浙江省宁波市镇海区镇海蛟川书院2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 宁波以“书藏古今，港通天下”闻名中外，以下这些属于宁波的打卡点宣传图中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据将图像沿一条直线折叠两边完全重合的图形叫轴对称图形逐个判断即可得到答案；
【详解】解：A选项图形不是轴对称图形，不符合题意，
B选项图形是轴对称图形，符合题意，
C选项图形不是轴对称图形，不符合题意，
D选项图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
2. 使有意义的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零即可．
【详解】解：若有意义，
则，
解得，
故选：D．
3. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据等号两边只有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程叫一元二次方程直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解： A．是二元二次方程，不符合题意，
B．是分式方程，不符合题意，
C． 是一元二次方程，符合题意，
D．是二元二次方程，不符合题意，
故选：C．
4. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 对顶角相等B. 若，则
C. 全等三角形对应角相等D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了真假命题的判断；根据对顶角相等，不等式的性质，全等三角形的性质，绝对值的性质逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 对顶角相等，是真命题，不合题意；
B. 若，则，是真命题，不合题意；
C. 全等三角形对应角相等，是真命题，不合题意；
D. 若，则，原命题是假命题，符合题意
故选：D．
5. 已知一次函数随的增大而增大，则该函数图象不经过第（ ）象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：∵一次函数随的增大而增大，
∴
∴图象不经过第四象限，
故选：D．
6. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据不等式解集求参数，先解不等式，再结合求解即可得到答案；
【详解】解：当时，即，
，不符合题意，
当时，即，
，符合题意，
故选：B．
7. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，以为边在轴右侧作等边，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边按此规律继续作下去，则点的纵坐标为( )

A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标规律，等边三角形的性质；根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是，以为边在右侧作等边，再过点作轴的垂线，垂足为，得点的纵坐标是，以此类推，得点的纵坐标是，即可求解．
【详解】解∶点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，则点的纵坐标是，
以为边在右侧作等边，再过点作轴的垂线，垂足为，
，，
，即的纵坐标是，
同理，得点的纵坐标是，
按此规律继续作下去，得点的纵坐标为，
故选∶A．
8. 新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是( )
A. 《3，2，1》B. 《3，4，5》C. 《，，》D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式进行计算，即可求解．
【详解】解：A.当“共同体数”为《3，2，1》时，一元二次方程为
∵，
∴没有实数根，故该选项不符合题意；
B.当“共同体数”为《3，4，5》时，一元二次方程为
∵，
∴没有实数根，故该选项不符合题意；
C.当“共同体数”为《，，》时，一元二次方程为
∵，
∴有两个不相等实数根，故该选项符合题意；
D.当“共同体数”为时，一元二次方程为
∵，
∴没有实数根，故该选项不符合题意；
故选：C．
9. 将两个直角三角形摆放如图，其中，则长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质；过点作于点，证明得出，在中，根据勾股定理建立方程，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵
∴
∵，
∴
在和中，
∴
∴
∴
在中，根据勾股定理可得，
∴
解得：（负值舍去）
故选：B．
10. 勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形的边长分别为m，n，p，q，且三个直角三角形中，当变化时，以下说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质及勾股定理，过作，，即可判断A，B，根据勾股定理求解即可判断C，D即可得到答案；
【详解】解：根据图像得，
，，，
∵，
∴，
∴，，，四点共线，
过作，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
同理可得，，
∴，，
∵大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形的边长分别为m，n，p，q，
∴，，故A，B正确，不符合题意，C不正确，符合题意，
∵，，，
∴，故D正确，不符合题意
故选：C．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 将二次根式化为最简二次根式____________．
【答案】5．
【解析】
【分析】首先将50分解为25×2，进而开平方得出即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确开平方是解题关键．
12. 在中，已知，那么是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
【答案】直角
【解析】
【分析】设，则，，根据三角形内角和求出的值，计算出每个内角度数即可判断．
