．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，从整体来看是一个面积，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： ；
（2）利用（1）中所得等式，若a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，则a2+b2+c2＝ ；
（3）如图3，将边长分别为a和b的两个正方形拼在一起，B、C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．
59．分解因式
（1）4a3﹣9a；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2；
（3）2x2﹣2x﹣12．
60．定义：对任意一个两位数m，如果m满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（m）．例如：m＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）下列两位数30，52，77中，“互异数”为 ；f（24）＝ ．
（2）若“互异数”b满足f（b）＝5，求出所有“互异数”b的值；
（3）如果m，n都是“互异数”，且m+n＝100，求f（m）+f（n）的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．已知a+b＝1，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（ ）
A．57B．120C．﹣39D．﹣150
【分析】先根据条件求出（a﹣b）2的值，再把所求整式因式分解，然后代入计算即可．
【解答】解：∵a+b＝1，ab＝﹣6，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝1+24＝25，
∴a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2
＝﹣6×25
＝﹣150，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整体代入求值是解题的关键．
2．已知a＝﹣x+2021，b＝﹣x+2022，c＝﹣x+2023，那么，代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（ ）
A．﹣2022B．2022C．﹣3D．3
【分析】先把代数式进行因式分解，再代入求值．
【解答】解：∴a＝﹣x+2021，b＝﹣x+2022，c＝﹣x+2023，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]
＝×（1+1+4）
＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解题的关键．
3．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣9xy2，取x＝10，y＝1时，用上述方法生成的密码可以是（ ）
A．101001B．1307C．1370D．10137
【分析】首先对多项式提公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算，即可确定出密码．
【解答】解：x3﹣9xy2＝x（x2﹣9y2）＝x（x+3y）（x﹣3y），
当x＝10，y＝1时，x＝10，x+3y＝10+3＝13，x﹣3y＝10﹣3＝7，
∴上述方法生成的密码可以是10137．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的应用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，属于阅读型的新定义题，其中根据阅读材料得出产生密码的方法是解本题的关键．
4．下列各式属于因式分解的是（ ）
A．（3x+1）（3x﹣1）＝9x2﹣1
B．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
C．a4﹣1＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）
D．9x2﹣1+3x＝（3x+1）（3x﹣1）+3x
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B、不符合完全平方公式的特点，不能运用完全平方公式进行分解，错误；
C、两次运用平方差公式，正确；
D、不是积的形式，错误；
故选：C．
【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
5．已知下列多项式：①x2+y+y2；②﹣x2+2xy﹣y2；③x2+6xy﹣9y2；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．②③④B．①③④C．②④D．①②③
【分析】根据完全平方公式的结构a2±2ab+b2＝（a±b）2，逐个分析判断即可求解．
【解答】解：①x2+y+y2不能用完全平方公式进行因式分解，故本选项错误；
②﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，能用完全平方公式进行因式分解，故本选项正确；
③x2+6xy﹣9y2不能用完全平方公式进行因式分解，故本选项错误；
④，能用完全平方公式进行因式分解，故本选项正确；
因此能用完全平方公式进行因式分解的有②④．
故选：C．
【点评】本题考查用完全平方公式进行因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．
6．已知a＝2020m+2021n+2020，b＝2020m+2021n+2021，c＝2020m+2021n+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（ ）
A．1B．3C．6D．1010
【分析】设x＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，先求2x的值，再求x的值．
【解答】解：设x＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，
则2x＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca
＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2
＝1+1+4
＝6，
∴x＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的分解因式是解题的关键．
7．已知a2+a﹣3＝0，那么a3+3a2﹣a+4的值是（ ）
A．﹣16B．16C．﹣10D．10
【分析】先把条件变式，再把所求代数式变式代入求解．
【解答】解：∵a2+a﹣3＝0，
∴a2+a＝3，
∴a3+3a2﹣a+4
＝a（a2+a）+2a2﹣a+4
＝3a+2a2﹣a+4
＝2a2+2a+4
＝2（a2+a）+4
＝6+4
＝10，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整体代入法是解题的关键．
8．在多项式①﹣m4﹣n4，②a2+b2，③﹣16x2+y2，④9（a﹣b）2﹣4，⑤﹣4a2+b2中，能用平方差公式分解因式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】变形整式，看是不是符合平方差公式的结构特点得结论．
【解答】解：③﹣16x2+y2＝y2﹣（4x）2，
④9（a﹣b）2﹣4＝[3（a﹣b）]2﹣22，
⑤﹣4a2+b2＝b2﹣（2a）2，
它们符合平方差公式的结构特点，能用平方差差公式因式分解；
①﹣m4﹣n4＝﹣（m4+n4），
②a2+b2都是平方和的形式，不能用平方差公式因式分解．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握平方差公式的结构特点是解决本题的关键．
9．如果x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2+2020的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【分析】由已知条件得到x2+x＝1；所以将所求的代数式变形为：x（x2+x）+x2+2020，然后将其整体代入求值即可．
【解答】解：∵x2+x﹣1＝0，
∴x2+x＝1，
∴x3+2x2+2020
＝x3+x2+x2+2020
＝x（x2+x）+x2+2020
＝x+x2+2020
＝1+2020
＝2021．
即：x3+2x2+2020＝2021．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用．有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．
10．用分组分解法将x2﹣xy+2y﹣2x分解因式，下列分组不恰当的是（ ）
A．（x2﹣2x）+（2y﹣xy）B．（x2﹣xy）+（2y﹣2x）
