浙教版七下第5章分式好题精选45题（含解析）

这是一份浙教版七下第5章分式好题精选45题（含解析），共54页。试卷主要包含了阅读材料，并完成下列问题，深化理解，已知，定义，阅读下面材料，并解答问题，我们定义，因为＝1﹣，＝﹣，…，＝﹣，等内容，欢迎下载使用。
1．阅读材料，并完成下列问题：
不难求得方程x＝2+的解是x1＝2，；
x＝3+的解是x1＝3，x2＝；
x的解是x1＝4，x2＝；
（1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程x的解是 ．
（2）试用“求出关于x的方程x的解”的方法证明你的猜想；
（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程．
2．深化理解：阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
∴解得：．
∴＝x﹣2+．
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 ；
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．
3．（1）已知b＞a＞0，分式的分子分母都加上1，说明所得分式的值是增大了还是减少了？
（2）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克，（m，n是正数，且m≠n）；甲每次购买800千克；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．
①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元？
②谁的购买方式平均单价较低？
4．已知x2﹣3x+1＝0，求下列各式的值．
（1）x2+；
（2）x4+．
5．已知：＝，＝，＝．求代数式a+b+c的值．
6．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如＝＝+＝1+，＝＝a﹣1+，
则和都是“和谐分式”．
（1）下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）；
①；②；③；④
（2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：
＝ ．
（3）应用：已知方程组有正整数解，求整数m的值．
7．阅读下面材料，并解答问题．
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b．
则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b
∴，∴
∴＝＝﹣＝（x2+2）﹣
这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式﹣的和．
根据上述作法，将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
8．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
如分式A＝，B＝，A﹣B＝﹣（）＝＝＝2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）已知分式C＝，D＝，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
（2）已知分式P＝，Q＝，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；
（3）已知分式M＝，N＝（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a﹣b+c的值．
9．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：∵，∴
即∴∴
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则∴
根据材料回答问题：
（1）已知，则＝ ．
（2）解分式方程组：
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值．
10．因为＝1﹣，＝﹣，…，＝﹣，
所以++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．
解答下列问题：
（1）在和式+++…中，第九项是 ；第n项是 ．
（2）解方程++…+＝1﹣．
11．阅读下列解题过程：
已知＝，求的值．
解：由＝，知x≠0，所以＝3，即x+＝3．
∴＝x2+＝﹣2＝32﹣2＝7．
∴的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知＝，求的值．
（2）已知＝2，＝，＝，求的值．
12．阅读下列材料：
关于x的方程：x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；
x﹣＝c﹣（可变形为x+＝c+）的解为：x1＝c，x2＝；
x+＝c+的解为：x1＝c，x2＝；
x+＝c+的解为：x1＝c，x2＝；……
（1）①方程x+＝2+的解为 ，
②方程x﹣1+＝2+的解为 ；
（2）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+＝c+（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（3）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接求解．请用这个结论解关于x的方程：x+＝a+（a≠1）．
13．（1）已知A＝，B＝，若A＝B，求a、b之间的关系式；
（2）已知a、b、c都是正数，P＝，Q＝，若P＝Q，那么a、b、c之间有什么关系？试证明你的结论．
14．先化简（﹣1），然后从﹣2≤x＜2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
15．先化简代数式：，然后再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个你喜欢的整数作为x值代入求值．
16．阅读下面材料，并解答相应的问题：
（1）请将材料中r＝0时欧拉公式的证明过程补充完整；
（2）请从下面A，B两题中任选一题进行解答，我选择 题．
A：写出当r＝2时的欧拉公式，并任选一组a、b、c的值，对该公式当r＝2时的情形进行验证；
B：①写出当r＝1时的欧拉公式，并证明；②利用欧拉公式直接写出﹣20173+的结果．
17．（1）化简；
（2）已知＝，用含a的式子表示．
18．阅读材料：
关于x的方程：x+的解为：x1＝a，x2＝，x﹣（可变形为x+）的解为：x1＝a，x2＝，x+的解为：x1＝a，x2＝，x+的解为：x1＝a，x2＝
…
根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程x+的解为 ．
②方程x﹣1+的解为 ．
（2）解关于x方程：
①x+（a≠1）
②x﹣（a≠2）
19．已知a、b、c为实数，且＝，＝，＝，求的值．
20．已知三个数x、y、z满足＝﹣2，＝，＝﹣，求的值．
21．解方程．
22．先化简：，然后在﹣1、0、1、2、3中选一个a的值代入求值．
23．为建设“美丽乡村”，需要对某村居民的自来水管进行改造，该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需时间是规定天数的1.5倍，如果由甲、乙两队先合做10天，那么余下的工程由乙队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3600元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成，则该工程施工费用是多少？
24．阅读下面一封求助信，并完成信中所提出的问题：
下面这几道分式求值题，我百思不得其解，渴望得到你的解答，望早日回复．
第一题：已知x2﹣3x+2＝0，试求×+÷的值．
我的困惑：已知条件的一个一元二次方程，我还没有学习，算不出x的值，这道题我放弃了．
第二题：已知x＝2012﹣5，求÷（1+）的值．
我的困惑：将x的值代入分式，计算太繁琐我无法做下去．
第三题：已知p可能等于﹣2，﹣1，0，1，2，从中任取一个代入式子（1+）÷中求值．
我的困惑：做这道题我本来很自信，化简后的式子是，我知道已知的几个数中P不能取1，所以取P＝0，求出结果是﹣2，老师却给我判了个零分．
25．运用分式方程，解决下面问题：
为改善城市排水系统，某市需要新铺设一段全长为3 000m的排水管道．为了减少施工对城市交通的影响，实际施工时每天的工效是原计划的1.2倍，结果提前5天完成这一任务．
（1）这个工程队原计划每天铺设管道多少m？
（2）填空：在这项工程中，如果要求工程队提前6天完成任务，那么实际施工时每天的工效比原计划增加 （填百分数，不写过程）．
26．某商厦进货员预测一种儿童玩具能畅销市场，就用4万元购进．这种玩具面市后，果然供不应求．商厦又用8.8万元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了2元．
（1）问购进第一批玩具数量是多少？
（2）若商厦销售这种玩具时每个定价都是38元，最后剩下100个玩具按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？
