浙教版七年级下册期末复习第5章分式好题精选60题（含解析）

这是一份浙教版七年级下册期末复习第5章分式好题精选60题（含解析），共51页。试卷主要包含了分式 的化简结果是，下列分式中，是最简分式的是，已知方程，计算等内容，欢迎下载使用。

1．分式 的化简结果是（ ）
A．a+2B．a﹣2C．D．
2．已知，，其中a＞b＞0，则P、Q的大小关系是（ ）
A．P＝QB．P＞QC．P＜QD．不能确定
3．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的6倍B．扩大为原来的9倍
C．不变D．扩大为原来的3倍
4．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
5．若关于x的分式方程的解为x＝3，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
6．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
7．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（ ）
A．B．
C．D．
8．随着退林复耕的全面推进，成都天府绕城生态公园也在向十万亩良田公园变身．其中有两块面积相同的良田公园作为小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，请列出关于的x分式方程（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
9．已知方程，计算（1+a）（1+a2）（1+a4）（1+a8）＝（ ）
A．8B．14C．16D．32
10．若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1或0D．0或1
11．已知b＞a＞0，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝，N＝，结论Ⅰ：当ab＝1时，M＝N；结论Ⅱ：当a+b＝0时，M⋅N≤0，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对
13．我市在某次疫情防控工作中派出了两支核酸检测队伍，甲队比乙队每小时多检测160人，甲队检测7000人所用的时间比乙队检测6000人所用的时间少10%．设甲队每小时检测x人，根据题意可列方程为（ ）
A．×（1﹣10%）＝
B．＝×（1﹣10%）
C．×（1﹣10%）＝
D．＝×（1﹣10%）
14．已知x2﹣3x+1＝0，则的值为（ ）
A．4B．5C．±4D．±5
15．已知关于x的方程的解为x＝2．则关于y的方程+1的解为（ ）
A．y＝﹣3B．y＝﹣C．y＝D．y＝3
二．填空题（共20小题）
16．分式方程﹣的解是 ．
17．若关于x的方程无解，则m的值是 ．
18．已知，则＝ ．
19．若m﹣n＝3，则代数式的值是 ．
20．已知m+m﹣1＝3，则m4+m﹣4＝ ．
21．关于x的分式方程有正数解，则符合条件的负整数m的和是 ．
22．已知x﹣＝6，那么x2++2＝ ．
23．甲同学2小时清点完一批图书的一半，乙同学加入清点另一半图书的工作，两人合作1.5小时清点完另一半图书，如果乙同学单独清点这批图书需要x小时，根据题意列方程 ．
24．定义一种新运算，当a≠b时，．若2※x＝4，则x＝ ．
25．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ．
26．，则A+B＝ ．
27．甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg，乙每次用去600元，设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg（a，b是正数，且a≠b），那么甲所购面粉的平均单价是 元/kg，乙所购面粉的平均单价是 元/kg；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为 元/kg．（结果用含a，b的代数式表示，需化为最简形式）
28．试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ．
29．已知＝，则＝ ．
30．关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是 ．
31．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将变形为满足以上结果要求的形式：＝ ；
（2）若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 ．
32．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如表，如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需 小时．
33．已知a+＝6，且＝2，则m＝ ．
34．m+n，，m2+n2等代数式，如果交换m和n的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式．若关于x，y的分式是完美对称式，则：
（1）m＝ ；
（2）若完美对称式满足：，且x＞y＞0，则y＝ （用含x的代数式表示）．
35．如果a，b，c是正数，且满足a+b+c＝6，++＝，则++的值为 ．
三．解答题（共25小题）
36．先化简，再从﹣1、2、4中选一个你喜欢的数作为x的值代入求值．
37．计算：
（1）；
（2）．
38．先化简：，然后从0，2，2023中选择一个合适的数代入求值．
39．解方程：
（1）；
（2）．
40．化简代数式，然后从﹣1，0，1中选取一个合适的m的值代入求值．
41．已知：，．
（1）当x＞0时，判断M﹣N与0的关系，并说明理由；
（2）设时，若x是正整数，求y的正整数值．
42．已知x2﹣x﹣5＝0，求代数式的值．
43．4月23日是“世界读书日”，某中学为了开展“书香家庭，相伴共读”亲子阅读活动，计划从书店购进A、B两类图书若干本，A类图书的单价比B类图书的单价多5元，用1000元购进的A类图书与用750元购进的B类图书的本数相同，求A类图书和B类图书的单价各为多少元？
44．先化简：，再从﹣2≤a≤3的范围内选择一个合适的整数作为a的值代入求值．
45．阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知xy＝1，求的值．
解：原式＝＝1．
问题解决：（1）已知xy＝1．
①代数式的值为 ；
②求证：；
（2）若x满足（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝4047，求（2023﹣x）（2022﹣x）的值．
46．2022年11月28日，湖南省第一条智慧高速“平益高速”已全线通车运营，它的通车为人们提供了便利．近日，有一个旅游团从益阳到平江幕阜山森林公园游玩，他们搭乘的大巴车全程走平益高速到达幕阜山森林公园用的时间比原路线所用的时间缩短了1h，已知大巴车在平益高速上的平均速度比原路线的平均速度提高了50%，益阳与平江幕阜山森林公园相距约192km，求大巴车在平益高速上的平均速度．
47．重庆市万州区为创建文明城市，打造美丽万州，某街道计划将一条长1480米的道路改造成智慧公路．
（1）通过工程招标，该工程由甲队单独施工，计划工期70天，施工1200米后，为了按期完工，甲队改进了技术，施工效率提高了40%，刚好按时完工，求技术改造前甲队每天施工多少米？
（2）在某次新的改造任务中，乙、丙两队决定合作施工，通过工程招标，乙队获得了1080米的改造工程，丙队获得了640米的改造工程，乙、丙两个工程队同时开始施工，施工初期，乙工程队每天比丙工程队多施工10米，乙工程队在完成360米改造任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了20%，乙、丙两队同时完工，求丙工程队平均每天施工的米数．
48．根据以下素材，探索完成任务．
49．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和雅式”，这个常数称为A关于B的“和雅值”．
如分式，，，则A是B的“和雅式”，A关于B的“和雅值”为2．
（1）已知分式，，判断C是否为D的“和雅式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出C关于D的“和雅值”；
（2）已知分式M＝，N＝，M是N的“和雅式”，且M关于N的“和雅值”是1，求a+b的值；
（3）已知分式，，P是Q的“和雅式”，且P关于Q的“和雅值”是1，x为整数，且“和雅式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和．