C．（x2+2y）+（﹣xy﹣2x）D．（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y）
【分析】根据分组分解法解决本题．
【解答】解：A．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣2x）+（2y﹣xy）＝x（x﹣2）﹣y（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣y），那么A分组正确，故A不符合题意．
B．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣xy）+（2y﹣2x）＝（x2﹣xy）﹣（2x﹣2y）＝x（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣2），那么B分组正确，故B不符合题意．
C．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2+2y）+（﹣xy﹣2x）无法进行分组分解，那么C分组错误，故C符合题意．
D．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y）＝x（x﹣2）﹣y（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣y），那么D分组正确，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解决本题的关键．
11．若（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，p、q为正整数，则m的最大值与最小值的差为（ ）
A．25B．24C．8D．74
【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．
【解答】解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，
∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，
∴p+q＝m，pq＝36，
∵36＝4×9，则p+q＝13，
36＝1×36，则p+q＝37，
36＝2×18，则p+q＝20，
36＝3×12，则p+q＝15，
36＝6×6，则p+q＝12，
∴m的最大值为37，最小值为12．
其差为25，
故选：A．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是理解清楚题意，求得m与p+q，pq的关系．
12．下列四种说法中正确的有（ ）
①关于x、y的方程2x+4y＝107存在整数解
②若两个不等实数a、b满足2（a4+b4）＝（a2+b2）2，则a、b互为相反数．
③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，则2b＝a+c．
④若x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy，则x＝y＝z．
A．①④B．②③C．①②④D．②③④
【分析】先把每一个式子进行分式分解，再逐一进行判断．
【解答】解：因为2，4都是偶数，而偶数的倍数也是偶数，两个偶数的和也是偶数，故①是错误的；
由2（a4+b4）＝（a2+b2）2得：（a+b）2（a﹣b）2＝0，所以：a+b＝0或a﹣b＝0，又因为a≠b，故②是正确的；
因为（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝（a+c﹣2b）2＝0，所以2b＝a+c，故③是正确的；
由x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy得x＝y＝z或x+y+z＝0，故④是错误的；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13．若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（ ）
A．1B．5C．﹣1D．﹣5
【分析】先分解，再对比求出a．
【解答】解：∵多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．
∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．
∴a＝1．
故选A．
【点评】本题考查因式分解的应用，根据条件确定另一个因式是求解本题的关键．
14．在△ABC中，若三边长a，b，c满足a2+2ab+b2＝c2+24，a+b﹣c＝4，△ABC的周长是（ ）
A．12B．16C．8D．6
【分析】先因式分解已知等式，找到a，b，c的关系，再求周长．
【解答】解：∵a2+2ab+b2＝c2+24，
∴（a+b）2﹣c2＝24．
∴（a+b+c）（a+b﹣c）＝24．
∵a+b﹣c＝4．
∴a+b+c＝24÷4＝6．
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的应用，将已知等式移项后因式分解是求解本题的关键．
15．若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即x＝a2﹣b2（其中a、b、x为正整数），则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是（ ）
A．2022B．2021C．2020D．2019
【分析】设k是正整数，证明除1以外，所有的奇数都是完美数；除4以外，所有能被4整除的偶数都是完美数，即可得出答案．
【解答】解：设k是正整数，
∴（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，
∴除1以外，所有的奇数都是完美数，
∴B，D选项都是完美数，不符合题意；
∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，
∴除4以外，所有能被4整除的偶数都是完美数，
∴C选项是完美数，不符合题意，
∵2022既不是奇数也不能被4整除，
∴2022不是完美数，符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解的应用，牢记a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
二．填空题（共20小题）
16．分解因式：2a5﹣8a＝ 2a（a2+2）（a+）（a﹣） ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解．
【解答】解：2a5﹣8a
＝2a（a4﹣4）
＝2a（a2+2）（a2﹣2）
＝2a（a2+2）（a+）（a﹣）．
故答案为：2a（a2+2）（a+）（a﹣）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键．注意分解要彻底．
17．若x2+x﹣3＝0，则x3+2x2﹣2x+5的值为 8 ．
【分析】把x2+x当整体代入求值，通过两次代入解题．
【解答】解：由x2+x﹣3＝0，得x2+x＝3，
x3+2x2﹣2x+5
＝x3+x2+x2﹣2x+5
＝x（x2+x）+x2﹣2x+5
∵x2+x＝3，
∴原式＝3x+x2﹣2x+5
＝x2+x+5
＝3+5
＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查分解因式的应用，同时也要熟练运用整体代入的方法，快速分析出所需代入的整体是解题的关键．
18．分解因式：（x2+9）2﹣36x2＝ （x+3）2（x﹣3）2 ．
【分析】先将36x2化为（6x）2，再利用平方差公式，最后利用完全平方公式．
【解答】解：原式＝（x2+9）2﹣（6x）2
＝（x2+9+6x）（x2+9﹣6x）
＝（x+3）2（x﹣3）2．
故答案为：（x+3）2（x﹣3）2．
【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握整式的平方差公式、完全平方公式是解决本题的关键．
19．已知关于x的多项式ax2+bx+c（a≠0），下列四个结论：
①当x＝1时，ax2+bx+c＝0，则a+b+c＝0；
②若a﹣b+c＝0，则多项式ax2+bx+c有一个因式是x+1；
③若b2﹣4ac＝0，则多项式ax2+bx+c的最小值是0；
④若ax2+bx+c＝a（x﹣m）（x﹣n），则（m+1）（n+1）＝．
其中正确的是 ①②④ （填写序号）．
【分析】①将x＝1代入ax2+bx+c＝0，即可判断；②当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝0，即可判断；③，根据平方的非负性，即可判断；④当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a（﹣1﹣m）（﹣1﹣n）＝a（m+1）（n+1）；x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a﹣b+c，则a（m+1）（n+1）＝a﹣b+c，即可判断．