27．“五一”期间，某商铺经营某种旅游纪念品．该商铺第一次批发购进该纪念品共花费2000元，很快全部售完．接着，该商铺第二次批发购进该纪念品共花费6000元．已知第二次所购进该纪念品的数量是第一次的2倍还多100个，第二次的进价比第一次的进价提高了20%．
（1）求第一次购进该纪念品的进价是多少元？
（2）若该纪念品的两次售价均为15元/个，两次所购纪念品全部售完后，求该商铺两次共盈利多少元？
28．先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+＝2+的解为x1＝2，x2＝；
方程x+＝3+的解为x1＝3，x2＝；
方程x+＝4+的解为x1＝4，x2＝；
…
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+＝6+的解是 ；
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+＝a+的解是 ；
（3）由（2）可知，在解方程：y+＝时，可以变形转化为x+＝a+的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
（4）利用（2）的结论解方程：+＝．
29．先阅读下列解法，再解答后面的问题．
已知＝+，求A、B的值．
解法一：将等号右边通分，再去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），
即：3x﹣4＝（A+B）x﹣（2A+B），
∴．
解得．
解法二：在已知等式中取x＝0，有﹣A+＝﹣2，整理得
2A+B＝4；
取x＝3，有+B＝，整理得
A+2B＝5．
解，
得：．
（1）已知，用上面的解法一或解法二求A、B的值．
（2）计算：
[]（x+11），并求x取何整数时，这个式子的值为正整数．
30．为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
31．已知（A、B、C是常数），求A、B、C的值．
32．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？
33．阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程+＝1的解为正数，求a的取值范围？
经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决．
小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．
老师说：小强所说完全正确．
请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明： ．
完成下列问题：
（1）已知关于x的方程＝1的解为负数，求m的取值范围；
（2）若关于x的分式方程+＝﹣1无解．直接写出n的取值范围．
34．松滋临港贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务，已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资．
（1）求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？
（2）公司制定如下方案，可以单独由甲乙任意一个车主完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司选择一种既省钱又省时的外包方案．
35．为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间比自驾车方式所用的时间的多30分钟．小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米？
36．荷花文化节前夕，我市对观光工程招标时，按照甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费分别为1.5万元和1.2万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案：
①甲队单独做这项工程刚好如期完成．②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天完成．③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
（1）求规定如期完成的天数．
（2）在确保如期完成的情况下，你认为以上三种方案哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由．
37．小聪在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：
a，b表示两个正数，分别把它们作为分子、分母得到两个分式．如果这两个正数的和等于它们的积，即a+b＝ab，那么这两个分式的和比这两个正数的积小2，即比ab小2．
（1）任选两组符合条件a+b＝ab的正数a，b的值；
（2）选（1）中两组a，b值中的一组值，验证小聪的结论：比ab小2；
（3）在一般情况下，验证小聪的结论．
38．阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：＝＝﹣+＝x﹣2+
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
材料2：已知一个能被11整除的个位与百位相同的三位整数100x+10y+x，且1≤x≤4，求y与x的函数关系式．
解：∵＝＝9x+y+，
又∵1≤x≤4，0≤y≤9，∴﹣7≤2x﹣y≤8，还要使为整数，
∴2x﹣y＝0，即y＝2x．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ；
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝ ；
（3）已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的x，y的值．
39．甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
（1）甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为 元；
（2）乙商场定价有两种方案：方案一将该商品提价20%；方案二将该商品提价1元．某顾客发现在乙商场用60元钱购买该商品，按方案一购买的件数是按方案二购买的件数的2倍少10件，求该商品在乙商场的原价是多少？
（3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，a≠b）．请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由．
40．一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可以雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲每次运a吨，乙每次运2a吨；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨，问：
（1）甲车单独运完所有的货物的次数是乙车单独运完所有的货物的次数的几倍？
（2）丙车每次运货量是多少吨？
（3）现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？（按每运1吨付运费10元计算）
41．列方程解决实际问题
运用所学知识解决实际问题
“善用兵者，役不再籍，粮不三载，取用于国，因粮于敌，故军食可足也”“食敌一钟，当吾二十钟”﹣﹣《孙子兵法》
这里的因粮于敌，不是价格的问题，是运输的问题，从自己家里运二十钟，路上的人力物力精力损耗耗费的太多，不如在敌人家里直接吃一钟省事，掠于饶野，三军足食．说明在行军时随军运输物资的消耗是很大的，在北宋沈括的《梦溪笔谈》（卷十一：行军运粮篇）有详细说明．
现假设在古代的战争中，需要为每名士兵配置若干名民夫或骡马来随军运输粮食．假设为10名士兵配置的民夫可以运输200石粮食，士兵和民夫每人每天需要吃四升米．若将民夫替换成骡马且数量不变，每匹骡马每天要吃6升米，但运输的粮食可以增加到500石，同时行军的天数是原来的2倍．请问随10名士兵行军，原来随军的民夫共有多少人？（单位换算：10升＝1斗 10斗＝1石）
42．某大型超市的采购人员先后购进两批晋祠大米，购进第一批大米共花费5400元，进货单价为m元/千克，该超市将其中3000千克优等品以进货单价的两倍对外出售，余下的二等品则以1.5元/千克的价格出售．当第一批大米全部售出后，花费5000元购进了第二批大米，这一次的进货单价比第一批少了0.2元．其中优等品占总重量的一半，超市以2元/千克的单价出售优等品，余下的二等品在这批进货单价的基础上每千克加价0.6元后全部卖完，若不计其他成本，则售完第二批大米获得的总利润是4000元（总售价﹣总进价＝总利润）
（1）用含m的代数式表示第一批大米的总利润．
（2）求第一批大米中优等品的售价．
43．近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看到商机后，决定购进空气净化器进行销售，现有甲、乙两种空气净化器可供选择．
（1）若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300元，且用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同．求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？
