浙江省台州市玉环市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题+（原卷版+解析版）

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满分150分，考试时间120分钟
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1. 以下是“双减”背景下学校社团拓展课程的相关图片，其中是中心对称图形的是（ ）
A. 剪纸B. 琵琶
C. 钢笔D. 乒乓球拍
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义依次判断即可．
本题主要考查了中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转度后，它能够与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．判断一个图形是否是中心对称图形，关键是看能否找到对称中心．
【详解】A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于0B. 从装有6个白球的袋中摸出一个红球
C. 奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心D. 明天太阳从西方升起
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是随机事件的分类，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、是必然事件，不符合题意；
B、不可能事件，不符合题意；
C、是随机事件，符合题意；
D、是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
3. 如图，在中，，为半径，点C为上一点，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
根据圆周角定理进行求解即可．
【详解】解：，
，
故选：C．
4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．利用配方法进行变形即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A. y=3（x+2）2﹣1B. y=3（x﹣2）2+1C. y=3（x﹣2）2﹣1D. y=3（x+2）2+1
【答案】A
【解析】
【详解】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则，抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1.故选A.
考点：二次函数图象的平移法则.
6. 如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为（ ）
A. 2米B. 4米C. 8米D. 10米
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，根据题意，，，在中运用勾股定理可求出的值，由即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，，
∴，且，
设，则，
在中，，
∴，解得，，负值舍去，
∴，
故选：C．
7. 下表中记录了某种文旦树苗在一定条件下移植成活的情况：
由此估计这种文旦树苗移植成活的概率（精确到0.01）约为（ ）
A. 0.89B. 0.90C. 0.91D. 0.92
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用总数量乘以成活频率的稳定值即可．
【详解】解：∵根据表格数据：成活的频率分别有0.915、0.912、0.915、0.899、0.901
∴由此估计这种文旦树苗移植成活的概率（精确到0.01）约为0.90
故答案为：B
8. 某医疗企业一月份生产消毒液50万瓶，二、三月份平均每月产量的增长率为x，三月份生产消毒液72万瓶，那么可列方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．增长后的量增长前的量（增长率），那么根据三月份的产量可以列出方程．
【详解】二月份的产量为万瓶，
三月份的产量为万瓶，
所以可列方程．
故选：B．
9. 如图，将锐角绕点C按逆时针方向旋转（是锐角），点A，B分别落在D，E位置，和相交于点M，连接，若，则下列结论中不正确的是（ ）
A. B. 平分
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，角平分线的性质，掌握基本图形的性质是解题的关键．
根据旋转的性质，以及全等图形的基本性质进行逐项分析即可．
【详解】，，．
．
在和中，
，
，
，
，
∴A，D正确；
过点C作于点P，于点Q．
，
．
，
，
平分，
∴B正确；
由于顶角和旋转角未知，
∴不一定垂直，
∴C不正确．
故选：C．
10. 二次函数（a，b，c为常数，）中的x与y的部分对应值如表．当时，给出下列四个结论：①；②当时，y的值随x的增大而增大；③；④．其中结论正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．由抛物线经过，可得抛物线对称轴及c的值，从而可得a，b的关系，由可得抛物线开口向上，从而可得a，b，c的符号，进而判定①②③．由，，得出，把代入，得出，即可判断④．
【详解】解：由表格可知过，点，
∴对称轴为直线，
，
，故④正确；
，
函数图象开口向下，当时，y随x的增大而增大，
，
，
，故①正确；
，
∴当时y随x的增大而减小，故②错误；
，，
，代入得：
，
∴，故③正确．
综上，正确的结论有3个．
故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 点A(3，n)关于原点对称的点的坐标为(－3，2)，那么n＝___________
【答案】－2
【解析】
【分析】关于原点对称的两个点的横坐标和纵坐标互为相反数.
【详解】∵点A(3，n)关于原点对称的点的坐标为(－3，2)，
∴n=-2.
故答案为-2
12. 抛物线经过点，则它的对称轴是__________．
【答案】直线
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数与x轴的交点是关于对称轴对称的两点进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数与x轴的交点是关于对称轴对称的两点,
∴根据对称性可得 ：抛物线的对称轴为直线,
故答案为：直线.