【解答】解：①将x＝1代入ax2+bx+c＝0，得a+b+c＝0，所以①正确；
②若a﹣b+c＝0，则当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝0，则多项式ax2+bx+c有一个因式是x+1；所以②正确，
③，
∵b2﹣4ac＝0∴，
∵，
∴a＞0时，，
a＜0时，，
∴若b2﹣4ac＝0，则多项式ax2+bx+c的最值是0，
所以③错误；
④∵ax2+bx+c＝a（x﹣m）（x﹣n），
∴当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a（﹣1﹣m）（﹣1﹣n）＝a（m+1）（n+1），
当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a﹣b+c，
∴a（m+1）（n+1）＝a﹣b+c，
∴，
所以④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查多项式求值、平方的非负性，因式分解的应用，解题的关键是明确．
20．分解因式：x2+4z2﹣9y2+4xz＝ （x+2z+3y）（x+2z﹣3y） ．
【分析】先利用完全平方公式，再利用平方差公式．
【解答】解：x2+4z2﹣9y2+4xz
＝x2+4z2+4xz﹣9y2
＝（x+2z）2﹣9y2
＝（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．
故答案为：（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．
【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键．
21．分解因式：（x+2）（x﹣3）（x+4）（x﹣5）+13＝ （x2﹣x﹣19）（x2﹣x﹣7） ．
【分析】利用因式分解﹣十字相乘法，进行计算即可解答．
【解答】解：（x+2）（x﹣3）（x+4）（x﹣5）+13
＝（x2﹣x﹣6）（x2﹣x﹣20）+13，
＝（x2﹣x）2﹣26（x2﹣x）+120+13
＝（x2﹣x）2﹣26（x2﹣x）+133
＝（x2﹣x﹣19）（x2﹣x﹣7），
故答案为：（x2﹣x﹣19）（x2﹣x﹣7）．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 （2a+b）（2b+a） ．
【分析】根据题意，可得到大长方形的面积为：（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2，所以整式2a2+5ab+2b2分解因式也就写出来了．
【解答】解：由题意可知，大长方形的长、宽分别为（2a+b）厘米、（2b+a）厘米，
∴大长方形的面积为：（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2，
∴代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为：（2a+b）（2b+a），
故答案为：（2a+b）（2b+a），
【点评】本题考查了因式分解的应用，列代数式，解题的关键是掌握因式分解．
23．若m2＝2n+2021，n2＝2m+2021（m≠n），那么式子m3﹣4mn+n3值为 ﹣4042 ．
【分析】由已知条件求得m+n＝﹣1，m2﹣2n＝2022，n2﹣2m＝2022，再将原式化成m（m2﹣2n）+n（n2﹣2m），连接两次代值计算便可得出答案．
【解答】解：∵m2＝2n+2021，n2＝2m+2021，
∴m2﹣n2＝2（n﹣m），
∴（m+n）（m﹣n）＝2（n﹣m），
∵m≠n，
∴m+n＝﹣2，
∵m2＝2n+2021，n2＝2m+2021，
∴m2﹣2n＝2021，n2﹣2m＝2021，
∴原式＝m3﹣2mn﹣2mn+n3
＝m（m2﹣2n）+n（n2﹣2m）
＝2021m+2021n
＝2021（m+n）
＝2021×（﹣2）
＝﹣4042．
故答案为：﹣4042．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值计算，因式分解的应用，关键是正确转化已知与未知式子，使其紧密联系起来，从而找到解决问题的途径．
24．如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（a＞b）．观察图形，发现多项式a2+3ab+2b2可因式分解为 （a+b）（a+2b） ．
【分析】图形中大长方形的面积有两种求法，三个正方形的面积加上三个长方形的面积之和得到；也可以由长为 a+2b，宽为a+b的长方形面积得到，两者相等即可得到多项式a2+3ab+2b2分解因式的结果．
【解答】解：根据图形得到长方形的面积为：a2+ab+ab+ab+b2+b2＝a2+3ab+2b2，
也可以为（a+b）（a+2b），
则根据此图，多项式a2+3ab+2b2分解因式的结果为（a+b）（a+2b），
故答案为：（a+b）（a+2b）．
【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清图形中的关系是解本题的关键．
25．已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy﹣4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝ ．
【分析】本题先将u转化为2x2﹣4，把已知方程x2﹣xy+4y2＝4，化成关于y的一元二次方程的形式，由一元二次方程有实数解，根据一元二次方程根的判断式与解的情况列出x的不等式，求得x2的取值范围，从而得到M，m的大小即可得解．
【解答】解：∵x2﹣xy+4y2＝4，
∴x2﹣4＝xy﹣4y2，
∴u＝x2+xy﹣4y2＝2x2﹣4，
∵已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，
∴关于y的方程4y2﹣xy+（x2﹣4）＝0有实数解，
∴Δ＝x2﹣16（x2﹣4）≥0，
∴，
∴x2的最大值为，
∴u＝2x2﹣4的最大值为：2×﹣4＝，即M＝，
当x＝0时，u＝2x2﹣4的最小值为：﹣4，即m＝﹣4，
∴M+m＝．
【点评】本题考查了代数式的最值问题，一元二次方程根的判别式的应用，关键是将u转化为2x2﹣4，再确定x2的取值范围．
26．如果实数a，b满足a﹣b＝ab的形式，那么a和b就是“智慧数”，用（a，b）表示．如：由于，所以是“智慧数”，现给出以下结论：①和﹣1是“智慧数”；②如果（3，☆）是“智慧数”，那么“☆”的值为；③如果（x，y）是“智慧数”，则y与x之间的关系式为；④如果（x，y）是“智慧数”，当x＞0时，y随x的增大而增大，其中正确的是 ①②③④ ．（写出所有正确结论的序号）
【分析】根据“智慧数”的定义依次判断即可．
【解答】解：∵﹣﹣（﹣1）＝﹣×（﹣1）＝，
∴（﹣，﹣1）是“智慧数”．
∴①正确．
∵（3，☆）是“智慧数”，
∴3﹣☆＝3×☆，
∴4×☆＝3，
∴☆＝，
∴②正确．
∵（x，y）是“智慧数”，
∴x﹣y＝xy，
∴（x+1）y＝x，
∴y＝，
∴③正确．
∵（x，y）是“智慧数”，
∴y＝＝＝1﹣，
当x＞0时，随x的增大而减小，y＝1﹣随x的增大而增大，
∴④正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查新定义的应用，理解新定义是求解本题的关键．
27．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称这个正整数为智慧数．如，52﹣32＝16，则16是一个智慧数，5和3称为16的一对智慧分解数．则2019的智慧分解数有 338和335，1010和1009 ．
【分析】设未知数建立方程求解．
【解答】解：设2019＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
其中a，b是正整数，且a＞b．
∵2019＝673×3＝2019×1，
∴或．
∴或．
∴2019的智慧分解数有338和335及1010和1009．
故答案为：338和335及1010和1009．
【点评】本题考查因式分解的应用，根据智慧分解数定义确定a，b是求解本题的关键．
28．已知x2﹣2x﹣1＝0，则x4﹣x3﹣3x2﹣x+2022＝ 2022 ．
【分析】把原式变形，变出x2﹣2x的形式即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴x4﹣x3﹣3x2﹣x+2022
＝x4﹣2x3+x3﹣2x2﹣x2﹣x+2022
＝x2（x2﹣2x）+x（x2﹣2x）﹣x2﹣x+2022
＝x2+x﹣x2﹣x+2022
＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是用因式分解进行恒等变形．
29．如果3个数位相同的自然数m，n，k满足：m+n＝k，且k各数位上的数字全部相同，则称数m和数n是一对“黄金搭档数”．例如：因为25，63，88都是两位数，且25+63＝88，则25和63是一对“黄金搭档数”．再如：因为152，514，666都是三位数，且152+514＝666，则152和514是一对“黄金搭档数”．
（1）87的“黄金搭档数”是 12 ；
（2）已知两位数s和两位数t的十位数字相同，若s和t是一对“黄金搭档数”，并且s与t的和能被7整除，则s的值 38或39 ．