（2）在（1）的条件下，该商场准备用18000元来购买甲、乙两种空气净化器中的一种，已知该商场在出售空气净化器时，每台甲种空气净化器的售价为1400元，每台乙种空气净化器的售价为1800元，该商场选用哪种空气净化器能获得更大利润？
44．“郁郁林间桑葚紫，茫茫水面稻苗青”说的就是味甜汁多，酸甜适口的水果﹣﹣桑葚，4月份，水果店的小李用3000元购进了一批桑葚，随后的两天他很快以高于进价40%的价格卖出150kg，到了第三天，他发现剩余的桑葚卖相已不大好，于是果断地以低于进价20%的价格将剩余的全部售出，小李一共获利750元，设小李共购进桑葚xkg．
（1）根据题意完成表格填空：（用含x的代数式表示）
（2）求x．
45．某项工程如果由乙单独完成比甲单独完成多用6天；如果甲、乙先合做4天后，再由乙单独完成，那么乙一共所用的天数刚好和甲单独完成工程所用的天数相等．
（1）求甲单独完成全部工程所用的时间；
（2）该工程规定须在20天内完成，若甲队每天的工程费用是4.5万元，乙队每天的工程费用是2.5万元，请你选择上述一种施工方案，既能按时完工，又能使工程费用最少，并说明理由？
参考答案与试题解析
一．解答题（共45小题）
1．阅读材料，并完成下列问题：
不难求得方程x＝2+的解是x1＝2，；
x＝3+的解是x1＝3，x2＝；
x的解是x1＝4，x2＝；
（1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程x的解是 x1＝a， ．
（2）试用“求出关于x的方程x的解”的方法证明你的猜想；
（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程．
【分析】（1）根据题目中的材料可以直接得到关于x的方程x+＝a+（a≠0）的解；
（2）根据解方程的方法可以求得关于x的方程x+＝a+（a≠0）的解，从而可以证明猜想；
（3）对所求的方程进行变形，变为前面已经猜想证明的方程的形式，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
关于x的方程x+＝a+（a≠0）的解是x1＝a，，
故答案是：x1＝a，；
（2）∵x+＝a+（a≠0），
∴，
∴ax2+a＝（a2+1）x，
∴ax2﹣（a2+1）x+a＝0，
∴（ax﹣1）（x﹣a）＝0，
∴ax﹣1＝0或x﹣a＝0，
解得x1＝a，；
（3）∵＝a+
∴，
∴，
∴，
∴x﹣1＝a﹣1或x﹣1＝，
解得x1＝a，．
【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是明确题意，利用猜想证明的方法解答本题．
2．深化理解：阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
∴解得：．
∴＝x﹣2+．
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 x+7+ ；
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．
【分析】（1）利用题干中的方法进行变形即可得出结论；
（2）利用（1）中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，利用整除性质即可得出结论．
【解答】解：（1）由分母x﹣1，可设x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b，
则x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
∴，
解得：．
∴＝＝x+7+．
故答案为：x+7+．
（2）由分母x﹣3，可设2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b，
则2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b
＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b
＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b，
∵对于任意x上述等式成立，
∴，
解得：．
∴＝＝2x+11+．
∵x为整数，分式的值为整数，
∴为整数，
∴x＝4或16或2或﹣10．
【点评】本题主要考查了分式的加减法，整式的加减，分式的值，本题是阅读型题目，连接题干中的方法并熟练应用是解题的关键．
3．（1）已知b＞a＞0，分式的分子分母都加上1，说明所得分式的值是增大了还是减少了？
（2）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克，（m，n是正数，且m≠n）；甲每次购买800千克；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．
①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元？
②谁的购买方式平均单价较低？
【分析】（1）两分式相减，差与0比较，并讨论是增是减；
（2）①根据题意分别求出甲、乙所购饲料的平均单价；
②由①得甲、乙所购饲料的平均单价，甲、乙平均单价的式子相减，差与0比较，判断大小．
【解答】解：（1）﹣
＝﹣
＝，
∵b＞a＞0，
∴b2+b＞0，a﹣b＜0，
∴＜0，
∴说明所得分式的值是增大了；
（2）①甲所购饲料的平均单价是：＝（元/千克）；
乙所购饲料的平均单价是：＝（元/千克）；
②﹣
＝﹣
＝，
∵m，n是正数，且m≠n，
∴＞0，
∴＞，
∴乙所购饲料的平均单价低．
【点评】本题考查了分式的加减运算和分式比较大小，解题的关键是掌握分式的基本性质．
4．已知x2﹣3x+1＝0，求下列各式的值．
（1）x2+；
（2）x4+．
【分析】（1）先根据题意得出x2＝3x﹣1，再根据分式的运算法则把原式进行化简，再把x2的值代入进行计算即可；
（2）根据完全平方根式得x4+＝（x2+）2﹣2，再把（1）中的结果代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2＝3x﹣1，
∴x2+
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝7；
（2）x4+
＝（x2+）2﹣2
＝72﹣2
＝47．
【点评】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练运用完全平方公式和整体代换是解答此题的关键．
5．已知：＝，＝，＝．求代数式a+b+c的值．
【分析】首先取倒数组成三元一次方程组，再解方程组可得答案．
【解答】解：∵＝，＝，＝，
∴，，，
组成方程组为：
，
解得：a＝1，b＝2，c＝3，
所以a+b+c＝1+2+3＝6．
【点评】本题考查分式的混合运算，借助倒数的定义转化为三元一次方程组是解题关键．
6．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如＝＝+＝1+，＝＝a﹣1+，
则和都是“和谐分式”．
（1）下列各式中，属于“和谐分式”的是： ①③④ （填序号）；
①；②；③；④
（2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：
＝ ．
（3）应用：已知方程组有正整数解，求整数m的值．
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义可判定求解；
（2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解；
（3）先解方程组，再根据方程组的解为正整数可求解．
【解答】解：（1）①＝，故是和谐分式；
②＝，故不是和谐分式；
③＝，故是和谐分式；
④＝，故是和谐分式；
故答案为①③④；
（2）＝＝＝，
故答案为；
（3）解方程组得，
∵方程组有正整数解，
即且m+2能被5整除，
解得m＝﹣1或﹣7．
【点评】本题主要考查分式，属于新定义题，理解题意是解题的关键．
7．阅读下面材料，并解答问题．
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b．
则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b
∴，∴
∴＝＝﹣＝（x2+2）﹣
这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式﹣的和．
根据上述作法，将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
【分析】根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可．
【解答】解：
＝
＝x2+7﹣．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
如分式A＝，B＝，A﹣B＝﹣（）＝＝＝2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）已知分式C＝，D＝，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
（2）已知分式P＝，Q＝，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；
（3）已知分式M＝，N＝（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a﹣b+c的值．
【分析】（1）根据定义即判断．