13. 如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可；
【详解】设每个小正方形格子的长度都是1，
∴ 黑色区域的面积=6，游戏板的面积=16，
所以击中黑色区域的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比、面积比、体积比等．
14. 已知圆锥的高是，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面展开图面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要是考查了圆锥的侧面积的求法，根据圆锥的轴载面是直角三角形，利用勾股定理可得母线长l，由圆锥的侧面展开图面积为，直接代数可得结果．
【详解】解：∵圆锥的高是，底面圆半径为2，
∴圆锥的母线长，
∴该圆锥的侧面展开图面积为．
故答案为：．
15. 已知经过菱形中的三个顶点，的延长线与交于点，连接，当时，过点作于点，则_________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题属于圆与四边形的综合题，涉及圆周角定理和菱形的性质，勾股定理等知识，根据题意菱形的性质可得是等腰三角形，与共线，且，在中，可求出，在中可求出，由菱形对角线平分对角及圆周角定理便可在与之间建立起数量关系．
【详解】解：四边形为菱形，
，
，
，
，
，
∴，
在中，，
，
在中，，
，，
∴，
故答案为：．
16. 如图，正方形的边长为2，点E为边的中点，以为边分别作等腰和等腰，其中，延长交于点F，连结，则线段的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质可以得到，进而得到，即在以为斜边向上作等腰的外接圆上运动，所以当过圆心O时最大，进而计算即可解题．
【详解】，
，
，，
，
，为定值．以为斜边向上作等腰
在以O为圆心为半径的圆上，
当过圆心O时最大，
正方形的边长为2，
，
，
．
【点睛】本题属于几何中的隐圆问题，涉及正方形的性质，等腰三角形的性质和圆周角、圆心角定理，对于线段最值的求解问题，可观察所求线段是否过某一定点或是绕某一定点旋转，如若具有此特点，可先分析运动过程，对动点的运动轨迹进行研究，否则可考虑设未知量，引入函数模型，利用条件最值来解决．本题所求线段中点E为定点且绕点E运动，因此得到点F的运动轨迹是解决本题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共80分）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
【小问1详解】
解：，
或，
解得，；
【小问2详解】
解：
或，
解得，．
18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，点A，B的坐标分别为，．绕点O逆时针旋转后得到．
（1）在网格中作出，并标上字母；
（2）写出点的坐标：（_____，_____），（_____，_____）；
（3）在旋转过程中，点B经过路径为，那么的长为__________．
【答案】（1）见解析 （2）；3；；1
（3）
【解析】
【分析】此题主要考查了图形的旋转、点的坐标确定以及弧长公式应用，根据题意得出对应点坐标是解题关键．
（1）利用旋转的性质得出，的位置，即可得出所要作的图形；
（2）利用（1）中图形得出点，的坐标；
（3）利用弧长公式求出的长．
【小问1详解】
解：先利用旋转的性质得出，的位置，再连接，，，如图所示：
【小问2详解】
解：点A，B的坐标分别为，，
点A、B关于O点中心对称的点，的坐标为：，；
【小问3详解】
解：点，
，
．
19. 随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ；
（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
【答案】（1）；（2）图表见解析，
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：（1）因为设立了四个“服务监督岗”，而“洗手监督岗”是其中之一，
所以，李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
20. 已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若关于x的方程有实数根，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法和判别式的应用是解答本题的关键．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据判别式进行计算即可．
【小问1详解】
解：把代入，
得
解得
二次函数表达式为．
【小问2详解】
解：，
∴方程为，
，
．
21. 如图，为上的直径，C为上的点，垂直于过点的直线，垂足为D．
（1）若平分，求证：为的切线；
（2）在（1）的条件下，若，求的半径r．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OC，证明，根据，得出，即可证明结论；
（2）根据，利用三角函数求出，，连接，利用三角函数求出，，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：连接OC．
，
，
平分，
，
，
，
，
，
为的切线．
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
连接，如图所示：
为直径，
，，
，
，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
22. 如图，校园某处的直角墙角，墙长，长，现准备用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，花园的面积为．
（1）若花园的面积为，求x的值；
（2）写出S与x的函数关系式；
（3）求出花园面积S的最大值．
【答案】22.
23.
24. 当时，S最大，为144
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用：
（1）分别表示长和宽，根据矩形的面积等于长于宽的乘积，即可作答；
（2）矩形的面积等于长于宽的乘积，即可作答；
（3）把S与x的函数关系式化为顶点式，再结合二次函数的性质，即可作答．
【小问1详解】
解：∵墙长，长，现准备用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），
∴，
解得
（舍去）
．
【小问2详解】
解：∵墙长，长，现准备用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），
∴
【小问3详解】
解：由（2）知
∴，
，开口向下，当时，S最大，
即；
∴花园面积S的最大值为144．
23. 问题背景：如图1，在四边形中，若，则平分．小明为了证明这个结论，将绕点C顺时针旋转，得到．
（1）请帮助小明完成他证明过程；
证明：将绕点C顺时针旋转得到，
__________，__________，．
，
，
，即三点共线．
，
__________，
__________，即平分．
（2）应用：在图1中，若，则__________；
（3）迁移：如图2，，若，求的长；
（4）拓展：如图3，以等腰的一边作等腰，且，连接，已知，则的值为__________．（请直接写出答案）
【答案】23 ；（或）；；
24.
25.