【分析】（1）根据“黄金搭档数”的定义判断即可．
（2）根据“黄金搭档数”的定义得出代数式，再进行分类讨论即可．
【解答】解：（1）∵87+12＝99，87，12，99都是两位数，
∴87和12是一对“黄金搭档数”；
由上可知，87的“黄金搭档数：12．
故答案为：12．
（2）∵s和t的是两位数，s和t是一对“黄金搭档数”，
∴s和t的和也是两位数且各位数上的数字全部相同，
∵s与t的和能被7整除，
∴s和t的和为77，
∵s和t的十位数字相同，77＝38+39，
∴s为38或39．
故答案为：38或39．
【点评】本题考查整式的加减及代数的运用，解题的关键要正确理解题意列出符合条件的式子，从而求解．
30．计算：12﹣22﹣32+42+52﹣62﹣72+82+…+20132﹣20142﹣20152+20162＝ 2016 ．
【分析】将计算式依次分组，每4个数为一组，发现每组都等于4，所以原式一共分为2016÷4＝504组，所以结果为504×4＝2016．
【解答】解：∵12﹣22﹣32+42＝4，52﹣62﹣72+82＝4，…，20132﹣20142﹣20152+20162＝4，
将计算式依次分组，每4个数为一组，
即n2﹣（n+1）2﹣（n+2）2+（n+3）2，
＝﹣（n+1﹣n）（n+1+n）+（n+3+n+2）（n+3﹣n﹣2），
＝﹣2n﹣1+2n+5，
＝4，
∴每组都等于4，
∴12﹣22﹣32+42+52﹣62﹣72+82+…+20132﹣20142﹣20152+20162＝2016，
故答案为：2016．
【点评】本题考查了有理数的计算，利用因式分解或整式的完全平方公式进行简便计算；此类题虽然式子的数很大，但结果一般很简单．
31．阅读以下材料，并解决相应问题．
材料一：对于个位数字非零的任意三位数M，将个位数字与百位数字对调得到M′，则称M′为M的“倒序数”，F（M）表示一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商，如：325的“倒序数”为523，F（325）＝＝2；
材料二：任意三位数满足：c＞a且a+c＝3b，称这个数为“登高数”．如：138为“登高数”，若M为“登高数”，且F（M）＝3，则M的最大值为 659 ．
【分析】通过设M这个三位数为100a+10b+c，则根据材料一，可得M′＝100c+10b+a，再根据F（M）＝3，形成关于a，c的关系式，再根据c＞a，a+c＝3b，及a，b，c都是0～9之内的数，进行分类讨论，最后确定M的最值．
【解答】解：设M这个三位数为100a+10b+c，则M′＝100c+10b+c．且c＞a．
∴F（M）＝＝，
∵F（M）＝3，
∴＝3，
整理得，|a﹣c|＝3，
∵c＞a，
∴c﹣a＝3，即c＝a+3．
∵1≤c≤9，
∴1≤a+3≤9，解得﹣2≤a≤6．
∵1≤a≤9，
∴1≤a≤6
∵a+c＝3b，
∴a＝（b﹣1），
∴1≤（b﹣1）≤6，解得≤b≤5．
∴b取整数，故可取2，3，4，5
又∵b﹣1取偶数，
∴b取奇数，故b只能取3，5．
∴当b＝3时，a＝（3﹣1）＝3，c＝6，此时M＝336；
当b＝5时，a＝（5﹣1）＝6，c＝9，此时M＝659
∵求M的最大值，
∴M最大值是659．
故答案为：659．
【点评】本题考查了新定义、不等式的解法、因式分解的应用，解题的关键理解掌握题目中的新定义，根据新定义得出有关字母的等量关系，再根据字母的取值范围确定字母的值．
32．x是正整数，代数式x5+3x4﹣5x3﹣15x2+4x+12的值可能等于 21600 ．（在66，8510，15120，21600四个数中选）
【分析】利用因式分解把代数式分解因式，再通过因数的个数来判断与四个数字的因数个哪一个相同，即可得出结论．
【解答】解：原式＝x4（x+3）﹣5x2（x+3）+4（x+3）
＝（x+3）（x4﹣5x2+4）
＝（x+3）（x2﹣1）（x2﹣4）
＝（x+3）（x﹣1）（x+1）（x﹣2）（x+2），
x为正整数，
∴（x﹣1）、（x﹣2）为两个连续的正整数，
（x+1）、（x+2）、（x+3）是三个连续的正整数．
66＝2×3×11，
8510＝2×5×23×37，
15120＝5×6×7×8×9，
21600＝5×6×8×9×10，
∴只能是21600，
故答案为：21600．
【点评】本题考查了因式分解的应用，做题关键是掌握因式分解．
33．王聪同学动手剪了若干张如图所示的正方形与长方形纸片．
（1）拼成如图所示的正方形，根据四个小纸片的面积和等于大纸片（正方形）的面积，有a2+2ab+b2＝（a+b）2，验证了完全平方公式（分解因式）；
（2）拼成如图所示的矩形，由面积可得a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），多项式a2+3ab+2b2分解因式的结果是表示矩形长、宽两个整式（a+2b）与（a+b）的积．
问题：
①动手操作一番，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2＝ （a+2b）（a+3b） ．
②猜想面积为2a2+5ab+2b2的矩形的长、宽可能分别为 a+2b，2a+b ．
【分析】由所给例子不难看出把平方项分解成乘积的形式，交叉相乘再相加即为中间的项．
【解答】解：①a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b）；
②2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），
∴矩形的长、宽可能分别为a+2b，2a+b．
【点评】熟练掌握因式分解的十字相乘法．
34．计算：＝ 123454321
【分析】把分母写成123452﹣（12345+1）（12345﹣1）的形式，再利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝＝123 454 321．
【点评】本题考查了平方差公式法分解因式，灵活应用平方差公式计算，看似复杂的问题变得简单了．
35．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）
（1）如图①所示的几何体的体积是 a3﹣b3 ．
（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式 （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3 ．
【分析】（1）根据正方体体积公式即可求解；
（2）根据正方体和三块长方体的体积公式即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，得a3﹣b3．
故答案为a3﹣b3．
（2）根据题意，得
a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）
＝a3﹣a2b+a2b﹣ab2+b2a﹣b3
＝a3﹣b3
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
故答案为（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
【点评】本题考查了立方体和长方体的体积、因式分解的应用，解决本题的关键是表示三块长方体的体积的和．
三．解答题（共25小题）
36．因式分解：
（1）x2﹣4；
（2）2mx2﹣4mx+2m；
（3）（y2﹣1）2﹣6（y2﹣1）+9．
【分析】（1）直接用平方差公式分解；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解；
（3）先利用完全平方公式，再利用平方差公式分解．
【解答】解：（1）x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）；
（2）2mx2﹣4mx+2m
＝2m（x2﹣2x+1）
＝2m（x﹣1）2；
（3）（y2﹣1）2﹣6（y2﹣1）+9
＝（y2﹣1﹣3）2
＝（y2﹣4）2
＝（y+2）2（y﹣2）2．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
37．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）
②拆项法：
例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①用分组分解法4x2+4x﹣y2+1；
②用拆项法x4﹣3x2+1；
（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+5b2+c2﹣4ab﹣6b﹣10c+34＝0，求△ABC的周长．
【分析】（1）①读懂题意，利用分组法分解因式；②读懂题意，利用拆项法分解因式；
（2）把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出a、b、c的值，再计算三角形的周长．
【解答】解：（1）①4x2+4x﹣y2+1
＝4x2+4x+1﹣y2
＝（2x+1）2﹣y2
＝（2x+1+y）（2x+1﹣y）；
②x4﹣3x2+1
＝x4﹣2x2+1﹣x2
＝（x2﹣1）2﹣x2
＝（x﹣1）2（x+1）2﹣x2
＝[（x﹣1）（x+1）﹣x][（x﹣1）（x+1）+x]．