【详解】解：设，则，，
，
，
，
，
，，，
故答案为：直角．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，运用方程思想是解本题的关键．
13. 不等式组的解集是，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先解出不等式组，再根据不等式组的解集确定m的取值即可．
【详解】解：
解不等式①得，
∵不等式组的解集为，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查利用一元一次不等式组的解集求字母的取值范围，掌握“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
14. 等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为_______
【答案】或
【解析】
【分析】依题意，设等腰三角形三个内角分别为或，则根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：依题意，设等腰三角形三个内角分别为或，则
或，
解得：或，则
则这个等腰三角形底角的度数为或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，分类讨论是解题的关键．
15. 若和是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系；根据题意得出，，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵和是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴即，，
∴，
故答案为：．
16. 在等腰直角中，，在斜边上取点，使得为边上一动点，以为直角顶点，为直角边构造等腰直角(在右侧)，当最小时，______．
【答案】
【解析】
【分析】作于点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连结，则，，而，，则，可证明，得，，可知点在经过点，且与垂直直线上运动，当时，的值最小，此时，延长交于点，连结，可证明，得，由，，求得，，于是得到问题的答案，
【详解】解：作于点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连结，
是等腰直角三角形，
，，
， ，
，
在和中，
，
， ，
，
如图，则点在经过点，且与垂直的直线上运动，
当时，的值最小，
如图，，则，延长交于点，连结，
， ，
，
，
，
，
，
，
，， ，
，
， ， ，
，
，
在中，

，
，
， ，
故答案为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，三角形形内角和定理、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共66分）
17. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算与解一元二次方程；
（1）先化简二次根式，根据零指数幂进行计算即可求解；
（2）先化为一般形式，然后根据配方法解即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2），
整理得，
∴，
∴，
∴，
解得：．
18. 解不等式组，并在数轴上表示此不等式组的解集．
【答案】图见详解，；
【解析】
【分析】本题考查解不等式组，分别解不等式①和②，再根据同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解即可得到答案；
【详解】解：解不等式①得，
，
解不等式②得，
，
在数轴上表示如下，
，
∴不等式组的解集为：．
19. 如图，直线解析表达式为：，且直线与轴交于点，直线经过点和，直线交于点．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）若直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）点坐标
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，两直线的交点问题；
（1）利用轴上点的坐标特征求点坐标；
（2）利用待定系数法确定直线的解析式；
（3）由于与的面积相等，根据三角形面积公式得到点与点到的距离相等，则点的纵坐标为，对于函数，计算出函数值为所对应的自变量的值即可得到点坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：把代入，得，
解得：，所以点坐标为；
【小问2详解】
解：设直线的解析表达式为
将点和代入得
解得：
直线的解析表达式为
【小问3详解】
解：联立
解得：
直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，
点与点到的距离相等，则点的纵坐标为，
当时，
解得：
20. 学校想了解初二年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从801、802两个班中各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）
801班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
802班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
通过数据分析，列表如表：
801班、802班抽取的学生竞赛成绩统计表
802班学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述、、的值：______，______，______．
（2）学校欲选成绩更稳定的班级参加相关活动，根据表格中的数据，学校会选哪一个班级？说明理由．
（3）这两个班共100人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（）的学生总人数是多少？
【答案】（1）40，94，96
（2）选派802班，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）将801班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义即可求出b和c的值；由题意可知802班C组有3人，即可求出其所占百分比，最后用其它各组所占百分比即可求出a的值；