50．随着我国疫情管控的全面放开，近期旅游业逐渐回暖．今年元旦期间，重庆A级景区接待游客47万余人次．今年一月小明购买麻花和桃片这两种特产若干袋作为年货．已知每袋麻花的售价比每袋桃片的售价少4元，且购买麻花的数量是桃片数量的2倍，购买麻花用了280元，购买桃片用了160元．
（1）求每袋麻花和每袋桃片的售价；
（2）今年三月，小明再次购买一些和上次品质相同的麻花和桃片，恰逢特产店对两种产品的价格进行了调整，三月每袋麻花的售价比一月每袋麻花的售价高元，每袋桃片的售价比一月每袋桃片的售价低a元．三月购买麻花的数量比一月购买麻花的数量多50%，且购买桃片的数量是一月购买桃片数量的4倍．最终这次购买两种特产的总费用比一月购买的总费用多了575元，求a的值．
51．每年7月青海湖北岸的油菜花进入盛放期，成为青海湖的一处拍照打卡地．A、B两支队伍计划自驾去青海湖游湖赏花，两支队伍计划同一天出发，沿不同的路线自驾去青海湖，A队自驾路线全程2700千米，B队自驾路线全程1800千米，由于A队总路程较长，所以A队计划平均每天行驶的路程是B队的2倍，这样A队将比B队提前1天到达青海湖．
（1）求A、B两队分别计划多少天到达青海湖？
（2）A队每人每天的平均花费为200元，计划有10个人同行；B队每人每天的平均花费为150元，计划有8个人同行，后来A队又有m个人加入队伍，经过计算，A队每人每天的平均花费将减少30元．若自驾天数与原计划天数一致，两队总花费比原来增加了20%，求m的值．
52．解方程：
（1）；
（2）．
53．近三年，晋城高铁站（晋城东站）顺利投入运营，将晋城人民带入了“高铁时代”，为晋城经济社会发展插上了腾飞的翅膀．我市高铁开通前，从晋城开往太原的2674次普通列车运行距离是380千米；高铁开通后，从晋城开往太原的D3370次高速列车运行距离是300千米．从晋城开往太原，高速列车花费的时间比普通列车少了4个小时，高速列车的平均速度是普通列车的3倍，求高速列车的平均速度．（注：高速铁路和普通铁路是不同的铁路线，在本题中，普通列车行驶的是黑白线路，高速列车行驶的是粗实线线路）
54．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求小明、小红的跑步速度；
（2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
55．2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图．某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉样物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
（1）若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉样物的价格；
（2）在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
56．阅读下列材料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，这样的分式就是假分式．假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
例如：；
又如：；
＝．
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值．
57．综合与实践
为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵20元，用4000元购买队服的套数是用1600元购买足球的个数的2倍．
（1）每套队服和每个足球的价格分别是多少？
（2）甲商场优惠方案是：每购买10套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过90套，则购买足球打八折．若计划一共购买100套队服和m（m＞10）个足球，请用含m的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用．
（3）在（2）的条件下，若需要购买40个足球，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？请说明理由．
58．定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数高于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如．
（1）判断：分式是 ，分式是 ；（填“真分式”或“假分式”）
（2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
（3）若x是整数，且分式的值为整数，求x的值．
59．李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：，利用上面这个运算规律解决以下问题：
（1）求的值；
（2）证明：＜1；
（3）解方程：．
60．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．
中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化，每年5月21日为国际茶日．某茶店5月份第一周绿茶、红茶的销售总额分别为1500元，900元，已知红茶每克售价是绿茶每克售价的1.2倍，红茶的销售量比绿茶的销售量少3000克．问绿茶、红茶每克的售价分别是多少元？
（Ⅰ）设绿茶每克销售价格为x元，则用含x的式子把表格补充完整；
（Ⅱ）列出方程，完成本题解答．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．分式 的化简结果是（ ）
A．a+2B．a﹣2C．D．
【分析】根据同分母分式加减法的计算方法进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝a﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查分式的加减法，掌握同分母分式加减法的计算方法是正确解答的前提．
2．已知，，其中a＞b＞0，则P、Q的大小关系是（ ）
A．P＝QB．P＞QC．P＜QD．不能确定
【分析】把两式相减，再与0比较即可．
【解答】解：∵，，
∴P﹣Q
＝
＝
＝，
∵a＞b＞0，
∴a﹣b＞0，a+b＞0，
∴＞0，
即P﹣Q＞0，
∴P＞Q．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的6倍B．扩大为原来的9倍
C．不变D．扩大为原来的3倍
【分析】将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，进行计算后，再与原分式进行比较得出答案．
【解答】解：将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，原分式可变为＝＝9×，
因此分式的值较原来扩大了9倍，
故选：B．
【点评】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是正确判断的前提．
4．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简分式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；
B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
5．若关于x的分式方程的解为x＝3，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【分析】根据题意可得：把x＝3代入方程中得：﹣＝3，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
把x＝3代入方程中得：
﹣＝3，
∴m+2＝3，
解得：m＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的意义是解题的关键．
6．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】根据增根的定义，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可．
【解答】解：关于x的分式方程，
去分母可化为x﹣1＝a﹣2（x+1），
又因为关于x的分式方程，即有增根x＝﹣1，
所以x＝﹣1是方程x﹣1＝a﹣2（x+1）的根，
所以a＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查分式方程的增根，理解增根的定义和产生过程是正确解答的关键．
