安徽省安庆市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（Word版附答案）

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
1.C 【解析】由题意可知，故选C.
2.B 【解析】由条件知函数在上单调递增，又，，根据零点存在定理知该函数零点所在区间为，故选B.
3.C 【解析】，故选C.
4.A 【解析】当时，，所以只需，故选A.
5.B 【解析】根据条件可知该扇面的面积为，故选B.
6.A 【解析】
，解得：
7.B 【解析】由条件知，，因此，故选B.
8.D 【解析】由题意得原不等式可化为，因，
所以在上恒成立，又函数在上单调递增，且，当时，；当时，.于是且，于是，，，故选D.
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求. 全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.BC 【解析】由条件可知实数的正负无法判断，所以A，D错误，B，C正确.
10.ABD 【解析】根据图象和题目条件可知，，所以，解得，A正确；将代入，可得，解得，B正确；所以，经检验，C错误，D正确，故选ABD.
11.AD 【解析】因，所以，于是函数是以为周期的周期函数，A正确；
只需考虑当时，因，
当时，，所以，，
，所以B错误；
当时，，所以，，此时函数是常数函数，所以C错误；
根据周期性可知当时，，所以D正确.
12.ACD 【解析】容易验证A正确,容易验证,B错误；因为，当且仅当时，函数在上的最小值为1，C正确；令，则，于是，所以，解得或（舍去），于是，因此函数在上只有一个零点，D正确，故选ACD.
三、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.1 【解析】因，所以，故填1.
14. 【解析】由已知，不等式的解集为，故，且，为方程的两根，所以，解得，故不等式为，
即，解得或，故解集为.
15. 【解析】因，，所以，因函数在上有且仅有三个零点，所以，解得.
16. 【解析】由可得，当时取到等号；可得，当或时取到等号
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：（1）当时，,…………2分
,…………4分
所以.…………5分
（2）因“”是“”的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集. …………6分
当时，，所以只需，解得；…………8分
当时，是集合的真子集，符合题意，…………9分
综上所述，实数的取值范围是.…………10分
18.解：由题意可知，，
展开整理可得，…………2分
即，
解得，
所以.…………4分
（1）因为，所以.…………6分
（2）
…………9分
.…………12分
（其它解法参考给分）
19.解：（1）根据题意可得，即，
所以，解得，…………2分
又函数是定义在上的偶函数，
所以，即函数的解析式为.………4分
（2）由（1）可知
…………6分
…………7分
因，所以，…………8分
所以当，即，函数的最小值为；…………10分
当时，，函数的最大值为7. …………12分
20.解：（1）由题意可知，………1分
于是函数最大值为1，最小值为，
根据使成立的的最小值为
知函数的最小正周期满足，解得,…………3分
所以，解得，所以，…………4分
于是，解得，
因此函数的单调递减区间.………6分
（2）由（1）知，…………7分
令，则，………8分
于是…………10分
，…………11分
所以当且仅当，即时，函数的最大值为.………12分
21.解：（1）若选用①，根据条件可得，解得，
所以.…………2分
若选用②，根据条件可得，解得，
所以.…………4分
对于，随着的增大而减小，符合题意；………5分
对于，因，当时，随着的增大而增大，不符合题意，应舍去. …………6分
所以该函数模型为.…………7分
（2）由（1）知，…………8分
于是，…………9分
两边取常用对数得，……11分
所以该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2.5分钟. …………12分
22.解：由题意可知，所以，解得，
于是.…………2分
（1）因
， …………4分
所以是定值，定值为.…………5分
（2）由可知：，…………6分
令
因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，
方程有两不等实数根，所以 且 ，…………7分
于是：，………8分
所以，，…………9分
由得，…………10分
又，解得，
所以实数的取值范围是. …………12分