重庆市永川区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：6页.
2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效.
3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑.需要书写的地方一律用0.5MM签字笔.
4．答题前，务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 若分式的值为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了分式值为0的条件，根据分子为0，分母不为0是分式值为0进行判断即可．
【详解】解：∵分式的值为，
∴且，
解得，
故选：A
2. 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之和小于第三边，据此即可得出答案．
【详解】解：三角形两边的长分别是4和10，
此三角形第三边的长大于，小于，
故选：C．
3. 点关于轴对称点的坐标是，则点关于轴的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y）．
【详解】解：根据轴对称的性质，得点P的坐标是（4，8），
则P点关于y轴的对称点P2的坐标是（-4，8）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了关于横轴的对称点：横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数．
4. 如图，在中，是延长线上一点，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”，即可求解．
【详解】解：，，
，
故选：D．
5. 如图，在中，，，则由“”可以判定（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．由图形可知，为公共边；再结合已知条件找出两个三角形，即可求解．
【详解】解：，，，
，
故选：B．
6. 已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A. 或B. C. D. 以上答案均不对
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据非负数的性质，求出、的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵，
∴且，
解得：，，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长，
∴三角形的周长为，
故选：B．
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
根据同底数幂逆运算和幂的乘方的逆运算法则得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
8. 张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，根据题意，所列的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等量关系“结果比李老师早到半小时”即可列出方程．
【详解】解：李老师所用时间为：，张老师所用的时间为：；
所列方程为：﹣＝．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的应用，找出题目的等量关系是解题的关键．
9. 如图，的周长为15，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交边于点D，交边于点E，若，则的周长为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查周长的计算，解题的关键是熟知折叠的性质． 根据垂折叠的性质即可求解．
【详解】解：由题意可知，，
∴
∴周长为．
故选：C
10. 如图，是等边三角形，以为边向外作等边三角形，点E，F分别在，上，且，连接，两直线相交于点G，连接，下列结论：
①， ②， ③， ④， ⑤．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
根据等边三角形的性质及全等三角形的判定可判断①；再由全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质、三角形外角的性质即可判断②；延长到点M，使，连接．继续利用等边三角形及全等三角形的判定和性质即可判断③④；再由等边三角形及三角形面积即可判断⑤．
【详解】解：∵是等边三角形，以为边向外作等边三角形，
∴，即与最长边不相等，
∴与不全等，故①错误；
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，选项②正确；
延长到点M，使，连接．
由②知，，
∴，
∵．
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，故④正确；
∴，故③正确；
根据条件无法证明，故⑤错误，
正确的有②③④，共3个，
故选：C．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上．
11. 七边形的内角和是______．
【答案】
【解析】
【分析】由n边形的内角和是：180°（n-2），将n=7代入即可求得答案．
【详解】解：七边形的内角和是：180°×（7-2）=900°．
故答案为：900°．
【点睛】此题考查了多边形的内角和，熟记n边形的内角和公式是解题的关键．
12. 因式分解：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
13. 已知一个正多边形的一个外角是，那么这个多边形的边数为______.
【答案】5
【解析】
【分析】此题主要考查正多边形的性质，根据多边形的外角和度数为360度即可求解．
详解】解：∵，
∴这个多边形的边数为5，
故答案为：5．
14. 已知是一个完全平方式，则k的值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式的特征判断即可得到k的值．
【详解】解：∵一个完全平方式，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是关键．
15. 已知，则____________．
【答案】19
【解析】
【分析】把x2+y2化成（x+y）2-2xy，再整体代入即可．
【详解】解：∵x+y=-5，xy=3，
∴x2+y2=（x+y）2-2xy=（-5）2-2×3=19，
故答案为：19．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，注意：（a±b）2=a2±2ab+b2，用了整体代入思想．
16. 如图，将沿折叠，点A落在点处，已知，则________．
【答案】##48度
【解析】
【分析】本题考查了折叠性质及三角形的内角和定理，由折叠的性质可得，，，由平角的定义可得，，从而可得，再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可得，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 已知关于x的分式方程－=0无解，则a的值为____________.
【答案】-1或0或
【解析】
【分析】若关于x的分式方程－=0无解，则最简公分母为零或所化成的整式方程无解.
【详解】解：去分母方程两边同乘 得，
当 即时，整式方程无解，即分式方程无解；
当时，有或时，分式方程无解，此时或
故答案为-1或0或
【点睛】本题主要考查分式方程无解问题.本题的易错点在于只考虑到了最简公分母为零的情况，而忽略了化为整式方程后，整式方程无解这一情况，从而导致答案不全.