7．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题目中的新定义，对各个选项进行变形，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：＝＝x+y，故选项A不符合题意；
的分子分母都不能分解因式，故选项B不符合题意；
＝，故选项C符合题意；
＝＝，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查分式的约分、因式分解、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
8．随着退林复耕的全面推进，成都天府绕城生态公园也在向十万亩良田公园变身．其中有两块面积相同的良田公园作为小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，请列出关于的x分式方程（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【分析】根据两块试验田每公顷的产量间的关系，可得出第二块试验田每公顷的产量为（x+1500）kg，利用种植面积＝，结合两块小麦试验田的面积相等，可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，且第一块试验田每公顷的产量为xkg，
∴第二块试验田每公顷的产量为（x+1500）kg．
根据题意得：＝．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．已知方程，计算（1+a）（1+a2）（1+a4）（1+a8）＝（ ）
A．8B．14C．16D．32
【分析】利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可将分式分步通分，每一步只通分左边两项，化简求得＝；然后代入所求的代数式进行求值即可．
【解答】解：由，得
++++
＝++++
＝+++
＝++
＝+
＝+
＝0，
∴＝，
∵（1﹣a）（1+a）（1+a2）（1+a4）（1+a8）＝1﹣a16，
∴（1+a）（1+a2）（1+a4）（1+a8）＝（1﹣a16）•＝（1﹣a16）•＝16．
即（1+a）（1+a2）（1+a4）（1+a8）＝16．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键是利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），将分式分步通分．
10．若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1或0D．0或1
【分析】先解方程得2ax＝3a+1，再由方程无解可得2a＝0或＝2，分别求出a的值即可．
【解答】解：，
方程两边同时乘以x﹣2，得1﹣a＝2ax﹣4a，
移项、合并同类项，得2ax＝3a+1，
∵方程无解，
∴2a＝0或＝2，
解得a＝0或a＝1．
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，根据分式方程无解，分两种情况进行讨论是解题的关键．
11．已知b＞a＞0，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用作差法比较分式的大小．
【解答】解：A．由b＞a＞0，得b﹣a＞0，b﹣1不能确定符号．由﹣＝＝不能确定符号，故A错误，那么A不符合题意．
B．由b＞a＞0，得a﹣b＜0，b+1＞0．由﹣＝＝＜0，得＜，故B错误，那么B不符合题意．
C．由b＞a＞0，得a+1＞0．由＝，得，故C符合题意．
D．由b＞a＞0，得a﹣b＜0．由无法确定符号，故D错误，那么D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式比较大小，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
12．已知a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝，N＝，结论Ⅰ：当ab＝1时，M＝N；结论Ⅱ：当a+b＝0时，M⋅N≤0，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对
【分析】根据分式的加法法则解决此题．
【解答】解：结论Ⅰ：当ab＝1，则M＝＝＝＝N．
∴当ab＝1时，M＝N，即结论Ⅰ正确．
结论Ⅱ：当a+b＝0时，则b＝﹣a．
∴M＝＝，N＝＝．
∴MN＝≤0．
∴结论Ⅱ正确．
综上：结论Ⅰ正确，结论Ⅱ正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的加法运算，熟练掌握分式的加法法则是解决本题的关键．
13．我市在某次疫情防控工作中派出了两支核酸检测队伍，甲队比乙队每小时多检测160人，甲队检测7000人所用的时间比乙队检测6000人所用的时间少10%．设甲队每小时检测x人，根据题意可列方程为（ ）
A．×（1﹣10%）＝
B．＝×（1﹣10%）
C．×（1﹣10%）＝
D．＝×（1﹣10%）
【分析】设甲队每小时检测x人，则乙队每小时检测（x﹣160）人，根据“甲队检测7000人所用的时间比乙队检测6000人所用的时间少10%”列出方程，此题得解．
【解答】解：设甲队每小时检测x人，则乙队每小时检测（x﹣160）人，
根据题意得，＝×（1﹣10%）．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程．
14．已知x2﹣3x+1＝0，则的值为（ ）
A．4B．5C．±4D．±5
【分析】根据x2﹣3x+1＝0，可得x2＝3x﹣1，x3＝3x2﹣x，把式子中的x2和x3，分别换成3x﹣1和3x2﹣x，即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2＝3x﹣1，x3＝3x2﹣x，
∴
＝3x2﹣x﹣5x+
＝3x2﹣6x+
＝9x﹣3﹣6x+
＝3x+﹣3
＝﹣3
＝﹣3
＝﹣3
＝8﹣3
＝5．
故选：B．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是学会利用整体代入的思想．
15．已知关于x的方程的解为x＝2．则关于y的方程+1的解为（ ）
A．y＝﹣3B．y＝﹣C．y＝D．y＝3
【分析】根据第一个方程的解是x＝2代入第一个方程可得m＝3，将m＝3代入第二个方程可得y的值，检验可得结果．
【解答】解：∵关于x的方程的解为x＝2，
∴x（x+1）﹣（x2﹣1）＝m，
2×3﹣（4﹣1）＝m，
∴m＝3，
当m＝3时，关于y的方程是：+2＝+1，
∴3+2y（y﹣2）＝y（y﹣1）+y（y﹣2），
∴3+2y2﹣4y＝y2﹣y+y2﹣2y，
∴y＝3，
经检验：y＝3是关于y的方程+1的解．
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程和分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
二．填空题（共20小题）
16．分式方程﹣的解是 x＝ ．
【分析】首先方程两边乘以最简公分母x（x﹣1）去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，最后一定要检验．
【解答】解：去分母得：﹣2（x﹣1）＝2x，
去括号得：﹣2x+2＝2x，
移项得，﹣2x﹣2x＝﹣2，
合并同类项得，﹣4x＝﹣2，
x的系数化为1得，x＝．
检验：把x＝代入最简公分母中：x（x﹣1）≠0，
∴原分式方程的解为：x＝．
【点评】此题考查的是解分式方程，做题过程中关键是不要忘记检验，很多同学忘记检验，导致错误．
17．若关于x的方程无解，则m的值是 1或3 ．
【分析】将分式方程化为整式方程，可得，根据分式方程无解，可得x﹣1＝0，或m﹣1＝0，分情况求解即可．
【解答】解：，
去分母，得mx＝x﹣1+3，
解得，
∵方程无解，
∴x﹣1＝0，或m﹣1＝0，
当x﹣1＝0时，，
解得m＝3；
当m﹣1＝0时，m＝1，
即m的值为1或3，
故答案为：1或3．
【点评】本题主要考查了根据分式方程无解求参数的值，解题的关键是掌握分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于零．
18．已知，则＝ ﹣ ．
【分析】将化为3y﹣2x＝3xy或2x﹣3y＝﹣3xy，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵﹣＝3，
∴＝3，
即3y﹣2x＝3xy或2x﹣3y＝﹣3xy，
∴原式＝
＝
＝
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查分式的值以及分式的加减法，整体代入是解决问题的关键．
19．若m﹣n＝3，则代数式的值是 6 ．
【分析】先利用分式的运算法则化简，再将m﹣n＝3整体代入求值．