（2）根据定义，计算出E的代数式，然后分析P，即可找到所有的x的值，即可求值．
（3）根据题意建立等式后，然后化简，再进行分类讨论即可找到a、b、c的值，即可求解了．
【解答】（1）C不是D的“雅中式”，理由如下，
＝
＝．
即：C不是D的“雅中式”．
（2）．
∵P是Q的雅中式．
又∵P关于Q的雅中值为2．
∴E﹣2x2﹣6x＝2（9﹣x2）．
∴E＝6x+18．
∴P＝＝＝．
∵P的值也为整数，且分式有意义．
故3﹣x＝±1，或3﹣x＝±2，或3﹣x＝±3，或3﹣x＝±6且x≠﹣3，
∴x的值为：0，1，2，4，5，6，9．
符合条件的x的值之和为：0+1+2+4+5+6+9＝27．
（3）∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1．
＝1．
整理得：（﹣b﹣c+a+4）x+bc﹣5a＝0．
由上式子恒成立，则：．
消去a得：bc﹣5b﹣5c+20＝0．
∴b（c﹣5）﹣5（c﹣5）＝5．
∴b（c﹣5）＝5（c﹣4），
∴b＝，
∵a、b、c的整数．
∴c﹣4、c﹣5是L连续整数．
当c﹣4＝2、c﹣5＝1时，b＝10，c＝6，a＝12
∴a﹣b+c＝8．
当c﹣4＝0、c﹣5＝﹣1时，c＝4，b＝0，a＝0．
∴a﹣b+c＝4．
当c﹣4＝4，c﹣5＝5时，c＝10，b＝6，a＝12，
∴a﹣b+c＝16．
当c﹣4＝﹣4，c﹣5＝﹣5时，c＝0，b＝4，a＝0，
∴a﹣b+c＝﹣4
综上：a﹣b+c的值为：8或4或16或﹣4．
【点评】本题考查了分式的化简，根据题意写出等式是关键，然后利用分式的性质进行演算和分析．本题难度比较大．
9．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：∵，∴
即∴∴
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则∴
根据材料回答问题：
（1）已知，则＝ 3 ．
（2）解分式方程组：
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值．
【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，化简即可；
（2）仿照材料一，取倒数，再约分．利用加减消元法求解即可；
（3）先化简已知条件，将x和z用y表示出来，再代入式子＝，用含b的式子表示出x，y，z，再相乘化简即可．
【解答】解：（1）∵
∴
即x﹣1+＝2
∴x+＝3
故答案为：3．
（2）∵
∴
∴
∴①×2﹣②×3得
＝
∴m＝﹣75 ③
将③代入①得+＝
解得n＝
经检验，m＝﹣75，n＝是原方程的解
∴原方程的解是m＝﹣75，n＝．
（3）∵，x≠0，y≠0，z≠0，
∴＝，＝
∴＝，＝
∴＝，＝
∴x＝，z＝
将上式代入＝，化简得
＝
∴y＝
∴x＝•＝
z＝•＝
又∵abc＝5
∴xyz＝
∴xyz的值为．
【点评】本题考查了给材料阅读，然后仿做并探索较为复杂的化简计算题型，难度较大．
10．因为＝1﹣，＝﹣，…，＝﹣，
所以++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．
解答下列问题：
（1）在和式+++…中，第九项是 ；第n项是 ．
（2）解方程++…+＝1﹣．
【分析】（1）归纳总结得到第九项，确定出第n项即可；
（2）方程利用拆项法变形，计算即可求出解．
【解答】解：（1）第九项为；第n项是；
（2）方程整理得：﹣+﹣+…+﹣＝1﹣，
整理得：﹣＝1﹣，即＝1，
解得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
故答案为：（1）；
【点评】此题考查了解分式方程，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．阅读下列解题过程：
已知＝，求的值．
解：由＝，知x≠0，所以＝3，即x+＝3．
∴＝x2+＝﹣2＝32﹣2＝7．
∴的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知＝，求的值．
（2）已知＝2，＝，＝，求的值．
【分析】（1）已知等式变形求出x+的值，原式变形后，将x+的值代入计算即可；
（2）已知三等式变形后相加求出++的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）由＝，得到＝x+﹣1＝7，即x+＝8，
则原式＝＝＝＝；
（2）根据题意得：＝+＝，＝+＝，＝+＝，
可得++＝1，
则原式＝＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．阅读下列材料：
关于x的方程：x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；
x﹣＝c﹣（可变形为x+＝c+）的解为：x1＝c，x2＝；
x+＝c+的解为：x1＝c，x2＝；
x+＝c+的解为：x1＝c，x2＝；……
（1）①方程x+＝2+的解为 x1＝2，x2＝ ，
②方程x﹣1+＝2+的解为 x1＝3，x2＝ ；
（2）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+＝c+（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（3）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接求解．请用这个结论解关于x的方程：x+＝a+（a≠1）．
【分析】（1）①由x+＝2+，根据题意即可求解；
②由x﹣1+＝2+，根据题意即可求解；
（2）由（1）的形式即可猜想方程的解；代入原方程判断能否是方程两边相等即可；
（3）先将原方程转化为：x﹣1+＝a﹣1+的形式，然后得到：x﹣1＝a﹣1和x﹣1＝，然后解得即可．
【解答】解：（1）①方程x+＝2+的解为x1＝2，x2＝，
②方程x﹣1+＝2+的解为x1＝3，x2＝；
（2）关于x的方程x+＝c+（m≠0）的解为x1＝c，x2＝，
验证：当x＝c时，方程左边＝c+＝右边，
∴x＝c是原方程的解；
当x＝时，方程左边＝+＝c+＝右边，
∴x＝是原方程的解；
（3）方程整理得：x﹣1+＝a﹣1+，
由题意可得：x﹣1＝a﹣1或x﹣1＝，
解得x1＝a，x2＝．
【点评】此题考查了分式方程的解，解题的关键是：将方程转化为：x+＝c+的形式．
13．（1）已知A＝，B＝，若A＝B，求a、b之间的关系式；
（2）已知a、b、c都是正数，P＝，Q＝，若P＝Q，那么a、b、c之间有什么关系？试证明你的结论．
【分析】（1）根据A＝B，确定出a与b的关系式即可；
（2）根据P＝Q确定出abc的关系式，验证即可．
【解答】解：（1）由A＝B，得到+＝+，即（﹣）+（﹣）＝0，
整理得：＝0，即1﹣ab＝0，
则ab＝1（a≠﹣1且b≠﹣1）；
（2）由P＝Q得：++＝++，即（﹣）+（﹣）+（﹣）＝0，
整理得：（1﹣abc）[++]＝0，
∵a，b，c都是正数，
∴1﹣abc＝0，即abc＝1．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．先化简（﹣1），然后从﹣2≤x＜2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝3+3x，
∵﹣2≤x＜2且x为整数，
∴当x＝﹣2时，原式＝3﹣6＝﹣3．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．先化简代数式：，然后再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个你喜欢的整数作为x值代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中式子，然后在﹣2＜x≤2中选取一个使得原分式有意义的整数代入即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝2时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
16．阅读下面材料，并解答相应的问题：
（1）请将材料中r＝0时欧拉公式的证明过程补充完整；
（2）请从下面A，B两题中任选一题进行解答，我选择 A或B 题．
A：写出当r＝2时的欧拉公式，并任选一组a、b、c的值，对该公式当r＝2时的情形进行验证；
B：①写出当r＝1时的欧拉公式，并证明；②利用欧拉公式直接写出﹣20173+的结果．
【分析】（1）根据r＝0时欧拉公式等于0，验证即可；
（2）选择A时，写出r＝2时欧拉公式，选择a，b，c的值，验证即可；
选择B时，①写出r＝1时欧拉公式，并验证；②利用欧拉公式求出原式的值即可．
【解答】解：（1）左边＝﹣+＝＝0；
（2）A：当r＝2时，公式为++＝1，
验证：当a＝1，b＝2，c＝3时，左边＝++＝﹣+＝1，右边＝1，
∴左边＝右边，即等式成立；
B、①当r＝1时，公式为++＝0，
证明：左边＝＝0，右边＝0，
∴左边＝右边，即等式成立；
②当r＝3时，原式＝6051．
故答案为：A或B
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（1）化简；
（2）已知＝，用含a的式子表示．
【分析】（1）对分母进行通分运算，然后约分得结果；
（2）利用等式的性质，把方程转化为a＝x2+，右边配方，开平方求倒数得结果．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝
＝1；
（2）因为＝
所以x2a+x2＝x4+x2+1
即a＝x2+