（2）∵a、b、c为△ABC的三条边，a2+5b2+c2﹣4ab﹣6b﹣10c+34＝0，
∴a2+4b2﹣4ab+b2﹣6b+9+c2﹣10c+25＝0，
∴（a﹣2b）2+（b﹣3）2+（c﹣5）2＝0，
∴，
∴，
∴△ABC的周长为6+3+5＝14．
【点评】本题考查了因式分解的应用和非负数的性质，解题的关键是掌握因式分解的方法和非负数的性质．
38．分解因式：
（1）2xy2﹣12xy+18x；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解．
【解答】解：（1）2xy2﹣12xy+18x
＝2x（y2﹣6y+9）
＝2x（y﹣3）2；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4）
＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
39．我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
求代数式2x2+4x﹣6的最小值；2x2+4x﹣6＝2（x2+2x）﹣6＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ （m+1）（m﹣5） ；
（2）求代数式﹣a2+8a+1的最大值；
（3）将一根长为24cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后做成两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．
【分析】（1）根据阅读材料，先将m2﹣4m﹣5变形为m2﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写成（m﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式﹣a2+8a+1转化为﹣（a﹣4）2+17，然后利用非负数的性质进行解答；
（3）设一段为xcm，则另一段为（24﹣x）cm，表示出两个正方形的面积之和S，利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出最小值，以及此时x的值即可．
【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9
＝（m﹣2）2﹣32
＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）
＝（m+1）（m﹣5），
故答案为：（m+1）（m﹣5）；
（2）﹣a2+8a+1＝﹣（a2﹣8x+16﹣16）+1＝﹣（a﹣4）2+17，
∵（a﹣4）2≥0，
即（a﹣4）2的最小值是0，
∴﹣a2+8a+1的最大值是17；
（3）有，
设一段为xcm，则另一段为（24﹣x）cm，
根据题意得：
S＝（）2+（6﹣）2
＝x2﹣3x+36
＝（x﹣12）2+18，
当x＝12时，S有最小值，最小值为18，
则两个正方形面积之和有最小值，此时这根铁丝剪成两段后的长度12cm，12cm，这两个正方形面积的和为18cm2．
【点评】本题考查了因式分解和配方法的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
40．先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值．
解：m2+2mn+2n2﹣6n+13＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）+4＝（m+n）2+（n﹣3）2+4，
∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0
∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4．
（1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是 完全平方公式 ；
（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足 a2+b2＝16a+8b﹣80，求第三边c的取值范围；
（3）求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣8y+14 的最大值．
【分析】（1）由题意得，运用的是完全平方公式；
（2）原式即为：（a﹣8）2+（b﹣4）2＝0，即可求解；
（3）原式＝﹣2x2+4xy﹣2y2﹣y2﹣8y﹣16+30＝﹣2（x﹣y）2﹣（y+4）2+30，即可求解．
【解答】解：（1）完全平方公式．
故答案为：完全平方公式；
（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，
∴a2﹣16a+64+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣8）2+（b﹣4）2＝0．
∵（a﹣8）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a＝8，b＝4．
∴4＜c＜12．
（3）原式＝﹣2x2+4xy﹣2y2﹣y2﹣8y﹣16+30
＝﹣2（x﹣y）2﹣（y+4）2+30，
∵﹣2（x﹣y）2≤0，﹣（y+4）2≤0，
∴多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣8y+14 的最大值是 30．
【点评】本题考查了完全平方公式分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键．
41．阅读理解并解答：
（1）我们把多项式a2+2ab+b2和 a2﹣2ab+b2 叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断一个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式值的最大（最小）值问题：
例如：①x2+2x+5＝（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4．
∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+4≥4．
则代数式x2+2x+5的最小值为 4 ，此时，相应的x的值为 ﹣1 ．
②3x2﹣12x+3＝3（x2﹣4x）+3＝3（x2﹣4x+4﹣4）+3．
＝3（x2﹣4x+4）﹣12+3＝3（x﹣2）2﹣9．
∵（x﹣2）2≥0，∴3（x﹣2）2﹣9≥﹣9．
∴代数式3x2﹣12x+3的最小值为 ﹣9 ，此时，相应的x的值为 2 ．
（2）仿照上述方法，代数式﹣x2﹣6x+6 有最 大 （“大”或“小”）值，并求相应的代数式﹣x2﹣6x+6的最值．
【分析】（1）①根据材料给出的结论直接求出代数式的最小值及相应的x的值；
②根据材料给出的结论直接求出代数式的最小值及相应的x的值；
（2）先提取负号再配成完全平方形式，从而确定代数式的最小值及相应的x的值．
【解答】解：（1）①∵x2+2x+5
＝x2+2x+1+4
＝（x+1）2+4≥4，
∴代数式x2+2x+5的最小值为4，相应的x的值为﹣1；
故答案为：4，﹣1；
②∵3（x﹣2）2﹣9≥﹣9，
∴代数3x2﹣12x+3的最小值为﹣9，相应的x的值为2；
故答案为：﹣9，2；
（2）﹣x2﹣6x+6
＝﹣（x+3）2+15≤15，
∴代数﹣x2﹣6x+6的最大值为15，此时，相应的x的值为﹣3．
故答案为：大．
【点评】本题考查了因式分解的应用、偶次方具有非负性、完全平方式，熟练掌握完全平方式结构特点，配方是解题的关键．
42．如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，故4，12，20 都是神秘数．
（1）写出一个除4，12，20之外的“神秘数”： 28 ；
（2）设两个连续偶数为2k和2k+2（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗？为什么？
（3）两个相邻的“神秘数”之差是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）根据新定义证明；
（3）根据（2）中的结论进行证明．
【解答】解：（1）∵82﹣62＝28，
∴28是神秘数，
故答案为28；
（2）这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除，
理由：∵（2k+2）2﹣（2k）2＝（4k+2）•2＝4（2k+1），
∴这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除；
（3）两个相邻的“神秘数”之差为定值，
理由：因为：4[2（k+1）+1]﹣4（2k+1）＝8，
所以两个相邻的“神秘数”之差是定值．
【点评】本题考查了因式分解的应用，理解新定义是解题的关键．
43．阅读材料：
在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2﹣B2的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：x4+4．
