云南省德宏傣族景颇族自治州2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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（监测时间：120分钟 满分：100分）
注意事项：
本卷为试题卷．答案应书写在试题卷相应位置上，在草稿纸上作答无效．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1. 利用圆内接正多边形,可以设计出非常有趣的图案.下列图案中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可.
【详解】解：A.此图形不是中心对称图形, 是轴对称图形, 故此选项错误;
B.此图形是中心对称图形, 不是轴对称图形, 故此选项正确;
C.,此图形不是中心对称图形, 但是轴对称图形, 故此选项错误;
D.图形是中心对称图形, 也是轴对称图形, 故此选项错误.
故选:B.
【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的定义，中心对称图形的定义是旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，轴对称图形的定义把此图形沿着某一条直线折叠，两边能完全重合的图形.
2. 下列说法错误的是（ ）
A. 不可能事件发生的概率是0B. 必然事件发生的概率是1
C. 概率很小的事件不可能发生D. 随机事件发生的概率介于0和1之间
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了概率的意义．根据概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、不可能事件发生的概率为0，正确，不符合题意；
B、必然事件发生的概率为1，正确，不符合题意；
C、概率很小事也可能发生，故错误，符合题意；
D、随机事件发生的概率大于0，小于1，正确，不符合题意，
故选：C．
3. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. 2023C. D. 2024
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，一元二次方程的两根为，则，，据此进行解答即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，
故选：C
4. 如图，内接于，，，则半径为（ ）．
A. B. C. 10D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，连接常用的辅助线是解题关键．连接，由圆周角定理可求出，再结合勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴．
设，
∵，
∴，
解得：（舍去负值），
∴半径为．
故选D．
5. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且B. 且C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式．根据题意得出且，求出a的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴且，
解得且，
故选：B．
6. 如图，正六边形内接于，的半径为6，则边心距的长为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正多边形和圆、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键．
【详解】解：解：连接、，如图所示：
∵六边形为正六边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7. 已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是（ ）
A. 7B. 8C. 7或8D. 8或10
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考点因式分解求一元二次方程，等腰三角形性质，根据解一元二次方程的方法求出方程的解，结合等腰三角形的性质判定即可求解，掌握解一元二次方程的方法，等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：，
因式分解得，，
∴或，
∴，，
根据题意，方程的两个根为等腰三角形的两边，
∴当边长为：时，，符合题意，则等腰三角形的周长为；
当边长为：时，，符合题意，则等腰三角形的周长为；
故选：．
8. 如图，在中，是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交两边的，于点、，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了角平分线的概念，直径所对的圆周角是直角．首先根据题意得到是的角平分线，进而求出，然后根据圆直径的性质得到，进而求解即可．
【详解】解：由题意可得，是的角平分线，
，
是的直径，
，
．
故选：B．
9. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质．由勾股定理可求出，结合旋转的性质得出，，最后再次利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴．
由旋转可知，，
∴．
故选：C．
10. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵矩形宽为x步，且宽比长少12步，
∴矩形的长为步．
依题意，得：．
故选D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11. 按一定规律排列的等式：，，，，……，按此规律（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数字的变化规律．根据前几个式子找到变化规律，再求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
按此规律，
故选：C．
12. 已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x1=-3，x2=1，则可对③进行判断．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，所以①正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），即，所以②正确；
∵图象经过点时，代入解析式可得，
方程可化为，消a可得方程的两根为，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数与直线的另一个交点为，
，代入可得，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
13. 点关于原点的对称点为点，则点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，横纵坐标都互为相反数，利用坐标特点直接作答即可.
【详解】解：∵点关于原点的对称点为点，
∴的坐标为，
故答案为：
14. 已知是一元二次方程的一个根，则_______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，掌握方程的解是使方程成立的未知数的值是解题关键．将代入该一元二次方程即可求解．
【详解】解：将代入一元二次方程，
得：，
∴．
故答案为：3．
15. 将抛物线向右平移_______个单位长度后经过原点．
【答案】7
【解析】
【分析】此题考查了抛物线的平移，设出平移后的函数解析式，把原点代入求出答案即可．
【详解】解：设抛物线向右平移k个单位长度后经过原点．即经过原点，
∴，
解得，
故答案为：7
16. 如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为_______．
【答案】##120度
【解析】
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角．设侧面展开扇形的圆心角为，则，代入数据即可求解．
【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角为，则，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共56分）
17. 解方程：．
【答案】， .
【解析】
【分析】利用求根公式即可以求出方程的解.