等式的两边都加2，得a+2＝x2+2+
即a+2＝（x+）2
所以＝
所以
＝±
【点评】本题考查了分式的化简、分式方程的变形．解决（1）还可利用分式的基本性质，解决（2）的关键是配方．
18．阅读材料：
关于x的方程：x+的解为：x1＝a，x2＝，x﹣（可变形为x+）的解为：x1＝a，x2＝，x+的解为：x1＝a，x2＝，x+的解为：x1＝a，x2＝
…
根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程x+的解为 x＝2或x＝ ．
②方程x﹣1+的解为 x＝4或x＝ ．
（2）解关于x方程：
①x+（a≠1）
②x﹣（a≠2）
【分析】（1）本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解．
（2）本题要求的方程和题目给出的例子中的方程形式不一致，可先将所求的方程进行变形．变成式子中的形式后再根据给出的规律进行求解．
【解答】解：（1）①根据题意知x＝2或x＝；
②根据题意知x﹣1＝3或x﹣1＝，即x＝4或x＝；
故答案为：①x＝2或x＝；②x＝4或x＝；
（2）①∵x+（a≠1）
∴x﹣1+＝a﹣1+（a≠1）
则x﹣1＝a﹣1或x﹣1＝，
解得：x＝a或x＝；
②∵x﹣（a≠2），
∴x﹣2+＝a﹣2+，
则x﹣2＝a﹣2或x﹣2＝，
解得：x＝a或x＝．
【点评】本题考查了分式方程的解，要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意套用列子中的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致．
19．已知a、b、c为实数，且＝，＝，＝，求的值．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵＝，＝，＝，
∴＝3，＝4，＝5，
∴上述三式相加可得：++＝12，
∴＝6，
∴＝6，
∴，
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于中等题型．
20．已知三个数x、y、z满足＝﹣2，＝，＝﹣，求的值．
【分析】已知三等式变形后相加，求出倒数即可求出所求式子的值．
【解答】解：由已知条件可得：、＝、＝﹣，
即+＝﹣、+＝、+＝﹣，
三式相加得：++＝﹣，
∴++＝﹣，
∴＝﹣，
∴＝﹣4．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．解方程．
【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程整理得：+﹣+﹣+…+﹣＝2，
即＝2，
去分母得：2x+2＝1，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22．先化简：，然后在﹣1、0、1、2、3中选一个a的值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后取使得分式有意义的a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝×﹣
＝﹣
＝
当a＝2时，原式＝2，
或当a＝3时，原式＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
23．为建设“美丽乡村”，需要对某村居民的自来水管进行改造，该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需时间是规定天数的1.5倍，如果由甲、乙两队先合做10天，那么余下的工程由乙队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3600元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成，则该工程施工费用是多少？
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天，乙队单独施工需要1.5x天，根据甲队工作10天、乙队工作15天可完成整个工程，可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）由甲、乙两队每日完成的工作量可求出甲、乙两队合作完成工程所需的时间，再根据总费用＝每日费用×工作时间即可求出该工程施工费用．
【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天，乙队单独施工需要1.5x天，
根据题意得：+＝1，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解．
答：这项工程的规定时间是20天．
（2）甲、乙两队合作完成所需的时间：1÷（+）＝12（天），
该工程所需施工费用：（6500+3600）×12＝121200（元）．
答：该工程施工费用是121200元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．
24．阅读下面一封求助信，并完成信中所提出的问题：
下面这几道分式求值题，我百思不得其解，渴望得到你的解答，望早日回复．
第一题：已知x2﹣3x+2＝0，试求×+÷的值．
我的困惑：已知条件的一个一元二次方程，我还没有学习，算不出x的值，这道题我放弃了．
第二题：已知x＝2012﹣5，求÷（1+）的值．
我的困惑：将x的值代入分式，计算太繁琐我无法做下去．
第三题：已知p可能等于﹣2，﹣1，0，1，2，从中任取一个代入式子（1+）÷中求值．
我的困惑：做这道题我本来很自信，化简后的式子是，我知道已知的几个数中P不能取1，所以取P＝0，求出结果是﹣2，老师却给我判了个零分．
【分析】第一题：根据分式的混合运算法则，化简后利用整体代入的思想即可；
第二题：根据分式的混合运算法则化简后的值与x的取值无关；
第三题：根据分式的混合运算法则化简即可，注意p的取值使得分式有意义；
【解答】解：第一题：×+÷
＝×+•x
＝x+x2﹣4x
＝x2﹣3x，
∵x2﹣3x+2＝0，
∴x2﹣3x＝﹣2，
∴原式＝x2﹣3x＝﹣2；
第二题；÷（1+）
＝÷
＝•
＝．
∴最后结果与x的取值无关．
第三题：（1+）÷
＝×
＝，
∵p≠±2，p≠1，p≠0，
∴p＝﹣1，
∴原式＝﹣．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则，需要注意最后结果化成最简分式或整式．
25．运用分式方程，解决下面问题：
为改善城市排水系统，某市需要新铺设一段全长为3 000m的排水管道．为了减少施工对城市交通的影响，实际施工时每天的工效是原计划的1.2倍，结果提前5天完成这一任务．
（1）这个工程队原计划每天铺设管道多少m？
（2）填空：在这项工程中，如果要求工程队提前6天完成任务，那么实际施工时每天的工效比原计划增加 25% （填百分数，不写过程）．
【分析】（1）设这个工程队原计划每天铺设管道xm，则可表示出原计划用的时间和实际用的时间，由题意可列出方程，可求得答案；
（2）可求得原计划用的天数，则进一步可求得实际每天的铺设长度，比较可求得答案．
【解答】解：
（1）设这个工程队原计划每天铺设管道x m，
根据题意，得 ，
解得x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，
答：这个工程队原计划每天铺设管道100 m；
（2）由（1）可知原计划所用天数为：＝30天，
∴提前6天完成，用时为：30﹣6＝24天，
∴实际每天铺设管道长度＝＝125（m），
∴100%＝25%，
故答案为：25%．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，由题意找到等量关系，列出方程是解题的关键．
26．某商厦进货员预测一种儿童玩具能畅销市场，就用4万元购进．这种玩具面市后，果然供不应求．商厦又用8.8万元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了2元．
（1）问购进第一批玩具数量是多少？
（2）若商厦销售这种玩具时每个定价都是38元，最后剩下100个玩具按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？
【分析】（1）设第一批购进x个玩具，则第二批购进了2x个，根据题意找出等量关系即第二批玩具的单价﹣第一批玩具的单价＝2元，列出方程，解方程即可求解；
（2）分别求出第一批购进玩具的单价，第二批购进玩具的单价，再根据盈利＝销售价﹣成本价即可求解．
【解答】解：（1）设第一批购进x个玩具，则第二批购进了2x个，
依题意可得：﹣＝2，
解得x＝2000．
经检验x＝2000是方程的解，
答：购进第一批玩具数量是2000个；
（2）2x＝2×2000＝4000，
40000÷2000＝20（元），
20+2＝22（元），
38×（2000+4000﹣100）+38×0.8×100﹣40000﹣88000
＝38×5900+3040﹣128000
＝224200+3040﹣128000
＝99240（元）．
答：在这两笔生意中，商厦共盈利99240元．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中的等量关系．注意：求出的结果必须检验且还要看是否符合题意．
27．“五一”期间，某商铺经营某种旅游纪念品．该商铺第一次批发购进该纪念品共花费2000元，很快全部售完．接着，该商铺第二次批发购进该纪念品共花费6000元．已知第二次所购进该纪念品的数量是第一次的2倍还多100个，第二次的进价比第一次的进价提高了20%．
（1）求第一次购进该纪念品的进价是多少元？