【解答】解：
＝
＝2（m﹣n），
∵m﹣n＝3，
∴原式＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
20．已知m+m﹣1＝3，则m4+m﹣4＝ 47 ．
【分析】根据m+m﹣1＝3和完全平方公式，将式子变形，即可得到所求式子的值．
【解答】解：∵m+m﹣1＝3，
∴（m+）2＝9，
∴m2+2+＝9，
∴m2+＝7，
∴（m2+）2＝49，
∴m4+2+＝49，
∴m4+＝47，
即m4+m﹣4＝47，
故答案为：47．
【点评】本题考查分式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21．关于x的分式方程有正数解，则符合条件的负整数m的和是 ﹣7 ．
【分析】解出关于x的分式方程的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为负整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
【解答】解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
解得，，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时，，即m＝﹣3，
∴m≠﹣3，
∴m＞﹣5且m≠﹣3，
∴符合条件的负整数m有﹣4，﹣2，﹣1，其和为﹣4﹣2﹣1＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正数解，负整数m的意义是正确解答的关键．
22．已知x﹣＝6，那么x2++2＝ 40 ．
【分析】先根据完全平方公式得出x2++2＝（x﹣）2+2x+2，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵x﹣＝6，
∴x2++2
＝（x﹣）2+2x+2
＝62+2+2
＝36+4
＝40．
故答案为：40．
【点评】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．
23．甲同学2小时清点完一批图书的一半，乙同学加入清点另一半图书的工作，两人合作1.5小时清点完另一半图书，如果乙同学单独清点这批图书需要x小时，根据题意列方程 ．
【分析】设乙同学单独清点这批图书需要x小时，根据两人合作1.5小时清点完另一半图书，列出方程即可．
【解答】解：由题意可得：，
故答案为：．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程一定要检验．
24．定义一种新运算，当a≠b时，．若2※x＝4，则x＝ 4或 ．
【分析】根据题中所给新定义运算可分类进行求解．
【解答】解：由题意可知：当x＜2时，则，
解得：，
经检验当时，2﹣x≠0，且x＜2，
∴是原方程的解；
当x＞2时，则，
解得：x＝4，
经检验当x＝4时，x﹣2≠0，且x＞2，
∴x＝4是原方程的解．
故答案为：4或．
【点评】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
25．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ﹣1、5或 ．
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
【解答】解：去分母得：x+5+m（x﹣5）＝m+5，
可得：（m+1）x＝6m，
当m+1＝0时，一元一次方程无解，
此时m＝﹣1，
当m+1≠0时，
则x＝±5时，分式方程也无解，
即＝±5，
解得：m＝5或，
综上所述：m的值为：﹣1、5或，
故答案为：﹣1、5或．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
26．，则A+B＝ 2 ．
【分析】根据分式的基本性质解决此题．
【解答】解：＝．
∵，
∴A（x+3）+B（x﹣1）＝2x﹣5．
∴（A+B）x+3A﹣B＝2x﹣5．
∴A+B＝2，3A﹣B＝﹣5．
∴A＝，B＝．
∴A+B＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
27．甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg，乙每次用去600元，设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg（a，b是正数，且a≠b），那么甲所购面粉的平均单价是 元/kg，乙所购面粉的平均单价是 元/kg；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为 元/kg．（结果用含a，b的代数式表示，需化为最简形式）
【分析】根据题意可用含a，b的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值．
【解答】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：（元/kg），
乙购买面粉的平均单价是：（元/kg），
在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：（元/kg），
故答案为：；；．
【点评】本题考查了列代数式，分式的减法运算，理解题意列出代数式是解题的关键．
28．试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ． ．
【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷，再根据分式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵（+）÷★＝，
∴被墨汁遮住部分的代数式是：
（+）÷，
＝•
＝•
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
29．已知＝，则＝ ．
【分析】先求已知的倒数等于7，化简后两边平方得62，再把所求式子的倒数求出结果为61，最终结果算出．
【解答】解：∵＝，
∴＝7．
∴x﹣1+＝7．
∴x+＝8．
∴x2+＝62．
∵＝x2﹣1+＝61，
∴＝．
故答案为．
【点评】考查分式值的计算，解题的关键是先求倒数．
30．关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是 a≤2且a≠﹣4 ．
【分析】首先解此分式方程，可得x＝，由关于x的方程的解是非负数，即可得x＝≥0，且x＝≠2，解不等式组即可求得答案．
【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2），得：2x+a＝﹣（x﹣2），
解得：x＝，
∵于x的方程的解是非负数，
∴x＝≥0，且x＝≠2，
解得：a≤2且a≠﹣4．
故答案为：a≤2且a≠﹣4．
【点评】此题考查了分式方程的解法、分式方程的解以及不等式组的解法．此题难度适中，注意不要漏掉分式方程无解的情况：x＝≠2．
31．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将变形为满足以上结果要求的形式：＝ 1﹣ ；
（2）若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 2或8 ．
【分析】（1）读懂题意，根据题意变形分式；
（2）根据题意变形分式，再分情况讨论a的取值．
【解答】解：（1）＝＝1﹣；
故答案为：1﹣；
（2））∵为正整数，a也为正整数，
∴＝＝4+，
∴a＝2或8时，分式为正整数，
故答案为：2或8．
【点评】本题考查了分式的基本性质和分式的加减，解题的关键是掌握分式的基本性质和分式的加减．
32．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如表，如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需 19 小时．
【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，由乙提供的信息列出分式方程，解得x＝20，再由丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．
【解答】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，
根据题意得：＝，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的根，且符合题意，
∵丙的工作效率是乙的工作效率的，
∴丙的工作效率为：×＝，
∴一轮的工作量为：++＝，
∴6轮后剩余的工作量为：1﹣×6＝，