【详解】求根公式为,将a,b,c分别代入即得，即， .
【点睛】熟练掌握求根公式是本题解题的关键.
18. 在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出绕点A逆时针旋转90°后的，并写出点的坐标．
（2）求点C旋转到点所走的路径长．
【答案】（1）见解析，（－1，4）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质找出点B、C的对应点、的位置，顺次连接即可得到，然后根据所作图形写出点的坐标；
（2）先利用勾股定理求出AC，然后利用弧长公式计算点所走的路径长．
【小问1详解】
解：如图所示，点的坐标为：（－1，4）；
【小问2详解】
∵AC＝，
∴点C旋转到点所走的路径长为：．
【点睛】本题考查了作图—旋转，坐标与图形，勾股定理，弧长公式的应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
19. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【答案】每千克应涨价5元
【解析】
【分析】设每千克应涨价元，根据每千克涨价元，日销售量将减少千克，每天盈利元，列出方程，求解即可．
【详解】解：设每千克应涨价元，由题意得：
，
解得，，
要使顾客得到实惠，应取，
答：每千克应涨价5元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
20. 小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
（1）若随机摸出一个小球，则恰巧是红球的概率是 ；
（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查是用表格法或画树状图法求概率．
（1）由频率定义即可求出答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，找出两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的情况，利用概率公式求解即可得答案．
【小问1详解】
解：∵随机摸出一个小球的情况有4种等可能情况，恰巧是红球的有2种，
∴恰巧是红球的概率是：．
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相等，其中两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种，
∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率为：．
21. 农经公司以元千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
【答案】（1）
（2）销售价格定为40元，日销售利润最大
【解析】
【分析】（1）根据表中销售价格每增加元千克，日销售量就减少千克，由此即可求出答案；
（2）因为每增加5元千克，日销售量就减少，利用函数解析式，即可求出最大值．
【小问1详解】
解：假设与成一次函数关系，设函数关系式为 ，
∴ ，解得：， ，
∴，
检验：当，；当，；当，，符合一次函数解析式，
故函数关系为 ；
【小问2详解】
解：设日销售利润，
即 ，
∴当时， 有最大值，最大值为，
故这批农产品的销售价格定为元，才能使日销售利润最大．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际运用，理解题目表格中的数据之间的关系并找出数据之间的规律是解题的关键．
22. 如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是宽是．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示．
（1）求抛物线函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过?
【答案】（1），10m，（2）能
【解析】
【分析】（1）根据题意得出点B（0，4）、C（12，4），再利用待定系数法求解可得；
（2）根据题意求出x＝6﹣4＝2时的函数值，比较可得；
【详解】解：（1）根据题意得B（0，4），C（12，4），
把B（0，4），C（12，4）代入得
，
解得．
所以抛物线解析式为，
化成顶点式为y＝﹣（x﹣6）2+10，
顶点D坐标为（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧的横坐标为6-4=2或6+4=10，
当x＝2或x＝10时，y＝﹣（x﹣6）2+10=﹣×16+10=＞6，
所以这辆货车能安全通过．
【点睛】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
23. 如图所示，是的直径，点在上，点在上，，的延长线交于点．
（1）在的延长线上取一点，使，求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了切线的判定、扇形面积公式、圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理正确进行推理是解题的关键．
（1）根据圆周角定理、等边对等角、对顶角相等、三角形内角和定理等知识可以证明，又由是的半径，即可得到结论；
（2）连接，证明，则，根据扇形面积公式和直角三角形面积公式即可得到图中阴影部分的面积．
【小问1详解】
证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，且是的半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积为：．
24. 已知抛物线经过点．与y轴交于点A．其顶点为B．设k是抛物线与x轴交点的横坐标，
（1）求b的值．
（2）求的面积．
（3）求代数式的值．
【答案】（1）4； （2）2；
（3）．
【解析】
【分析】（1）将点代入中即可求得b的值；
（2）分别求出点A的坐标和点B的横坐标，即可求得的面积；
（3）由k是抛物线与轴交点的横坐标得到，变形后，利用整体代入求出答案即可．
【小问1详解】
解：将点代入中，
得，
解得．
【小问2详解】
解：如图，
由（1）知抛物线的表达式为，
将代入中，得，
∴点，
∴．
∵顶点的横坐标为，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：∵k是抛物线与轴交点的横坐标，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴．
∴
．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了待定系数法、二次函数的图象和性质、代数式的求值等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质和整体思想是解题的关键．销售价格（元千克）
日销售量（千克）