（2）若该纪念品的两次售价均为15元/个，两次所购纪念品全部售完后，求该商铺两次共盈利多少元？
【分析】（1）设第一次购进的纪念品的进价是x元，根据等量关系：第二次所购进该纪念品的数量是第一次的2倍还多100个，可列方程求解．
（2）求出两次的购进数，根据利润＝售价﹣进价，可求出结果．
【解答】解：（1）设第一次购进的纪念品的进价是x元，依题意有
，
解得x＝10，
经检验符合题意．
答：第一次购进该纪念品的进价是10元．
（2）第一次购进：2000÷10＝200（个），
第二次购进：6000÷（10+10×20%）＝500（个），
获利；（200+500）×15﹣2000﹣6000＝2500（元）．
答：该商铺两次共盈利2500元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
28．先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+＝2+的解为x1＝2，x2＝；
方程x+＝3+的解为x1＝3，x2＝；
方程x+＝4+的解为x1＝4，x2＝；
…
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+＝6+的解是 x1＝6，x2＝ ；
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+＝a+的解是 x1＝a，x2＝ ；
（3）由（2）可知，在解方程：y+＝时，可以变形转化为x+＝a+的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
（4）利用（2）的结论解方程：+＝．
【分析】（1）根据已知材料即可得出答案；
（2）根据已知材料即可得出答案；
（3）把方程转化成（y+1）+＝3+，由材料得出y+1＝3，y+1＝，求出方程的解即可；
（4）利用换元法，转化为材料中的规律解答．
【解答】解：（1）关于x的方程x+＝6+的解是：x1＝6，x2＝，
故答案为：x1＝6，x2＝；
（2）关于x的方程x+＝的解是：x1＝a，x2＝，
故答案为：x1＝a，x2＝；
（3）y+＝，
y+＝，
y+1+＝3+，
（y+1）+＝3+，
即y+1＝3，y+1＝，
解得：y1＝2，y2＝﹣；
（4）令＝m，则方程+＝可化为m+＝4+，
由（2）规律可得，m1＝4，m2＝；
即＝4或＝，
解得x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了分式方程的解和解分式方程的应用，解此题的关键是找出材料中隐含的规律，通过做此题培养了学生的阅读能力和理解能力．
29．先阅读下列解法，再解答后面的问题．
已知＝+，求A、B的值．
解法一：将等号右边通分，再去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），
即：3x﹣4＝（A+B）x﹣（2A+B），
∴．
解得．
解法二：在已知等式中取x＝0，有﹣A+＝﹣2，整理得
2A+B＝4；
取x＝3，有+B＝，整理得
A+2B＝5．
解，
得：．
（1）已知，用上面的解法一或解法二求A、B的值．
（2）计算：
[]（x+11），并求x取何整数时，这个式子的值为正整数．
【分析】（1）根据方法一可得11x＝A（4﹣3x）+B（x+6），即11x＝（﹣3A+B）x+（4A+6B），得出，解之可得答案；
（2）裂项求解可得原式＝，由式子的值为正整数知x﹣1＝1、2、3、6，从而得出答案．
【解答】解：（1）等号右边通分、再去分母，得：11x＝A（4﹣3x）+B（x+6），
即11x＝（﹣3A+B）x+（4A+6B），
∴，
解得：；
（2）原式＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）×（x+11）
＝×（﹣）×（x+11）
＝××（x+11）
＝，
∵式子的值为正整数，
∴x﹣1＝1、2、3、6，
则x＝2、3、4、7．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则及裂项求解的方法是解题的关键．
30．为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，则甲队的工效为，乙队的工效为，由已知得：甲队工作了30天，乙队工作了10天完成，列方程得：+＝1，解出即可，要检验；
（2）根据（1）中所求得出甲、乙合作需要的天数，进而求出总费用，即可得出答案．
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，
依题意得：+＝1，
解得x＝20，
检验，当x＝20时，3x≠0，
所以原方程的解为x＝20．
所以3x＝3×20＝60（天）．
答：乙队单独完成这项工程需20天，则甲队单独完成这项工作所需天数是60天；
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有y（+）＝1，
解得y＝15．
需要施工的费用：15×（15.6+18.4）＝510（万元）．
∵510＞500，
∴工程预算的费用不够用，需要追加预算10万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，属于工程问题，明确三个量：工作总量、工作效率、工作时间，一般情况下，根据已知设出工作时间，根据题意表示出工效，找等量关系列分式方程，本题表示等量关系的语言叙述为：“甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成”．
31．已知（A、B、C是常数），求A、B、C的值．
【分析】首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解求得的值，继而可得方程组：，解此方程组即可求得答案．
【解答】解：∵＝
＝＝，
∴，
解得：，
∴A、B、C的值分别为：﹣，，﹣．
【点评】此题考查了分式的加减运算法则与三元一次方程组的解法．此题难度适中，注意掌握整式相等的条件是解此题的关键．
32．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？
【分析】（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间等于扶梯走（2a+b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a+b）级的时间，据此列出方程组，求出x的值即可；
（2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶梯（m﹣1）遍、走过楼梯（n﹣1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y＝2x代入，可得6n+m＝16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m﹣n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果．
【解答】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．
由题意得：，
①÷②得：，
整理得：b＝2a，
代入②得x＝48．
答：扶梯露在外面的部分有48级；
（2）设追上乙时，甲扶梯走了m遍，楼梯走了n遍，则乙走扶梯（m﹣1）遍，走楼梯（n﹣1）遍．
由题意得：，
整理得：m+6n＝16，
这里m，n中必有一个是整数，且0≤m﹣n≤1．
①若m为整数，则，∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合条件）（不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去）
②若n为整数，m＝16﹣6n，∴，这些均不符合要求，∴，此时，甲在楼梯上．
他已走动的级数是（级）．
【点评】本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．
33．阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程+＝1的解为正数，求a的取值范围？
经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决．
小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．
老师说：小强所说完全正确．
请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明： 小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件 ．
完成下列问题：
（1）已知关于x的方程＝1的解为负数，求m的取值范围；
（2）若关于x的分式方程+＝﹣1无解．直接写出n的取值范围．
【分析】考虑分式的分母不为0，即分式必须有意义；
（1）表示出分式方程的解，由解为负数确定出m的范围即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n的范围即可．
【解答】解：请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；
（1）解关于x的分式方程得，x＝，
∵方程有解，且解为负数，
∴，
解得：m＜且m≠﹣；
（2）分式方程去分母得：3﹣2x+nx﹣2＝﹣x+3，即（n﹣1）x＝2，
由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，