∴还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：﹣＝，
∴乙还需要工作的时间为：÷＝（小时），
∴3×6+1+＝19（小时），
即共需19小时，
故答案为：19．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
33．已知a+＝6，且＝2，则m＝ ．
【分析】把分式分子与分母同时除以a2得，即可变为，因为a+＝6，所以＝2，解得m即可．
【解答】解：∵a+＝6，
∴
＝
＝
＝＝2，
解得m＝，
经检验m＝是方程的解．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式方程，关键是变出已知式子a+，再整体代入解方程．
34．m+n，，m2+n2等代数式，如果交换m和n的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式．若关于x，y的分式是完美对称式，则：
（1）m＝ ﹣1 ；
（2）若完美对称式满足：，且x＞y＞0，则y＝ （用含x的代数式表示）．
【分析】（1）根据完美对称式的定义进行求解即可；
（2）根据完美对称式的定义，结合所给的条件进行求解即可．
【解答】解：（1）∵分式是完美对称式，
∴，
整理得：y2﹣mx2＝x2﹣my2，
∴﹣m＝1，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）由（1）得＝，
∵，
∴，
，
∴y2+x2＝（xy）2+2xy，
∴y2+x2﹣2xy＝（xy）2，
即（x﹣y）2＝（xy）2，
∴x﹣y＝xy，
xy+y＝x，
（x+1）y＝x，
y＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是理解清楚完美对称式的定义，并对相应的运算法则的掌握．
35．如果a，b，c是正数，且满足a+b+c＝6，++＝，则++的值为 1 ．
【分析】把已知等式变形后代入所求分式中，再利用整体思想将分式化简求值即可．
【解答】解：∵a+b+c＝6，
∴a＝6﹣（b+c），b＝6﹣（a+c），c＝6﹣（a+b），
∴++
＝++
＝﹣1+﹣1+﹣1
＝6（++）﹣3，
∵++＝，
∴原式＝6×﹣3＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是灵活进行分式的变形以及整体思想的运用．
三．解答题（共25小题）
36．先化简，再从﹣1、2、4中选一个你喜欢的数作为x的值代入求值．
【分析】先算小括号内的式子，然后计算括号外的除法，再从﹣1、2、4中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝x+2，
∵x＝﹣2，2或4时，原分式无意义，
∴x＝﹣1，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1+2＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握因式分解技巧及运算顺序是解答本题的关键，注意分式的分母不能为0．
37．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据同分母的分式相加减的法则即可求出答案；
（2）先通分，再根据同分母的分式相加减算括号里面的，再将除法转化为乘法，进行化简约分即可解答．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝x+2．
【点评】本题主要考查了分式的加减，分式的四则混合运算，同分母分式可直接相加减，异分母分式要先通分再进行加减，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
38．先化简：，然后从0，2，2023中选择一个合适的数代入求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝，
当a＝0，a＝2时，原式没有意义，
∴当a＝2023时，．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
39．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【解答】解：（1），
去分母得：5x＝3（x+2），
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x（x+2）≠0，
所以原方程的解为x＝3；
（2），
去分母得：1＝x﹣1﹣3（x﹣2），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时x﹣2＝0，
所以x＝2是增根，原方程无解．
【点评】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤，并注意验根是解题的关键．
40．化简代数式，然后从﹣1，0，1中选取一个合适的m的值代入求值．
【分析】先利用分式的运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件求出m的取值范围，最后代入求值即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2m，
∵m2﹣1≠0，
（m﹣1）2≠0，
即m≠±1，
当m＝0时，2m＝2×0＝0．
【点评】本题考查分式的混合运算和分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则，确定m的取值范围是解题的关键．
41．已知：，．
（1）当x＞0时，判断M﹣N与0的关系，并说明理由；
（2）设时，若x是正整数，求y的正整数值．
【分析】（1）利用分式的减法的法则进行运算即可；
（2）把相应的式子代入运算，再结合条件进行分析即可．
【解答】解：（1）M﹣N≥0，理由如下：
∵，，
∴M﹣N
＝
＝
＝，
∵x＞0，
∴x+2＞0，（x﹣2）2≥0，
∴≥0，
即M﹣N≥0；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝16﹣，
∵x是正整数，
∴y的正整数值为：
当x＝2时，y＝12，
当x＝6时，y＝15．
综上所述，y的正整数值为12或15．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
42．已知x2﹣x﹣5＝0，求代数式的值．
【分析】先利用分式的运算法则化简分式，再变形已知整体代入求值．
【解答】解：原式＝（﹣）×
＝×
＝×
＝x（x﹣1）
＝x2﹣x．
∵x2﹣x﹣5＝0，
∴x2﹣x＝5．
∴原式＝5．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
43．4月23日是“世界读书日”，某中学为了开展“书香家庭，相伴共读”亲子阅读活动，计划从书店购进A、B两类图书若干本，A类图书的单价比B类图书的单价多5元，用1000元购进的A类图书与用750元购进的B类图书的本数相同，求A类图书和B类图书的单价各为多少元？
【分析】设A类图书的单价为x元，则B类图书的单价为（x﹣5）元，由题意：用1000元购进的A类图书与用750元购进的B类图书的本数相同，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设A类图书的单价为x元，则B类图书的单价为（x﹣5）元，
由题意得：＝，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣5＝20﹣5＝15，
答：A类图书的单价为20元，B类图书的单价为15元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
44．先化简：，再从﹣2≤a≤3的范围内选择一个合适的整数作为a的值代入求值．
【分析】先根据分式的乘法法则进行计算，再根据分式的加法法则进行计算，根据分式有意义的条件求出a不能为1，﹣2，2，﹣1，根据a满足﹣2≤a≤3的整数取a＝0，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
＝•+
＝+
＝
＝，
要使分式有意义，a﹣1≠0且a+2≠0且a﹣2≠0，且a+1≠0，
所以a不能为1，﹣2，2，﹣1，
∵满足﹣2≤a≤3的整数有﹣2，﹣1，0，1，2，3，
∴取a＝0，
当a＝0时，原式＝＝＝0．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
45．阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知xy＝1，求的值．
解：原式＝＝1．
问题解决：（1）已知xy＝1．
①代数式的值为 1 ；
②求证：；
（2）若x满足（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝4047，求（2023﹣x）（2022﹣x）的值．
