山东省聊城市莘县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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（时间：120分钟；满分：120分）
一、单选题（本题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 山东省第二十五届运动运在日照成功举办，下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 下列各式中，，，，，是分式的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的概念：一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，由此问题可求解．
【详解】解：由题意可知分式的有：，，，，共4个，
故选C．
【点睛】本题主要考查分式，熟练掌握分式的概念是解题的关键．
3. 下列尺规作图求作上点D，使得的周长等于正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当的垂直平分交于点D时，，然后证明的周长等于，即可进行判断．
【详解】解：当的垂直平分交于点D时，
∴，
∴的周长．
故选：B．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
4. 下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简分式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、最简分式，故本选项符合题意；
D、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除了1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．
5. 如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（-2，5），则线段DE的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由等腰直角三角形的性质得出OA=BO，∠AOB=90°，证明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性质得出AD=OE=5，OD=BE=2，则可得出答案．
【详解】解：∵A（-2，5），AD⊥x轴，
∴AD=5，OD=2，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴OA=BO，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠DAO=∠BOE，
在△ADO和△OEB中，
，
∴△ADO≌△OEB（AAS），
∴AD=OE=5，OD=BE=2，
∴DE=OD+OE=5+2=7．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
6. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可．
【详解】原式
故选：C
【点睛】本题考查了分式的加减法运算，根据运算法则将分式转化为同分母是解题关键
7. 某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有名学生，他们的决赛成绩如下表所示：则这名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义判断即可．
【详解】解：由题意得共有人进入决赛，
∴中位数为第人的成绩，为分；
∵数据出现了次，最多，
∴这组数据的众数为分．
故选：．
【点睛】此题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数 或两个数的平均数 为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
8. 如图，在中，的垂直平分线相交于点，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理．连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵、垂直平分线交于点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图所示，，，，B，D，E三点在一条直线上，若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点，先证明，得出，再由外角得出，从而得出答案，解决本题的关键是掌握判断三角形全等的方法：，还有．
【详解】∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
10. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（ ）
A. SASB. SSSC. ASAD. HL
【答案】D
【解析】
【分析】根据直角三角形全等的判定HL定理，可证△OPM≌△OPN．
【详解】解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，
∴△OPM≌△OPN
所用的判定定理是HL．
​故选D.
【点睛】本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．
11. 如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角性质可得，，得：，则，由和得：，则，化简可得，进一步找出其中规律，即可求出的度数．
【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线，，
，，
，
，，
得：，
，
由和得：，
，
，
同理，
，
…
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义等，找出其中规律是解题的关键．
12. 如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．在延长线上取一点G，连接，使．下列结论中正确的个数为（ ）
①；②；③；④

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】证明，可得，从而可判断①正确；证明，可证，从而判断②④正确；由，结合以上结论可判断③正确．
【详解】∵为中线，
∴．
∵，，
∴，
∵，
，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，故④正确；
∴，
∴
，故③正确．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，证明、是解答本题的关键．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分）
13. 若分式有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零成为解题的关键．
14. 某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表：
某班这四项得分依次为83，82，73，80，则该班四项综合得分为______分．
【答案】80.4
【解析】
【分析】根据加权平均数的概念列式计算即可．
【详解】解：该班四项综合得分为（分），
故答案为：80.4．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的概念．
15. 若关于x的方程无解，则a的值是 _____．
【答案】-1或2##2或-1
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤，可求出分式方程的解，根据分式方程无解，分两种情况讨论，可得a的值．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
当，即时，整式方程无解，
当，即时，
∵分式方程无解，
∴，即，
∴，解得：，
∴a的值是-1或2．
故答案为：-1或2
【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
16. 如图，已知，为内一定点；分别是射线，射线上的点，若的周长最小值为，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点在CD上时，的周长最小．
【详解】解：分别作点关于的对称点，连接，分别交于点，连接．
∵点关于的对称点为，关于的对称点为，
∴；
∵点关于的对称点为，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
∴的周长的最小值．
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查轴对称--最短路线问题，等边三角形的判定和性质，熟知两点之间线段最短以及等边三角形的判定和性质是解题的关键．
17. 如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于______．