代入整式方程得：n＝；
当n﹣1＝0时，整式方程无解，此时n＝1，
综上，n＝1或n＝．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
34．松滋临港贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务，已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资．
（1）求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？
（2）公司制定如下方案，可以单独由甲乙任意一个车主完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司选择一种既省钱又省时的外包方案．
【分析】（1）设甲车主每天能运输x吨货物，则乙车主每天能运输1.5x吨货物，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据工作时间＝工作总量÷工作效率及总费用＝每日所需费用×运输天数，分别求出甲车主单独完成、乙车主单独完成及甲、乙两车主合作完成所需时间及总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲车主每天能运输x吨货物，则乙车主每天能运输1.5x吨货物，
根据题意得：﹣＝10，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝24．
答：甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物．
（2）甲车主单独完成所需时间为480÷16＝30（天），
乙车主单独完成所需时间为480÷24＝20（天），
甲、乙两车主合作完成所需时间为480÷（16+24）＝12（天），
甲车主单独完成所需费用为30×（800+200）＝30000（元），
乙车主单独完成所需费用为20×（1200+200）＝28000（元），
甲、乙两车主合作完成所需费用为12×（800+1200+200）＝26400（元）．
∵30000＞28000＞26400，30＞20＞12，
∴该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）分别求出三种外包方案所需时间及总费用．
35．为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间比自驾车方式所用的时间的多30分钟．小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米？
【分析】设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，则他用自驾车的方式平均每小时行驶（x+45）千米，则利用骑公共自行车方式所用的时间比自驾车方式所用的时间的多30分钟列方程＝+，然后解分式方程确定x的值．
【解答】解：设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，
根据题意得＝+，
化为整式方程得x2+45x﹣900＝0，解得x1＝﹣60，x2＝15，
经检验x1＝﹣60，x2＝15都是原方程的解，
而x＝﹣60＜0，故舍去，
所以x＝15．
答：小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶15千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用：列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．
36．荷花文化节前夕，我市对观光工程招标时，按照甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费分别为1.5万元和1.2万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案：
①甲队单独做这项工程刚好如期完成．②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天完成．③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
（1）求规定如期完成的天数．
（2）在确保如期完成的情况下，你认为以上三种方案哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由．
【分析】（1）设工程期为x 天，则甲队单独完成用x 天，乙队单独完成用（x+5 ）天，由“若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成”列出方程并解答．
（2）再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．
【解答】（1）解：设工程期为x 天，则甲队单独完成用x 天，乙队单独完成用（x+5 ）天．
+＝1
解得x＝20，
经检验：x＝20是原方程的解，且适合题意，
答：按规定用20天如期完成；
（2）在不耽误工期的情况下，有方案（1）和方案（3）两种方案合乎要求，
但方案（1）需工程款1.5×20＝30 （万元），
方案（3）需工程款1.5×4+1.2×20＝30（万元），
因为 30＝30，
故方案（1）（3）最节省工程款且不误期．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．
37．小聪在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：
a，b表示两个正数，分别把它们作为分子、分母得到两个分式．如果这两个正数的和等于它们的积，即a+b＝ab，那么这两个分式的和比这两个正数的积小2，即比ab小2．
（1）任选两组符合条件a+b＝ab的正数a，b的值；
（2）选（1）中两组a，b值中的一组值，验证小聪的结论：比ab小2；
（3）在一般情况下，验证小聪的结论．
【分析】（1）根据条件取值即可；
（2）根据a、b的值，求出与ab的值即可判断；
（3）求出﹣ab的值即可；
【解答】解：（1）a＝2，b＝2或a＝3，b＝；
（2）当a＝2，b＝2时，
∵＝2，ab＝4，
∴比ab小2．
（3）∵a+b＝ab，
∴﹣ab＝＝＝﹣2，
∴比ab小2；
【点评】本题考查分式的加减、解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
38．阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：＝＝﹣+＝x﹣2+
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
材料2：已知一个能被11整除的个位与百位相同的三位整数100x+10y+x，且1≤x≤4，求y与x的函数关系式．
解：∵＝＝9x+y+，
又∵1≤x≤4，0≤y≤9，∴﹣7≤2x﹣y≤8，还要使为整数，
∴2x﹣y＝0，即y＝2x．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 x+7+ ；
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝ 2或4或﹣10或16 ；
（3）已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的x，y的值．
【分析】（1）将分子x2+6x﹣3化为（x﹣1）（x+7）+4，依据题意可得；
（2）将分子2x2+5x﹣20化为（x﹣3）（2x+11）+13，依题意可得；
（3）由题意得出＝6061+30x+3y+，即可知10x+y+4为33的倍数，据此可得．
【解答】解：（1）＝
＝
＝
＝x+7+，
故答案为：x+7+；
（2）＝
＝
＝
＝2x+11+，
∵分式的值为整数，
∴是整数，
∴x﹣3＝±1或x﹣3＝±13，
解得：x＝2或4或﹣10或16，
故答案为：2或4或﹣10或16；
（3）＝
＝
＝6061+30x+3y+，
∵整数能被33整除，
∴为整数，即10x+y+4＝33k，（k为整数），
当k＝1时，x＝2、y＝9符合题意；
当k＝2时，x＝6、y＝2符合题意；
当k＝3时，x＝9、y＝5符合题意．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．
39．甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
（1）甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为 1 元；
（2）乙商场定价有两种方案：方案一将该商品提价20%；方案二将该商品提价1元．某顾客发现在乙商场用60元钱购买该商品，按方案一购买的件数是按方案二购买的件数的2倍少10件，求该商品在乙商场的原价是多少？
（3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，a≠b）．请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出算式，计算即可得到结果；
（2）设该商品在乙商场的原价为x元，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，经检验即可得到结果；
（3）根据题意表示出甲乙两商场提价后的价格，比较即可得到结果．
【解答】解：（1）1.25÷（1+25%）＝1（元）；
故答案为：1；