【分析】（1）①由题意可得xy＝1，代入所求式中可求值；
②由题意可得xy＝1，则x2021y2021＝1，代入第1个加数中可求值；
（2）把2021﹣x看作a，把2020﹣x看作b，根据完全平方公式可得答案．
【解答】（1）①解：∵xy＝1，
∴+＝＝+＝1，
故答案为：1；
②证明：∵xy＝1，
∴x2023y2023＝1，
∴
＝
＝
＝1；
（2）∵[（2023﹣x）﹣（2022﹣x）]2
＝（2023﹣x）2﹣2（2023﹣x）（2022﹣x）+（2022﹣x）2，
∵（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝4047，
∴4047﹣2（2023﹣x）（2022﹣x）＝1，
∴（2023﹣x）（2022﹣x）＝2023．
【点评】本题考查了分式的加法和完全平方公式，（1）中将所求式子中的1换成xy是本题的关键．
46．2022年11月28日，湖南省第一条智慧高速“平益高速”已全线通车运营，它的通车为人们提供了便利．近日，有一个旅游团从益阳到平江幕阜山森林公园游玩，他们搭乘的大巴车全程走平益高速到达幕阜山森林公园用的时间比原路线所用的时间缩短了1h，已知大巴车在平益高速上的平均速度比原路线的平均速度提高了50%，益阳与平江幕阜山森林公园相距约192km，求大巴车在平益高速上的平均速度．
【分析】设大巴车在原路线的平均速度为xkm/h，则在平益高速上的平均速度为（1+50%）xkm/h，由题意：搭乘的大巴车全程走平益高速到达幕阜山森林公园用的时间比原路线所用的时间缩短了1h，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设大巴车在原路线的平均速度为xkm/h，则在平益高速上的平均速度为（1+50%）xkm/h，
由题意得：﹣＝1，
解得：x＝64，
经检验，x＝64是原方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）x＝1.5×64＝96，
答：大巴车在平益高速上的平均速度为96km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
47．重庆市万州区为创建文明城市，打造美丽万州，某街道计划将一条长1480米的道路改造成智慧公路．
（1）通过工程招标，该工程由甲队单独施工，计划工期70天，施工1200米后，为了按期完工，甲队改进了技术，施工效率提高了40%，刚好按时完工，求技术改造前甲队每天施工多少米？
（2）在某次新的改造任务中，乙、丙两队决定合作施工，通过工程招标，乙队获得了1080米的改造工程，丙队获得了640米的改造工程，乙、丙两个工程队同时开始施工，施工初期，乙工程队每天比丙工程队多施工10米，乙工程队在完成360米改造任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了20%，乙、丙两队同时完工，求丙工程队平均每天施工的米数．
【分析】（1）设技术改造前甲队每天施工x米，则技术改造后甲队每天施工（1+40%）x米，根据两队的天数和是70天列分式方程求解即可；
（2）设丙工程队平均每天施工y米，根据两队的天数相等列分式方程求解即可．
【解答】解：（1）设技术改造前甲队每天施工x米，则技术改造后甲队每天施工（1+40%）x米，
根据题意，得，
解得x＝20，
经检验，x＝20是所列方程的解，
答：技术改造前甲队每天施工20米；
（2）设丙工程队平均每天施工y米，
根据题意，得，
解得y＝20，
经检验，y＝20是所列方程的解，
答：丙工程队平均每天施工20米．
【点评】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解答的关键．
48．根据以下素材，探索完成任务．
【分析】任务1：设笔记本的单价为x元，根据用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件列出分式方程，解方程即可；
任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据总的花费为400元，列出方程，根据a≥20，b≥20，且b是10的倍数，求出a、b的值即可；
任务3：可以就钢笔和笔记本数量的一种情况进行解答，答案合理即可．
【解答】解：任务1：设笔记本的单价为x元，根据题意，得，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原方程的根，
这时2x＝10．
∴笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据题意，得10a+5b＝400，化简得，
由题意，a≥20，b≥20，且b是10的倍数，
∴或或，
∴可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本．
任务3：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有y张兑换券兑换钢笔，根据题意，得30+10y＝20+20（m﹣y），整理得，
∵1＜m＜10，且m，y均为正整数，
∴经尝试检验得，
∴文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．（答案不唯一）
【点评】本题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程．
49．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和雅式”，这个常数称为A关于B的“和雅值”．
如分式，，，则A是B的“和雅式”，A关于B的“和雅值”为2．
（1）已知分式，，判断C是否为D的“和雅式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出C关于D的“和雅值”；
（2）已知分式M＝，N＝，M是N的“和雅式”，且M关于N的“和雅值”是1，求a+b的值；
（3）已知分式，，P是Q的“和雅式”，且P关于Q的“和雅值”是1，x为整数，且“和雅式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和．
【分析】（1）根据新定义进行判断；
（2）根据新定义，列出方程求解；
（3）根据新定义列出方程，再根据整除的意义求解．
【解答】解：（1）C不是D的“和雅式”；
理由：∵C﹣D＝﹣
＝
＝
＝﹣1＜0，
∴C不是D的“和雅式”；
（2）由题意得：M﹣N＝1，
∴﹣＝1，
∴（2﹣a+b）x＝b，
∴2﹣a+b＝b＝0，
解得：a＝2，b＝0，
∴a+b＝2；
（3）由题意得：P﹣Q＝1，
∴﹣＝1，
∴E＝3x+9，
∵＝为整数，x为整数，
∴3﹣x的值为：±1或±3，
∴x的值为：0，2，4，6，
∴0+2+4+6＝12，
所以所有符合条件的x的值之和为12．
【点评】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键．
50．随着我国疫情管控的全面放开，近期旅游业逐渐回暖．今年元旦期间，重庆A级景区接待游客47万余人次．今年一月小明购买麻花和桃片这两种特产若干袋作为年货．已知每袋麻花的售价比每袋桃片的售价少4元，且购买麻花的数量是桃片数量的2倍，购买麻花用了280元，购买桃片用了160元．
（1）求每袋麻花和每袋桃片的售价；
（2）今年三月，小明再次购买一些和上次品质相同的麻花和桃片，恰逢特产店对两种产品的价格进行了调整，三月每袋麻花的售价比一月每袋麻花的售价高元，每袋桃片的售价比一月每袋桃片的售价低a元．三月购买麻花的数量比一月购买麻花的数量多50%，且购买桃片的数量是一月购买桃片数量的4倍．最终这次购买两种特产的总费用比一月购买的总费用多了575元，求a的值．
【分析】（1）设每袋桃片的售价为x元，则每袋麻花的售价为（x﹣4）元，根据关键描述语“购买麻花的数量是桃片数量的2倍”列出方程并解答；
（2）由a分别表示出三月每袋麻花的售价，每袋桃片的售价，然后根据这次购买两种特产的总费用比一月购买的总费用多了575元列出方程，最后解方程即可．
【解答】解：（1）设每袋桃片的售价为x元，则每袋麻花的售价为（x﹣4）元，
依题意，得．
解得x＝32．
经检验，x＝32是原方程的解．
则x﹣4＝28．
答：每袋桃片的售价为32元，则每袋麻花的售价为28元；
（2）∵每袋麻花的售价为28元，每袋桃片的售价为32元，
∴280÷28＝10，160÷32＝5，
即今年一月小明购买麻花10袋，桃片5袋．
∵三月每袋麻花的售价比一月每袋麻花的售价高元，每袋桃片的售价比一月每袋桃片的售价低a元，三月购买麻花的数量比一月购买麻花的数量多50%，且购买桃片的数量是一月购买桃片数量的4倍，
∴10×（1+50%）＝15，5×4＝20．
∴三月每袋麻花的售价为（28+）元，每袋桃片的售价为（32﹣a）元，三月购买麻花15袋，购买桃片20袋．
