安徽省蚌埠市2023-2024学年高二上学期1月期末学业水平监测数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据焦点坐标直接写出抛物线方程.
【详解】因为抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是.
故选：B
2. 数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，代入各选项直接得出答案.
【详解】由题意得，令，
A选项：，不合题意；
B选项：，不合题意；
C选项：，不合题意；
D选项：，符合题意
故选：D.
3. 直线的方向向量是，则下列选项中的直线与直线垂直的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线的方向向量可得其斜率为，进而得到与直线垂直的直线的斜率为，分别计算各选项的斜率即可判断.
【详解】因为直线方向向量是，所以直线斜率，
所以与直线垂直的直线的斜率为.
对于选项A:由，可得斜率为，故选项A正确；
对于选项B:由，可得斜率为，故选项B错误；
对于选项C:由，可得斜率为，故选项C错误；
对于选项D:由，可得斜率为，故选项D错误.
故选：A.
4 若圆：与圆：内切，则（ ）
A. 29B. 9C. D. 19
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解.
【详解】由圆：，可得圆心，半径；
圆：可化为，
可得圆心，半径，
所以，
由圆圆内切，所以，即，
解得：.
故选：C.
5. 设函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】函数在上单调递增等价于在上恒成立，参变分离，进一步讨论最值即可.
【详解】由题意在上恒成立，即，又在单增，，则．
故选：C．
6. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A. 1.8cmB. 2.5cmC. 3.2cmD. 3.9cm
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式进行求解
【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，
所以，
利用点斜式方程可得到直线：，整理为，
所以原点O到直线距离为，
故选:B
7. 设数列的前n项和为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得到，利用裂项相消法求数列的前项和公式，得出前100项的和，结合选项，即可求解.
【详解】由，
所以，
所以，
故选：A.
8. 如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.
【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，
设，则，显然有，，
，因此，，在，，
即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，
所以E的离心率为.
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 曲线的焦距为4，则实数m的值可以是（ ）
A. 15B. 5C. 3D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据曲线的类型分类讨论，利用椭圆和双曲线中之间的关系即可求解.
【详解】由题意.
当曲线为椭圆时：则，则；
当曲线为双曲线时：，则
故选：BD.
10. 已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（ ）.
A. B. 最小C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由得，故正确；当时，根据二次函数知识可知无最小值，故错误；根据等差数列的性质计算可知，故正确；根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，故正确.
【详解】因为，所以，所以，即，故正确；
当时，无最小值，故错误；
因为，所以，故正确；
因为，故正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.
11. 如图，正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在四边形内，若，则下列结论正确的有（ ）

A. B. //
C. 点的轨迹长度为D. 的最小值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，运用空间位置关系的向量证明，解决A,B，用解析法求出轨迹方程处理C，结合参数方程处理D即可.
【详解】
以原点建立空间直角坐标系，故，，，，
故，，
则，，则，故A正确，
而，，显然与无倍数关系，
则//不成立，故B错误，
设，由两点间距离公式得，
化简得，又，故轨迹长度为，故C正确，
易知点的轨迹是圆，故该轨迹的参数方程为，，(是参数)，
故，由两点间距离公式得
，
易知当时，取得最小值，此时，故D正确.
故选：ACD
12. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C：，，分别为左、右顶点，，分别为上、 下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A. B.
C. 轴，且D. 四边形的内切圆过焦点
【答案】BD
【解析】
【分析】结合椭圆的定义、几何性质等知识对选项的条件逐一分析，结合椭圆的离心率为确定正确答案.
【详解】由椭圆，
可得，，
对于A，，即，化简得，即，
不符合题意，故A错误；
对于B，，则，即，
化简得，即有，
解得（舍去），符合题意，故B正确；
对于C，轴，且，
由，解得，
不妨设，由，可得，
解得，又，所以，不符合题意，故C错误；
对于D，四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为c，
则，结合，即，
解得（舍去）或即，符合题意，故D正确；
故选：BD
【点睛】本题的难点是在各种情况下求椭圆的离心率，主要的思路是求得的关系式，然后转化为.也即是找到的一个等量关系式（齐次式），通过转为后解方程来求得离心率.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知等比数列的前3项和为，则___________.
【答案】3
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件利用等比数列的定义计算可得，，即可求得的值.
【详解】解：设等比数列的公比为，，由题意，
因为前3项和为168，故，
又，
所以，，
则.
故答案为：3.
14. 已知空间中两点，，向量，，则________，________．
【答案】 ①. ， ②.
【解析】
【分析】由向量模的坐标表示计算模，由空间向量共线求得．
【详解】由题意，因，所以，解得，
．
故答案为：，．
15. 写出与圆和都相切的一条直线的一般式方程______.
【答案】或或（答对其中一条即可）
【解析】
【分析】先判断两圆的位置关系，可设公切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案.
【详解】圆的圆心是，半径是，
圆的圆心是，半径是，
两圆的圆心距是，满足，
所以两圆相外切.
如图：