（2）设该商品在乙商场的原价为x元，
根据题意得：＝﹣10，
解得：x＝1或x＝5，
经检验：x＝1与x＝5满足方程，符合实际，
答：该商品在乙商场的原价为1元或5元；
（3）若原价为1元，则
甲商场两次提价后的价格为：（1+a）（1+b）＝1+a+b+ab．
乙商场两次提价后的价格为：（1+）2＝1+a+b+（）2，
∵（）2﹣ab＝（）2＞0，
∴乙商场两次提价后价格较多；
若原价为5元，同理可得乙商场两次提价后价格较多．
【点评】此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
40．一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可以雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲每次运a吨，乙每次运2a吨；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨，问：
（1）甲车单独运完所有的货物的次数是乙车单独运完所有的货物的次数的几倍？
（2）丙车每次运货量是多少吨？
（3）现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？（按每运1吨付运费10元计算）
【分析】（1）根据“甲每次运a吨，乙每次运2a吨”甲的效率应该为，乙的效率应该为，那么可知乙车每次货运量是甲车的2倍；
（2）设丙车每次运货量是y吨，根据货物的重量是一定的列出方程求解即可；
（3）本题的关键是求出甲乙丙各自运的吨数，根据“若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨”这两个等量关系来列方程．
【解答】解：设这批货物共有T吨，甲车运t甲次，乙车运t乙次，
（1）∵a•t甲＝T，2a•t乙＝T，
∴t甲：t乙＝2：1，即乙车每次货运量是甲车的2倍，
∴甲车单独运完所有的货物的次数是乙车单独运完所有的货物的次数的2倍；
（2）设丙车每次运货量是y吨，依题意有
•y+180＝•y+270，
解得y＝2a，
经检验，y＝2a是原方程的解．
答：丙车每次运货量是2a吨．
（3）由题意列方程：＝，
∴＝，
解得T＝540．
∵甲车运180吨，丙车运540﹣180＝360吨，
∴丙车每次运货量也是甲车的2倍，
∴甲车车主应得运费540××10＝1080（元），
乙、丙车车主各得运费540××10＝2160（元）．
【点评】考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．
41．列方程解决实际问题
运用所学知识解决实际问题
“善用兵者，役不再籍，粮不三载，取用于国，因粮于敌，故军食可足也”“食敌一钟，当吾二十钟”﹣﹣《孙子兵法》
这里的因粮于敌，不是价格的问题，是运输的问题，从自己家里运二十钟，路上的人力物力精力损耗耗费的太多，不如在敌人家里直接吃一钟省事，掠于饶野，三军足食．说明在行军时随军运输物资的消耗是很大的，在北宋沈括的《梦溪笔谈》（卷十一：行军运粮篇）有详细说明．
现假设在古代的战争中，需要为每名士兵配置若干名民夫或骡马来随军运输粮食．假设为10名士兵配置的民夫可以运输200石粮食，士兵和民夫每人每天需要吃四升米．若将民夫替换成骡马且数量不变，每匹骡马每天要吃6升米，但运输的粮食可以增加到500石，同时行军的天数是原来的2倍．请问随10名士兵行军，原来随军的民夫共有多少人？（单位换算：10升＝1斗 10斗＝1石）
【分析】设：随10名士兵行军，原来随军的民夫共有x人，根据题意得方程即可得到结论．
【解答】解：设：随10名士兵行军，原来随军的民夫共有x人，
根据题意得，2×＝，
解得：x＝10，
经检验x＝10是方程的根，
答：随10名士兵行军，原来随军的民夫共有10人．
【点评】本题考查了方式方程的应用，正确的列方程是解题的关键，
42．某大型超市的采购人员先后购进两批晋祠大米，购进第一批大米共花费5400元，进货单价为m元/千克，该超市将其中3000千克优等品以进货单价的两倍对外出售，余下的二等品则以1.5元/千克的价格出售．当第一批大米全部售出后，花费5000元购进了第二批大米，这一次的进货单价比第一批少了0.2元．其中优等品占总重量的一半，超市以2元/千克的单价出售优等品，余下的二等品在这批进货单价的基础上每千克加价0.6元后全部卖完，若不计其他成本，则售完第二批大米获得的总利润是4000元（总售价﹣总进价＝总利润）
（1）用含m的代数式表示第一批大米的总利润．
（2）求第一批大米中优等品的售价．
【分析】（1）用总销售额减去成本即可求出毛利润；
（2）设第一批进货单价为m元/千克，则第二批的进货单价为（m﹣0.2）元/千克，根据第二批大米获得的毛利润是4000元，列方程求解．
【解答】解：（1）由题意得，总利润为：3000×2m+1.5×（﹣3000）﹣5400
＝6000m+﹣9900；
（2）设第一批进货单价为m元/千克，
由题意得，××2+××（m﹣0.2+0.6）﹣5000＝4000，
解得：m＝1.2，
经检验：m＝1.2是原分式方程的解，且符合题意．
则售价为：2m＝2.4．
答：第一批大米中优等品的售价是2.4元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
43．近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看到商机后，决定购进空气净化器进行销售，现有甲、乙两种空气净化器可供选择．
（1）若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300元，且用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同．求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？
（2）在（1）的条件下，该商场准备用18000元来购买甲、乙两种空气净化器中的一种，已知该商场在出售空气净化器时，每台甲种空气净化器的售价为1400元，每台乙种空气净化器的售价为1800元，该商场选用哪种空气净化器能获得更大利润？
【分析】（1）设每台甲种空气净化器为x元，乙种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同，列方程求解；
（2）分别求出甲种空气净化器的利润，乙种空气净化器的利润为，再比较即可．
【解答】解：设每台甲种空气净化器为x元，乙种净化器为（x+300）元，
由题意得，＝，
解得：x＝1200，
经检验x＝1200是原方程的解，
则x+300＝1500（元），
答：每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
（2）∵甲种空气净化器的利润为：×（1400﹣1200）＝3000元，
乙种空气净化器的利润为：×（1800﹣1500）＝3600元，
∴该商场选用乙种空气净化器能获得更大利润．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．
44．“郁郁林间桑葚紫，茫茫水面稻苗青”说的就是味甜汁多，酸甜适口的水果﹣﹣桑葚，4月份，水果店的小李用3000元购进了一批桑葚，随后的两天他很快以高于进价40%的价格卖出150kg，到了第三天，他发现剩余的桑葚卖相已不大好，于是果断地以低于进价20%的价格将剩余的全部售出，小李一共获利750元，设小李共购进桑葚xkg．
（1）根据题意完成表格填空：（用含x的代数式表示）
（2）求x．
【分析】先设小李所进桑葚的数量为x（kg），根据前后一共获利750元，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．
【解答】解：（1）设小李所进桑葚的数量为x（kg），故答案为：①；②；③x﹣150；
（2）设小李所进桑葚的数量为x（kg），根据题意得：
解得：x＝200，
经检验x＝200是原方程的解，
答：小李共购进200kg桑葚．
【点评】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，解分式方程时要注意检验．
45．某项工程如果由乙单独完成比甲单独完成多用6天；如果甲、乙先合做4天后，再由乙单独完成，那么乙一共所用的天数刚好和甲单独完成工程所用的天数相等．
（1）求甲单独完成全部工程所用的时间；
（2）该工程规定须在20天内完成，若甲队每天的工程费用是4.5万元，乙队每天的工程费用是2.5万元，请你选择上述一种施工方案，既能按时完工，又能使工程费用最少，并说明理由？
【分析】（1）利用总工作量为1，分别表示出甲、乙完成的工作量进而得出等式求出答案；
（2）分别求出甲、乙单独完成的费用以及求出甲、乙合作的费用，进而求出符合题意的答案．
【解答】解：（1）设甲单独完成全部工程所用的时间为x天，则乙单独完成全部工程所用的时间为（x+6）天，根据题意得，
+＝1，
解得，x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，
答：甲单独完成全部工程所用的时间为12天；
（2）根据题意得上述3个方案都在20天内．
甲单独完成的费用：12×4.5＝54万元，
乙单独完成的费用：18×2.5＝45万元，
甲乙合做完成的费用：12×2.5+4×4.5＝48万元，
即乙单独完成既能按时完工，又能使工程费用最少．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意利用总工作量为1得出等式是解题关键．
售价（元/千克）
销售数量（kg）
前两天
①
150
第三天
②
③
售价（元/千克）
销售数量（kg）
前两天
①
150
第三天
②
③ x﹣150