∵这次购买两种特产的总费用比一月购买的总费用多了575元，
由题得，
解得a＝3．
答：a的值为3．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
51．每年7月青海湖北岸的油菜花进入盛放期，成为青海湖的一处拍照打卡地．A、B两支队伍计划自驾去青海湖游湖赏花，两支队伍计划同一天出发，沿不同的路线自驾去青海湖，A队自驾路线全程2700千米，B队自驾路线全程1800千米，由于A队总路程较长，所以A队计划平均每天行驶的路程是B队的2倍，这样A队将比B队提前1天到达青海湖．
（1）求A、B两队分别计划多少天到达青海湖？
（2）A队每人每天的平均花费为200元，计划有10个人同行；B队每人每天的平均花费为150元，计划有8个人同行，后来A队又有m个人加入队伍，经过计算，A队每人每天的平均花费将减少30元．若自驾天数与原计划天数一致，两队总花费比原来增加了20%，求m的值．
【分析】（1）设A队计划x天到达青海湖，则B队计划（x+1）天到达青海湖，由题意：A队计划平均每天行驶的路程是B队的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）由题意：两队总花费比原来增加了20%，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设A队计划x天到达青海湖，则B队计划（x+1）天到达青海湖，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是所列方程的解，且符合题意，
∴x+1＝4．
答：A队计划3天到达青海湖，B队计划4天到达青海湖；
（2）根据题意得：（200﹣30）×3（10+m）+150×4×8＝（200×10×3+150×8×4）（1+20%），
解得：m＝6，
答：m的值为6．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
52．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x+3＝4x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解；
（2）去分母得：2＝1+x+x﹣2，
移项合并得：2x＝3，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是关键．
53．近三年，晋城高铁站（晋城东站）顺利投入运营，将晋城人民带入了“高铁时代”，为晋城经济社会发展插上了腾飞的翅膀．我市高铁开通前，从晋城开往太原的2674次普通列车运行距离是380千米；高铁开通后，从晋城开往太原的D3370次高速列车运行距离是300千米．从晋城开往太原，高速列车花费的时间比普通列车少了4个小时，高速列车的平均速度是普通列车的3倍，求高速列车的平均速度．（注：高速铁路和普通铁路是不同的铁路线，在本题中，普通列车行驶的是黑白线路，高速列车行驶的是粗实线线路）
【分析】设普通列车的平均速度为x千米/时，则高速列车的平均速度为3x千米/小时，根据时间＝路程÷速度，结合乘坐高速列车所需时间比乘坐普通列车所需时间少4小时，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设普通列车的平均速度为x千米/时，则高速列车的平均速度为3x千米/小时，
依题意得：﹣＝4，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝3×70＝210．
答：高速列车的平均速度为210千米/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
54．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求小明、小红的跑步速度；
（2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【分析】（1）设小红的跑步速度为每分钟xm，则小明的跑步速度为每分1.2xm，根据小红的跑步时间﹣小明的跑步时间＝5列分式方程求解即可；
（2）设小明从B地到C地用时y分钟，根据前30分钟消耗的热量+30分钟后的热量＝2300列方程解答即可．
【解答】解：（1）设小红的跑步速度为每分钟xm，则小明的跑步速度为每分1.2xm，
可得：﹣＝5，
解得x＝360，
经检验x＝360是原方程的解，
∴原方程的解为x＝360，
∴1.2x＝432（ m）
答：小明的跑步速度为每分432m，小红的跑步速度为每分钟360m；
（2）∵小明的跑步速度为每分432m，
∴小明从A地到B地所用时间为＝20.8333（分），
设小明从B地到C地用时y分钟，
则：30×10+（y﹣5）×（10+y﹣5）＝2300，
解得y＝45或y＝﹣45（舍去），25+45＝70（分）
答：小明从A地到C地锻炼共用70分钟．
【点评】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键．
55．2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图．某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉样物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
（1）若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉样物的价格；
（2）在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
【分析】（1）设甲规格吉祥物每套x元，用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，列分式方程，求解即可；
（2）设乙规格吉祥物购买m套，总费用为w元，根据购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定总费用最少时的购买方案．
【解答】解：（1）设甲规格吉祥物每套x元，
根据题意，得，
解得x＝70，
经检验，x＝70是原方程的根，且符合题意，
70+20＝90（元），
答：甲规格吉祥物每套70元，乙规格吉祥物每套90元；
（2）设乙规格吉祥物购买m套，总费用为w元，
根据题意，得30﹣m≤2m，
解得m≥10，m为正整数，
w＝90m+70（30﹣m）＝20m+2100，
∵20＞0，
∴w随着m的增大而增大，
当m＝10时，w取得最小值，
此时乙规格购买10套，甲规格购买20套，
答：乙规格购买10套，甲规格购买20套，总费用最少．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意建立相应的关系式是解题的关键．
56．阅读下列材料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，这样的分式就是假分式．假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
例如：；
又如：；
＝．
（1）分式是 假分式 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值．
【分析】（1）按“真分式”“假分式”的定义直接判断即可；
（2）仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则把假分式化为带分式；
（3）先把分式化为带分式，然后再找出满足条件的整数x即可．
【解答】解：（1）∵分子的次数是2，分母的次数是1，
∴分式是假分式．
故答案为：假分式．
（2）＝＝3+．
（3）＝＝4x+6﹣，
∵原分式是整式，
∴是整数，
∴x＝﹣2或﹣1或0或1时，分式的值为整数．
【点评】本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握相关的运算法则．
57．综合与实践
为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵20元，用4000元购买队服的套数是用1600元购买足球的个数的2倍．
（1）每套队服和每个足球的价格分别是多少？
（2）甲商场优惠方案是：每购买10套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过90套，则购买足球打八折．若计划一共购买100套队服和m（m＞10）个足球，请用含m的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用．
（3）在（2）的条件下，若需要购买40个足球，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？请说明理由．