【答案】25
【解析】
【分析】延长交于，由证明，得出，得出，，即可得出答案．
【详解】解：延长交于，如下图，

∵平分，垂直于，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识，证明三角形全等得出是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共计69分．解答题要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
18. 化简：
（1）
（2）
【答案】（1）a+1 （2）
【解析】
【分析】（1）利用同分母分式的加减法计算，再约分即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果．
【小问1详解】
解：
=a+1；
【小问2详解】
解：
=．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
19. 如图，于D，于G，，求证：平分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据，得出，然后根据平行线的性质以及已知条件可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即平分．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
20. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1计算，然后检验即可得出结果；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1计算，然后检验即可得出结果；
【小问1详解】
解：
去分母，可得：，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
把系数化为1，可得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
【小问2详解】
解：
去分母，可得：，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
把系数化为1，可得：，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解本题的关键在熟练掌握解分式方程的方法，并注意要检验．
21. 如图，点B，C分别在射线，上，点E，F都在内部的射线上．已知，且．
（1）求证：；
（2）试判断，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2），理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据已知和三角形外角性质求出，，根据证两三角形全等即可；
（2）结合（1），可得，，进而根据线段的和差即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
同理：，
在和中，
∴．
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，解本题的关键是得到．
22. 某校开展了“远离新冠·珍爱生命”的安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组，A．；B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，94，90．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ； ； ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握安全知识更好？请说明理由（一条即可）；
（3）该中学七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得成绩优秀的学生人数是多少？
【答案】（1）40；94；99
（2）七年级学生掌握安全知识更好，理由见解析
（3）参加此次竞赛活动获得成绩优秀的学生人数是972人
【解析】
【分析】（1）根据中位数、平均数、众数、方差的计算方法进行计算即可；
（2）比较方差的大小得出答案；
（3）求出七、八年级优秀人数所占的百分比即可
【小问1详解】
八年级10名学生竞赛成绩没有低于80分的，且在C组中的数据是：94，94，90,
∴C组所占的百分比为
∴
即
八年级A组的有2人，B组的有1人，C组有3人，D组的有4人，
将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是94，
因此中位数94，即,
七年级10名学生成绩出现次数最多的是99，因此众数是99，即,
故答案为：40；94；99；
【小问2详解】
七年级学生掌握安全知识更好，理由：
∵七年级的方差为49，八年级的方差是 50.4，
而49<50.4,
∴七年级学生掌握安全知识更好;
【小问3详解】
答：参加此次竞赛活动获得成绩优秀的学生人数是972人
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是正确解答的关键
23. 如图，在中，分别是的平分线，分别是的平分线．

（1）当时， °， °；
（2），求的度数；
（3）请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由．
【答案】（1），
（2），
（3）的值不变．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；
（3）利用（2）的结论即得结果．
【小问1详解】
解：∵分别是的平分线，，
∴
∴；
∵分别是的平分线，
∴
∴；
【小问2详解】
解：在中，，
∵分别是的平分线，
∴，
∴
又∵，
∴；
∵分别是的平分线，
∴
∴
又∵，
∴；
【小问3详解】
解：的值不变．
∵由（2）知，，
∴．
∴当的大小变化时，的值不变．
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，三角形的内角和定理，学会整体思想是解题关键．
24. 某玩具经销商用1.6万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用3.4万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该经销商两次共购进这种玩具多少套？
（2）若第一批玩具销售完后总利润率为25%，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？
【答案】（1）该经销商两次共购进这种玩具300套；（2）这二批玩具经销商共可获利10000元．
【解析】
【分析】(1)设经销商第一次购x套玩具，那么第二次购进2x套玩具，根据第二次比第一次每套进价多了10元，可列方程求解即可；
(2)计算出第一批玩具的进价和售价，在计算出第二批玩具的进价，计算利润即可.
【详解】（1）设第一次购进了x套，则第二次购进了2x套．
依题意，列方程得：
，
解得：x=100，
经检验x=100是原方程的根，2x=200，
答：该经销商两次共购进这种玩具300套；
（2）由（1）得第一批每套玩具的进价为 =160（元），
又∵总利润率为25%，
∴售价为160（1+25%）=200元，
第二批玩具的进价为170元，售价也为200元．
40×100+30×200=10000元．
答：这二批玩具经销商共可获利10000元．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用，根据题意找出正确等量关系是解题的关键．
25. （1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．

①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质 ；
②在图2中，求证：AD＝CD；
（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD＝BC．
【答案】（1）①角平分线上的点到角的两边距离相等；②见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）①根据角平分线的性质定理即可解决问题；
②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．只要证明△DEA≌△DFC即可解决问题；
（2）如图3中，在BC时截取BK=BD，BT=BA，连接DK．首先证明DK=CK，再证明△DBA≌△DBT，推出AD=DT，∠A=∠BTD=100°，推出∠DTK=∠DKT=80°，推出DT=DK=CK，由此即可解决问题；
【详解】（1）①根据角平分线的性质定理可知AD＝CD．
所以这个性质是角平分线上的点到角的两边距离相等．
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等．
②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．

∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
∵∠E＝∠DFC＝90°，
∴△DEA≌△DFC，
∴DA＝DC．
（2）如图3中，在BC上截取BK＝BD，BT＝BA，连接DK．
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK＝∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝80°，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，
∴∠KDC＝∠C＝40°，
∴DK＝CK，
∵BD＝BD，BA＝BT，∠DBA＝∠DBT，
∴△DBA≌△DBT，
∴AD＝DT，∠A＝∠BTD＝100°，
∴∠DTK＝∠DKT＝80°，
∴DT＝DK＝CK，
∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，具体的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．决赛成绩/分
人数/名
项目
学习
卫生
纪律
活动参与
所占比例
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
92.5
众数
100
方差
49
50.4