解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
即原式＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．
分解因式：（1）4x4+1；
（2）x4+x2+1．
【分析】仿照题例：（1）加上4x2再减去4x2，先利用完全平方公式再利用平方差公式；
（2）加上x2再减去x2，先利用完全平方公式再利用平方差公式．
【解答】解：（1）4x4+1
＝4x4+4x2+1﹣4x2
＝（2x2+1）2﹣4x2
＝（2x2+1+2x）（2x2+1﹣2x）；
（2）x4+x2+1
＝x4+2x2+1﹣x2
＝（x2+1）2﹣x2
＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，理解题例，掌握完全平方公式和平方差公式是解决本题的关键．
44．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：
（1）写出图②中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）猜测（a+b+c+d）2＝ a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd ．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；
（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各个矩形的面积之和求解即可；
（2）根据（1）中等式，猜想得出；
（3）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝48代入（1）中得到的关系式，然后进行计算；
（4）根据（2）得到等式，再对等式进行转化，进而进行因式分解，最后根据非负数的性质得到三边的关系．
【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd，
故答案为：a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd；
（3）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴122＝2×48+（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2＝144﹣96＝48；
（4）∵a2+b2+c2＝48，ab+ac+bc＝48，
∴a2+b2+c2＝ab+ac+bc，即a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴该三角形是等边三角形．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方式的应用和因式分解，尤其是（3）中对等式进行因式分解需要对其进行转化，这是盲点和易错点，应加以注意．
45．分解因式：
（1）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2；
（2）4a2﹣b2﹣4a+1．
【分析】（1）先利用平方差公式，再提取公因式；
（2）先分组利用完全平方公式，再利用平方差公式．
【解答】解：（1）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2
＝[5（m+n）]2﹣[3（m﹣n）]2
＝[5（m+n）+3（m﹣n）][5（m+n）﹣3（m﹣n）]
＝（5m+5n+3n﹣3n）（5m+5n﹣3m+3n）
＝（8m+2n）（2m+8n）
＝4（4m+n）（m+4n）；
（2）4a2﹣b2﹣4a+1
＝（4a2﹣4a+1）﹣b2
＝（2a﹣1）2﹣b2
＝（2a﹣1+b）（2a﹣1﹣b）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法及分组分解法是解决本题的关键．
46．因式分解：
（1）ax2+2a2x+a3；
（2）（a+1）（a﹣1）﹣8．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式；
（2）先整理整式，再利用平方差公式．
【解答】解：（1）ax2+2a2x+a3
＝a（x2+2ax+a2）
＝a（x+a）2；
（2）（a+1）（a﹣1）﹣8
＝a2﹣1﹣8
＝a2﹣9
＝（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
47．【阅读理解】一般地，如果正整数a，b，c满足a2+b2＝c2，那么a，b，c称为一组“商高数”．
【问题解决】：
（1）下列数组：①7，3，4；②3，4，6；③5，12，13，其中是“商高数”的有 ③ （直接填序号）；
（2）“商高数”有很多的构造方法．求证：如果m，n为任意正整数，且m＞n，那么m2+n2，m2﹣n2，2mn一定是“商高数”；
（3）：
①若按（2）中的方法构造出的一组“商高数”中最大的数与最小的数的差为32，求n的值；
②若按（2）中的方法构造出的一组“商高数”中最大数是2p2+10p+13（p是任意正整数），则这组“商高数”中的最小数为 p+2 （用含p的代数式表示）．
【分析】（1）根据新定义判断求解；
（2）根据新定义进行证明；
（3）①先判断大小，再分类讨论；
②把2p2+10p+13进行分解成两个代数式的平方，再比较大小．
【解答】解：（1）①∵32+42≠72，
∴7，3，4不是“商高数”，
②∵32+42≠62，
∴6，3，4不是“商高数”，
③∵52+122＝132，
∴5，12，13是“商高数”，
故答案为：③；
（2）（m2﹣n2）2+（2nn）2＝（m2+n2）2，
∴m2+n2，m2﹣n2，2mn一定是“商高数；
（3）①∵m2+n2＞m2﹣n2，m2+n2＞2mn，
∴当（m2+n2）﹣（m2﹣n2）＝32，
解得：n＝4，
当（m2+n2）﹣2mn＝32，
解得：m﹣n＝4（不合题意，舍去）；
②∵2p2+10p+13＝p2+4p+4+p2+6p+9＝（p+2）2+（p+3）2，
∵p是任意正整数，
∴p+2＜p+3，
故答案为：p+2．
【点评】本题考查了因式分解的应用，配方法是解题的关键．
48．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式：x2﹣12x+2020的最小值．
解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020＝（x﹣6）2+1984
∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，原式最小值为1984．
例如：分解因式：x2﹣120x+3456
解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456
＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60）2﹣122
＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）
（1）分解因式：x2+6x﹣7＝ （x﹣1）（x+7） ；
（2）利用配方法求代数式﹣x2+10x+33的最大值；
（3）试说明：m、n取任何实数时，代数式9m2+8n2+12mn﹣24n+45的值总大于8．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）首先利用配方法将﹣x2+10x+33配方成﹣[（x﹣5）2﹣25]+33，然后利用平方的非负性求解即可；
（3）首先利用完全平方公式将9m2+8n2+12mn﹣24n+45整理为（3m+2n）2+（2n﹣6）2+9，然后根据平方的非负性求解即可．
【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝（x﹣1）（x+7）；
故答案为：（x﹣1）（x+7）；
（2）﹣x2+10x+33
＝﹣（x2﹣10x）+33
＝﹣（x2﹣2×5x+52﹣52）+33
＝﹣[（x﹣5）2﹣25]+33，
∵（x﹣5）2≥0，
∴﹣（x﹣5）2≤0，
∴﹣（x﹣5）2+58≤58，
当x＝5时，﹣x2+10x+33值最大，最大值为58；
（3）∵9m2+8n2+12mn﹣24n+45
＝9m2+12mn+4n2+4n2﹣24n+36+9
＝（3m+2n）2+（2n﹣6）2+9，
又∵（3m+2n）2≥0，（2n﹣6）2≥0，
∴（3m+2n）2+（2n﹣6）2+9≥9，
∴m、n取任何实数时，代数式9m2+8n2+12mn﹣24n+45的值总大于8．
【点评】此题考查了因式分解的应用和配方法的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和配方法的步骤．
49．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）请说明28是否为“神秘数”；
（2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由．