【分析】（1）设每个足球的价格是x元，则每套队服的价格为（20+x）元，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）买队服的费用+购买足球的费用＝总费用，按照此计算方法即可；
（3）把m＝40代入（2）中到两商场的费用的表达式中，计算出值，比较即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个足球的价格是x元，则每套队服的价格为（20+x）元，
根据题意得，，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是分式方程的解，
∴每套队服价格为20+80＝100（元），
答：每个足球的价格是80元，则每套队服的价格为100元；
（2）甲商场购买装备所花的费用为：100×100+80（m﹣10）＝10000+80m﹣800＝（9200+80m）元，
乙商场购买装备所花的费用为：100×100+0.8×80m＝（10000+64m）元；
（3）当m＝40时，甲商场购买装备所花的费用为：9200+40×80＝9200+3200＝12400（元），
乙商场购买装备所花的费用为：10000+64×40＝12560（元），
∵12400＜12560，
∴甲商场购买比较合算．
【点评】本题考查了分式方程的应用，列代数式，代数式求值，根据题意列出方程和代数式是解题的关键．
58．定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数高于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如．
（1）判断：分式是 真分式 ，分式是 假分式 ；（填“真分式”或“假分式”）
（2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
（3）若x是整数，且分式的值为整数，求x的值．
【分析】（1）分式的分子的次数低于分母的次数，所以是真分式；分式的分子的次数高于分母的次数，所以是假分式；
（2）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；
（3）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．
【解答】解：（1）∵分式的分子的次数为0，低于分母的次数1，
所以是真分式；
∵分式的分子的次数为2，高于分母的次数1，
∴是假分式；
（2）由题可得，；
（3）
＝
＝
＝x+3+，
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x﹣3＝±9，x﹣3＝±3，x﹣3＝±1
∴x＝12，﹣6，6，0，4，2，
故x的值为：12，﹣6，6，0，4，2．
【点评】本题考查了分式的加减混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
59．李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：，利用上面这个运算规律解决以下问题：
（1）求的值；
（2）证明：＜1；
（3）解方程：．
【分析】（1）先根据已知算式得出规律，再根据得出的规律进行计算即可；
（2）根据得出的规律进行计算展开，再根据有理数的加减法法则进行计算即可；
（3）根据得出的规律进行计算展开，再算加减，再进行分式方程即可．
【解答】解：（1）
＝﹣+﹣+﹣
＝﹣
＝﹣
＝；
（2）证明：
＝1﹣+﹣+﹣+...+﹣+﹣
＝1﹣
∵n为正指数，
∴n+1＞1，
即是真分数，
∴1﹣＜1，
即＜1；
（3），
（﹣+﹣+﹣+﹣）＝，
﹣＝，
方程两边都乘9x（x+1），得9（x+1）﹣（x+1）＝18x，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝．
【点评】本题考查了解分式方程和有理数的加减，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
60．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．
中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化，每年5月21日为国际茶日．某茶店5月份第一周绿茶、红茶的销售总额分别为1500元，900元，已知红茶每克售价是绿茶每克售价的1.2倍，红茶的销售量比绿茶的销售量少3000克．问绿茶、红茶每克的售价分别是多少元？
（Ⅰ）设绿茶每克销售价格为x元，则用含x的式子把表格补充完整；
（Ⅱ）列出方程，完成本题解答．
【分析】（Ⅰ）根据题意和售价×销售量＝销售总额即可得出结论；
（Ⅱ）由题意：红茶的销售量比绿茶的销售量少3000克．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：（Ⅰ）设绿茶每克销售价格为x元，则红茶每克销售价格为1.2x元，
由题意得：绿茶的销售量为克，红茶的销售量为克，
故答案为：克，1.2x，；
（Ⅱ）由题意得：﹣＝3000，
解得：x＝0.25，
经检验，x＝0.25是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×0.25＝0.3，
答：绿茶每克销售价格为0.25元，红茶每克销售价格为0.3元．
甲说：我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5h；
乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等；
丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；
丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率，知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1
某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2
某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，
两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数．
素材3
学校花费400元后，文具店赠送m张（1＜m＜10）兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1
探求商品单价
请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2
探究购买方案
探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
任务3
确定兑换方式
运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式．
售价（元/克）
销售量（克）
销售总额（元）
绿茶
x

1500
红茶


900
甲说：我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5h；
乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等；
丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；
丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率，知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1
某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2
某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，
两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数．
素材3
学校花费400元后，文具店赠送m张（1＜m＜10）兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1
探求商品单价
请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2
探究购买方案
探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
任务3
确定兑换方式
运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式．
售价（元/克）
销售量（克）
销售总额（元）
绿茶
x

1500
红茶
1.2x

900