安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题及参考答案

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考试时间：120分钟 满分：150分
命题学校：合肥十一中 命题教师：刘智珺 审题教师：付代舟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A．B．C．D．
2．平面内有一个点，的一个法向量为. 若点在平面内，则点可以是( )
A．B．C．D．
3．已知等差数列的通项公式为，则其前n项和取得最大值时，n的值（ ）
A．6B．5C．4D．3
4. 战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系xOy中，一条光线从点(2,3)射出，经y轴反射后与圆x2-6x+y2+4y+9=0相交所得弦长为2 3，则反射光线所在直线的斜率为( )
A. -43或-34B. -34C. -53D. -53或-35
5．已知正方体的棱长为2，则四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
6．已知双曲线的两个焦点分别是，，双曲线上一点P到的距离是7，则P到的距离是（ ）
A．13B．1C．1或13D．2或14
7．设是等比数列的前项和，，若，则的最小值为( )
A．B．C．20D．
8.是抛物线上一点，点，是圆关于直线的对称曲线上的一点，则的最小值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 如图，空间四边形OABC中，M，N分别是边OA，CB上的点，且，，点G是线段MN的中点，则以下向量表示正确的是( )
A B.
C. D.
10. 法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河.他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线称为笛卡尔叶形线.当时，笛卡尔叶形线具有的性质是( )
A. 经过第三象限B. 关于直线对称
C. 与直线没有公共点D. 与直线有公共点
11．对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，则( )
A．等差数列是“线性数列” B．等比数列是“线性数列”
C．若是等差数列，则是“线性数列”D．若是等比数列，则是“线性数列”
12. 已知为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是( )
A.
B. ⊥平面
C. 在圆锥侧面上，点A到中点的最短距离为3
D. 圆锥内切球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设则 .
14．点P是椭圆上一点，，分别是其左、右焦点，若，离心率为，则_________.
15. 已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为______.
16．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则的值为 ．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，第18~22题每题12分．
17. 已知圆经过点，，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若平面上有两个点，，点是圆上的点且满足，求点的坐标.
18. 已知等差数列的前n项和为，，且
求数列的通项公式；
求数列的前n项和
19．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
20．已知数列的首项，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求满足条件的最大整数的值．
21. 如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状.
22.已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，椭圆的一条以为中点的弦所在直线的方程为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点为直线上一点，且不在轴上，直线，与椭圆的另外一个交点分别为M，N，设，的面积分别为，，求的最大值，并求出此时点的坐标.