当切线斜率不存在时，结合图象可得直线满足题意，
其中直线到圆圆心的距离为，等于该圆的半径，
同时直线到圆圆心的距离为，等于该圆的半径；
当切线斜率存在时，设切线的方程为，即，
满足，可得：，
若，将代入方程，
可得：，，切线方程为，即；
若，将代入方程，
可得：，，切线方程为，即；
综上，切线方程为：，和.
故答案是：或或（答对其中一条即可）.
16. 已知函数.若，且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数画出的大致图象，在根据图象以及解析式得到的关系及的范围即可求解.
【详解】当时，，，
所以在上单调递减，且，
当时，，，
所以在上单调递增，且，
所以的图象大致如图所示：

由，得，即，令得，结合图象可知，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程.
（1）过点；
（2）平行于直线.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出两条直线与的交点，利用两点式方程整理计算即可;
（2）求出平行于的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可.
【小问1详解】
由解得,
即两直线的交点坐标为.
直线经过点和，由两点式方程得，，
化简得所求直线方程为.
【小问2详解】
由可得直线的斜率为，
故平行于直线的直线的斜率为，
结合（1）问可得：两条直线与的交点为，
由点斜式方程得，，
化简得所求直线方程为.
18. 已知函数，曲线在点处切线方程为．
（1）求的值；
（2）讨论的单调性，并求的极大值．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线在点处切线方程为，建立方程，即可求得，的值；（2）利用导数的正负，可得的单调性，从而可求的极大值．
试题解析：（1）．
由已知得，．
故，．
从而，．
（2）由（1）知，，
．
令得，或．
从而当时，；
当时，．
故在，上单调递增，在上单调递减．
当时，函数取得极大值，极大值为．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．
19. 已知圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆方程；
（2）过点的直线与圆相交于，两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出线段的中垂线方程，与直线联立，可得圆心坐标，然后与点求出半径，可得答案；
（2）设圆心到直线的距离为，利用求出，当直线的斜率不存在时直接得答案；当直线的斜率存在时，设其斜率为求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出可得答案.
【小问1详解】
直线的斜率为，线段的中点为，
线段的中垂线方程为，即，
联立，解得，
所以圆心，半径，
故圆的方程为；
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为，
由，解得，
当直线的斜率不存在时，其方程为，满足条件；
当直线的斜率存在时，设其斜率为，
直线的方程为，即，
由，解得，故直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
20. 已知数列中，，满足.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用递推关系式得，由此可证得是等比数列；由等比数列通项公式推导可得；
（2）采用分组求和法可求得，分离变量可得，利用可知，由此可求得的范围.
【小问1详解】
由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
，.
【小问2详解】
由（1）得：，
，；
令，，
则当时，；当时，；，
，解得：，即实数的取值范围为.
21. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以G为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.
【小问1详解】
证明：取中点，连接，
为的中点，
，又，
，
四边形为平行四边形：
，
平面平面，
平面；
【小问2详解】
平面平面，平面平面平面，平面，
取中点，连接，则平面，
，
，又，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面的一个法向量，，
则，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
,平面与平面所成的夹角的余弦为
22. 已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知点，点，过点A的直线与抛物线交于，两点，连接PB交抛物线于另一点T，证明：直线QT过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）
（2）证明见解析，定点
【解析】
【分析】（1）利用焦半径的定义可得的值，进而即可得到答案；
（2）设，，，则根据直线方程及题意可得到①，同理可得到②，同理也可得到QT的直线方程为，进而即可证明直线QT过定点，并得出定点坐标．
【小问1详解】
因为为抛物线上一点，所以，
又因为，所以，即，解得，
所以抛物线C的标准方程为．
【小问2详解】
设，，，
则PQ的直线方程为，
化简得，
又，在抛物线上，得，，
代入PQ直线得，
化简得，
代入点，得，则①，
同理的PT的直线方程为，
代入点，得②，
由①②得，即③，
同理可得QT的直线方程为，
代入③得，即，