①嘉嘉发现：两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．
②洪淇发现：2024是“神秘数”．
【分析】（1）判断28是否可以用两个连续偶数的平方差表示即可；（2）化简（2k+2）2﹣（2k）2，判断化简后的式子是否为4的倍数即可；令4（2k+1）＝2024，判断k是否是整数即可．
【解答】解：（1）假设28是“神秘数”，则：
28＝x2﹣（x﹣2）2，
解得：x＝8，
∴x﹣2＝6，
∴28＝82﹣62，
因此假设成立，28是“神秘数”；
（2）①嘉嘉的发现是真的，理由如下：
∵（2k+2）2﹣（2k）2
＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）
＝4（2k+1）．
∴两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．
②洪淇的发现是假的，理由如下：
假设2024是“神秘数”，则：
4（2k+1）＝2024，
解得k＝252.5，
∵k不是整数，
∴假设不成立，2024不是“神秘数”．
【点评】本题考查平方差公式的应用，解题的关键是读懂题意，理解“神秘数”的定义．
50．分解因式：
（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2；
（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24．
【分析】（1）先提取公因式，再利用十字相乘法；
（2）先利用十字相乘法，再利用公式法和十字相乘法．
【解答】解：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2
＝2ab2（1﹣3a+2a2）
＝2ab2（2a﹣1）（a﹣1）；
（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24
＝（x2﹣4x﹣8）（x2﹣4x+3）
＝[（x2﹣4x+4）﹣12]（x﹣3）（x﹣1）
＝[（x﹣2）2﹣12]（x﹣3）（x﹣1）
＝（x﹣2+2）（x﹣2﹣2）（x﹣3）（x﹣1）．
【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
51．（1）因式分解：x2（x﹣3）+y2（3﹣x）；
（2）已知x+y＝3，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值．
【分析】（1）先提公因式，再用公式法分解；
（2）先把代数式分解因式，再整体代入求解．
【解答】解：（1）x2（x﹣3）+y2（3﹣x）
＝（x﹣3）（x2﹣y2）
＝（x﹣3）（x+y）（x﹣y）；
（2）∵x+y＝3，xy＝2，
∴2x3y+4x2y2+2xy3
＝2xy（x2+2xy+y2）
＝2xy（x+y）2
＝2×2×9
＝36．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整体代入法是解题的关键．
52．阅读下面的材料．
材料一：当ab＝0时，a＝0，或b＝0．
材料二：把等式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab的左右两边交换位置后，得到x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
所以在解方程x2+3x+2＝0时，可以把方程变形为（x+1）（x+2）＝0，所以x+1＝0，或x+2＝0．所以x1＝﹣1，x2＝﹣2．
根据以上材料回答下列问题：
（1）因式分解：x2+7x﹣18＝ （x+9）（x﹣2） ；
（2）解方程：x2﹣5x+4＝0；
（3）若x2﹣xy﹣12y2＝0，则x与y的关系式是 x＝﹣3y或x＝4y ．
【分析】（1）直接因式分解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可；
（3）方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）；
故答案为：（x+9）（x﹣2）；
（2）方程分解得：（x﹣1）（x﹣4）＝0，
可得x﹣1＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝1，x2＝4；
（2）等式左边分解得：（x+3y）（x﹣4y）＝0，
可得x+3y＝0或x﹣4y＝0，
∴x＝﹣3y或x＝4y．
故答案为：x＝﹣3y或x＝4y．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
53．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）若a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc＝ 13 ．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．
【分析】（1）根据大正方形的面积（a+b+c）2等于各小图形面积的和计算即可．
（2）根据公式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，代入计算即可．
（3）根据题意，得x张边长为a的正方形的面积为xa2，y张边长为b的正方形的面积为yb2，z张边长分别为a、b的长方形的面积为zab，根据面积为（a+2b）（2a+b），将其展开，根据（a+2b）（2a+b）＝xa2+yb2+zab＝2a2+2b2+5ab，确定x，y，z的值，计算即可．
【解答】解：（1）根据大正方形的面积（a+b+c）2等于各小图形面积的和，
所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）因为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，
所以49＝23+2ab+2ac+2bc，
所以ab+ac+bc＝13，
故答案为：13．
（3）根据题意，得x张边长为a的正方形的面积为xa2，y张边长为b的正方形的面积为yb2，z张边长分别为a、b的长方形的面积为zab，
因为（a+2b）（2a+b）＝xa2+yb2+zab＝2a2+2b2+5ab，
所以x＝2，y＝2，z＝5，
所以x+y+z＝2+2+5＝9．
【点评】本题考查了几何图形解释公式，熟练掌握拼图的意义，灵活变形计算是解题的关键．
54．数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：
（1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示）；
（2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；
（3）用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个长方形，使其面积为a2+4ab+3b2，画出你的拼法，并根据画的图形分解因式：a2+4ab+3b2．
【分析】（1）图形整体面积等于各部分面积之和．
（2）根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
（3）根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．
（2）（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2a2+5ab+2b2．
∴需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张．
（3）见图3，
a2+4ab+3b2＝（a+2b）2+b2
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
55．学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“积数”
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与个位数字之积恰好能被十位数字整除，则称这个自然数为“积数”，例如：124是“积数”，因为1，2，4都不为0，且1×4＝4，4能被2整除；643不是“积数”，因为6×3＝18，18不能被4整除．
（1）判断951，396是否是“积数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比个位数字大6的所有“积数”，并说明理由．
【分析】（1）根据题意中的新定义求解；
（2）设个位数字为a，十位数字为b，则百位数字为（a+6），且1≤a≤3，根据整除的意义验证求解．
【解答】解：（1）951，因为9×1＝9，9不能被5整除，
∴951不是“积数”，
396，因，3，9，6都不为0，且3×6＝18，18能被9整除，
∴396是“积数”；
（2）设个位数字为a，十位数字为b，则百位数字为（a+6），且1≤a≤3，
由题意得：a（a+6）能被b整除，
当a＝1时，b的值为1，7，
此时该数是，711，771，
当a＝2时，b的值为1，2，4，8，
此时该数是：812，822，842，882，
当a＝3时，b的值为1，3，9，，