（2）直接比较两个班级的方差即可；
（3）求出样本中两个班级成绩优秀的人数，再利用样本的百分率估计总体即可得到答案．
【小问1详解】
解：801班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100，
∴．
∵成绩为96分的学生有2名，最多，
∴．
802班C组有3人，
∴扇形统计图中C组所占百分比为，
∴扇形统计图中D组所占百分比为，
∴．
故答案为：40，94，96；
【小问2详解】
解：选派802班，理由如下：
∵两个班的平均成绩相同，而801班的方差为52，802班的方差为，
∴802班成绩更平衡，更稳定，
∴学校会选派802班．
【小问3详解】
解：802班D组的人数为人，
∴802班10名学生的成绩为优秀的有人．
∴估计参加此次调查活动成绩优秀的九年级学生人数是人．
【点睛】本题考查的是扇形统计图，频数分布，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A均为格点．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
（1）在图①中找一格点B，连接，使线段．
（2）在图②中画出等腰，点B、C在格点上，使为顶角且．
（3）在图③中画出等腰，点B、C在格点上，使为顶角且腰长为5．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定、勾股定理是解答本题的关键．
（1）使为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边即可．
（2）结合等腰三角形的判定与性质，使边上的高为2即可．
（3）使和都是直角边分别为3和4的直角三角形的斜边即可．
【小问1详解】
解：为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边即可，如图所示：符合题意的点有4个，点B即为所求．
【小问2详解】
当边上的高为2时，得到如下3个符合题意的三角形，等腰即为所求．
【小问3详解】
当和都是直角边分别为3和4时，得到符合题意的3个三角形，等腰即为所求．
22. 近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业．某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如下表：
（1）根据表格提供的数据，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价．
（3）销售该书每天的利润能否达到9000元？请说明理由．
【答案】（1）
（2）销售单价为20元/本
（3）销售该书每天的利润不能达到9000元，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设y关于x的函数关系式为．将表中两个点代入求解即可；
（2）根据题意及（1）中结论，列出方程求解即可；
（3）与（2）类似，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设y关于x的函数关系式为．
由题意得，
解得．
∴y关于x的函数关系式为；
【小问2详解】
依题意得，
整理得，
解得，．
∵，
∴．
∴若销售该书每天的利润为6000元，则该书的销售单价为20元/本；
【小问3详解】
不能．
理由如下：依题意得，
整理得．
∵，
∴该方程没有实数根，
∴销售该书每天的利润不能达到9000元．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．
23. 【课本巩固】如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点．
（1）与的数量关系为______，与构成的锐角夹角的度数是______；
【探究发现】
（2）在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分．
【拓展延伸】
（3）如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，，求．
图① 图② 图③
【答案】（1），；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形的面积公式；
（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）可知，，求得，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到， ，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论；
（3）连接，设，得出，，进而得出，根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图①，是等边三角形，
，，
在和中
，
，，
，
故答案为：，；
（2）证明：由（1）可知，，
，
，
等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
即，
，
，
，
，
平分；
（3）如图所示，连接，
设，
在等边中，，
又，
，
，
，
又，则，
同理可得，，又，
，
，
，
，
．
24. 在平面直角坐标系中，．
图① 图② 图③
（1）如图①，若，过点作交轴于点，求点的坐标；
（2）如图②，若点在轴正半轴上运动，且，过点作交轴于点，连接，当时，求的度数．
（3）如图③，若是线段上的一个动点，点在内部，，，连结，设，求的面积关于的解析式．
【答案】24.
25.
26.
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，全等三角形的性质与判定；
（1）由可证，可得，即可求解；
（2）由面积法可得，可证，由可证，可得，由三角形内角和定理可求解；
（3）由勾股定理的逆定理可求，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，由面积关系可求的面积，即可求解．
【小问1详解】
解： ，
，，
，
，
，
，
又， ，
，
，
点；
【小问2详解】
如图2，过点作于，于，连接，
延长至，使，连接，
由（1）可得
， ， ，
，
，
， ，
平分，
，
，
，
， ，
，
又，
，
，
，
，
．
【小问3详解】
如图所，连接，过点作于点，于点
，，
，，，
四边形是长方形，
，
，，
的面积为．
年级
平均数
中位数
众数
方差
801班
802班
x（元/本）
…
15
25
…
y（本）
…
700
500
…