18. 如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点，连接，则的大小等于_______________．
【答案】##34度
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，先根据角平分线的判定与性质得出平分，然后利用三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：过点D作于H，于E，于F，
∵的平分线与的外角平分线交于点，
∴，，
∴平分，
∴，
∵，
∴
，
故答案为：．
三、解答题（本大题8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 求的值，其中，．
【答案】，0
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算．先对所求式子去括号、合并同类项，最后把、的值代入计算即可．
【详解】解：

．
当，时，原式．
20. 如图，在中，已知，，求的大小．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握等边对等角，得出，，，根据三角形内角和定理得出，求出x的值即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，
故．
21. （1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算，解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
（1）先用平方差公式，再用加减法计算即可．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：（1）原式
（2）方程两边乘以得：．
移项得：．
解得：
检验：当时，，．
所以原分式方程的解为．
22. 先化简，再求值：
，其中．
【答案】，3
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，将化简为，根据实数混合运算法则，得出，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴当时，原式．
23. 如图，在中，，平分，交于点D，过点D作于点E．
（1）若点E为的中点，求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定以及的直角三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
（1）根据垂直平分线性质求出，根据角平分线性质求出，根据定理求出两个三角形全等即可；
（2）求出，，根据含角的直角三角形性质求出即可．
【小问1详解】
∵点E为的中点
∴
∵
∴
∵平分，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴．
24. 如图，在中，，点，分别在边，上，且，以为边作等边，连接，．求证：是等边三角形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】设、相交于点，根据三角形的内角和定理求出，根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再求出，然后根据等边三角形的判定方法证明即可．
【详解】解：证明：如图，设、相交于点，
，
，
是等边三角形，
，，
由三角形的外角性质得，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质与三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于求出．
25. 某中学中午学生食堂工作人员开始给学生打饭时，已有名学生在排队等候打饭，开始打饭后，继续有学生到食堂排队打饭，设到食堂打饭学生人数按固定的速度增加，工作人员打饭的速度也是固定的.若只开放一个窗口，则需30分钟才可将排队等候打饭的学生全部打饭完毕；若开放两个窗口，则只需10分钟便可将排队等候打饭的学生全部打饭完毕．
（1）若设每分钟有个学生到食堂打饭，每个窗口每分钟打饭个学生，请用含有的代数式表示和，写出简要步骤．
（2）某中学实施分年级下课就餐，如果要在5分钟内将排队等候打饭的学生全部打饭完毕，以使高中学生能到食堂就可以打到饭，至少要同时开放几个窗口？
（3）因有一窗口刷卡的机器不能正常工作，所以只能在（2）问中所得的结果下少开1个窗口，仍然要求5分钟将排队等候打饭的学生全部打饭完毕，因此加快每个窗口的工作人员打饭的速度，设打饭的速度为原先的倍，请计算的值．
【答案】（1），，
（2）至少要同时开放4个窗口
（3）
【解析】
【分析】（1）可参照水池注水问题，根据题意列出二元一次方程组，应用消元法，分别消去，即可求解，
（2）设至少需要开放个窗口，根据题意出不等式，将（1）中结论代入，即可求解，
（3）根据题意列式，将（1）中结论代入，即可求解，
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：合理利用前面得到的结论，消去变量，得出结果．
【小问1详解】
解：由题意可得：整理得：，
①②可得：，整理得：，
②①可得：，整理得：，
故答案为：，，
【小问2详解】
设5分钟将排队等候打饭的学生全部打饭完毕，至少要开放个窗口，
由题意可得：，
将，代入得：，解得：，
为正整数，
的最小值为4，
故答案为：至少要同时开放4个窗口，
【小问3详解】
由（2）可知，此时开放的窗口有3个，要求5分钟打完排队的学生，
以可列方程：
将，代入得：，解得：，
故答案为：．
26. 我们知道：如果两个三角形全等，则它们的面积相等，而两个不全等的三角形，在某些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等．已知与是等腰直角三角形，，连接、．
（1）如图1，当时，求证：．
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，在（2）的基础上，作，延长交于点，求证：点为的中点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）根据与是等腰直角三角形，得到，，由，证得，推出，从而证得结论；
（2）作垂直的延长线于点G，作，垂足为H，由于，得到，推出，得出，由于，于是得到结果即；
（3）作垂直的延长线于点M，作，垂足为N，证得，得到，同理可证，得到，，推出，得到，即G为中点．
【小问1详解】
证明：∵与是等腰直角三角形，
∴，，．
又∵，
∴．
∴．
在与中，
∵，
∴．
∴．
【小问2详解】
解：如图2，过点A作垂直的延长线于点，作，垂足为．
∵，
∴．
在与中，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
即．
【小问3详解】
解：如图3，过点A作垂直的延长线于点，过点作，垂足为．
∵，
∴，．
∴．
在与中，
∵，
∴．
∴
同理可证．
∴ ．
∴ ．
在与中，
∵，
∴．
∴．即为的中点．