此时该数是：913，933，993，
百位数字比个位数字大6的所有“积数”为：711，771，812，822，842，882，913，933，993．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整除的意义是解题的关键．
56．在“整式乘法与因式分解”一章的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性，根据课堂学习的经验，解决下列问题：
（1）如图1，有若干张A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片（其中a＜b），若取2张A类卡片、3张B类卡片、1张C类卡片拼成如图2的长方形，借助图形，将多项式2a2+3ab+b2分解因式：2a2+3ab+b2＝ （a+b）（2a+b） ．
（2）若现有3张A类卡片，6张B类卡片，10张C类卡片，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），则拼成的正方形的边长最大是 a+3b ．
（3）若取1张C类卡片和4张A类卡片按图3、4两种方式摆放，求图4中，大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积 mn （用含m、n的代数式表示）．
【分析】（1）根据图2中长方形的面积＝长×宽可直接得出结论；
（2）若想拼成最大的正方形，需要用到的C类卡片最多，且是某一个数的平方，B类卡片全用，由此凑成完全平方即可得出结论；
（3）利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．
【解答】解：（1）由图2可知，2a2+3ab+b2＝（a+b）（2a+b）；
故答案为：（a+b）（2a+b）；
（2）3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，
6张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是6ab，
10张边长为b的正方形纸片的面积是10b2，
∵a2+6ab+9b2＝（a+3b）2，
∴拼成的正方形的边长最长可以为（a+3b），
故答案为：a+3b．
（3）设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，
由图②知，2x+y＝m，
由图③知，y﹣2x＝n，
∴x＝（m﹣n），y＝（m+n），
∴③的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积＝（）2﹣4×（）2＝mn．
故答案为：mn．
【点评】此题考查整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键．
57．阅读：因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2；当因式x﹣2＝0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解：
（1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x＝ ﹣m ，A＝0；
（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x﹣2，面积为x2+kx﹣14，求k的值；
（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x﹣1），体积为4x3+ax2﹣7x+b，试求a，b的值．
【分析】（1）根据多项式的一个因式为0，则多项式为0可求解；
（2）根据长方形的面积公式可知：x﹣2是x2+kx﹣14的一个因式，利用当x＝2时，x2+kx﹣14＝0，求出k的值即可；
（3）根据长方体的体积公式可知x+2，x﹣1是4x3+ax2﹣7x+b的一个因式，利用x＝﹣2和x＝1时，4x3+ax2﹣7x+b＝0，求出a，b的值即可；
【解答】解：（1）由题意，得，当x+m＝0时，A＝0，
∴x＝﹣m时，a＝0，
故答案为：﹣m；
（2）由题意得x﹣2是x2+kx﹣14的一个因式，
∴x﹣2能整除x2+kx﹣14，
∴当x﹣2＝0时，x2+kx﹣14＝0，
∴x＝2时，x2+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0，
解得：k＝5；
（3）由题意得x+2，x﹣1是4x3+ax2﹣7x+b的一个因式，
∴x+2，x﹣1能整除4x3+ax2﹣7x+b，
∴x+2＝0，x﹣1＝0，
当x+2＝0时即x＝﹣2时，4x3+ax2﹣7x+b＝0，
∴4a+b＝18①，
当x﹣1＝0即x＝1时，4x3+ax2﹣7x+b＝0，
∴a+b＝3②，
①﹣②得3a＝15，
解得：a＝5，
∴b＝﹣2．
【点评】此题考查了因式分解的应用，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键．
58．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，从整体来看是一个面积，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；
（2）利用（1）中所得等式，若a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，则a2+b2+c2＝ 45 ；
（3）如图3，将边长分别为a和b的两个正方形拼在一起，B、C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．
【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，另一种是直接利用正方形的面积公式计算，可得等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；
（3）利用S阴影＝正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD的面积求解．
【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；
故答案为：45；
（3）∵a+b＝10，ab＝20，
∴S阴影
＝a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2
＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
＝×102﹣×20
＝50﹣30
＝20．
【点评】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
59．分解因式
（1）4a3﹣9a；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2；
（3）2x2﹣2x﹣12．
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式；
（3）先提取公因式，再利用十字相乘法．
【解答】解：（1）4a3﹣9a
＝a（4a2﹣9）
＝a（2a+3）（2a﹣3）；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2
＝（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2）
＝（x+y）2（x﹣y）2；
（3）2x2﹣2x﹣12
＝2（x2﹣x﹣6）
＝2（x﹣3）（x+2）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法、公式法和十字相乘法是解决本题的关键．
60．定义：对任意一个两位数m，如果m满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（m）．例如：m＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）下列两位数30，52，77中，“互异数”为 52 ；f（24）＝ 6 ．
（2）若“互异数”b满足f（b）＝5，求出所有“互异数”b的值；
（3）如果m，n都是“互异数”，且m+n＝100，求f（m）+f（n）的值．
【分析】（1）根据题目中“互异数”的定义进行判断；再根据f（m）的定义计算即可；
（2）设“互异数”b的个位数字为x，十位数字为y，根据题目中“互异数”的定义列式求出x+y＝5，即可得到所有“互异数”b的值；
（3）设m＝10x+y，则n＝10（9−x）+（10−y），然后根据f（m）的定义计算f（m）+f（n）的值．
【解答】解：（1）由“互异数”的定义可得，两位数30，52，77中，“互异数”为52，
f（24）＝，
故答案为：52，6；
（2）设“互异数”b的个位数字为x，十位数字为y，
则，
整理得：x+y＝5，
∴x＝1，y＝4或x＝2，y＝3或x＝3，y＝2或x＝4，y＝1，
∴所有“互异数”b的值为14，23，32，41；
（3）∵m，n都是“互异数”，且m+n＝100，
∴设m＝10x+y，则n＝10（9−x）+（10−y），
∴f（m）+f（n）
＝
＝
＝
＝x+y+19﹣x﹣y
＝19．