26. 或
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质，补角的性质，等腰三角形的性质进行解答即可；
（2）先求出，根据为等腰直角三角形，求出即可；
（3）将绕C点顺时针至．先证明B，A，三点共线，根据，求出，根据等腰直角三角形性质得出；
（4）过点B作于点E，，过点D作于点F，交AC延长线于点G．证明，得出，证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，求出；当在左侧时，连接．求出，得出．
【小问1详解】
证明：将绕点C顺时针旋转得到，
，，，
，
，
，即三点共线，
，
，
∴，即平分
故答案为：；（或）；；．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵三点共线，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
【小问3详解】
解：如图，将绕C点顺时针至，
，
，
，
，
∴B，A，三点共线，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
．
【小问4详解】
解：如图，过点B作于点E，，过点D作于点F，交AC延长线于点G．
，
∴设，则，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形为正方形，
，
，
；
当在左侧时，连接，
，
∴，，
∵，
，
，
．
综上，或．
故答案为：或．
【点睛】本题属于探究型题目，主要考查三角形的旋转和全等三角形的应用．各小问之间的关系较为密切．往往前一问的结论可作为下一问的条件或是作为下一问的思考方向．本题（1）问中引入了全等三角形的旋转模型，这便为后面几问的解答给予启发，第（2）问可直接以（1）中的结论为条件得出答案，（3）（4）则顺着（1）中的思考方向作为解答，通过对所求线段进行藏转，构造垂直关系和全等三角形，从而使问题得以解决．注意第（4）问中对进行旋转时，方向具有不确定性，需进行分类讨论．
24. 材料背景：如图1，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系，规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A（对应的实数为a），过点P作x轴的平行线，交y轴于点B（对应的实数为b），则称有序数对为点P的斜坐标．
应用：
（1）点M的斜坐标为，它关于x轴对称的点为F，请直接写出点F的斜坐标__________；
（2）如图2，半径为1的动圆的圆心从斜坐标为的点M出发，以2单位长度/秒的速度沿着y轴的负方向运动；
当，与x轴相切时，__________；
当点O在内时，t取值范围为__________；
拓展：
（3）如图3，从点M出发同时，边长为2的正方形的中心从点出发，以5单位长度/秒的速度沿着x轴的负方向运动，中心达到原点后，立即返回，继续保持原速度沿着x轴的正方向运动．当圆心到达原点时，点，均停止运动．
①设，两点间距离为d，求关于t的函数关系式；
②是否存在某一时刻，使得与正方形的某一边相切，若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或；；（3）①；②或或或
【解析】
【分析】本题属于材料阅读类题目，综合性很强．准确理解“平面斜坐标系”的定义，把握“平面斜坐标系”的特征是解决本题的关键．
（1）过点F作轴，轴，先证明，再证明四边形为平行四边形，即可得出答案；
（2）设运动至，的位置时与x轴相切．过点作轴于点A，过点作轴于点B，先得出，再得出或，当时，O恰好在上，可求出t的范围；
（3）过点作轴于点A，得出，，当时，求出，当或或或时，与正方形某一边相切，当与正方形上边相切时，得到，进而得到，此时与正方形相切于点B；当与正方形的竖直一边相切于，点B时，此时，过点作轴于点H．设运动时间为t，则，，当点与点H重合时，与正方形相切于右侧一边，可得，可解得或，此时与正方形同时切于左右两边，当点在点H右侧，距离1个单位时，与正方形相切于左侧一边，可得．同理得或，解得（舍去）或，此时与正方形相切于左侧一边，即可得出满足题意的t的取值．
【详解】解：（1）如图1，由题意得，，
点M与点F关于x轴对称，
轴，
，
过点F作轴，轴，
，
在和中，
，
，，
，
轴，轴，
四边形为平行四边形，
，，
F的坐标为．
（2）如图2，设运动至，的位置时与x轴相切．过点作轴于点A，过点作轴于点B，
，
，
，
，，
或，
或．
当时，O恰好在上，
当点O在内时，，
．
（3）为，过点作轴于点A，
，，
，，
当时，，，；
当时，，
，
．
综上，
当或或或时，与正方形某一边相切，理由：
由知，即不会内切于正方形O．
当与正方形上边相切时，可知此时圆心到x轴的距离为2．
如图4，此时，
运动时间，则，即，此时与正方形相切于点B，符合题意；
如图5，当与正方形的竖直一边相切于点B时，此时，
，，
过点作轴于点H．设运动时间为t，则，，
当点与点H重合时，与正方形相切于右侧一边，此时，
或，解得或，
此时与正方形同时切于左右两边，符合题意；
当点在点H右侧，距离1个单位时，与正方形相切于左侧一边，
此时．
同理得或，
解得（舍去）或，此时与正方形相切于左侧一边，符合题意．
综上，满足题意的t的取值为或或或．
移植的棵数n
200
500
800
2000
12000
成活的棵数m
183
456
732
1798
10812
成活的频率
0.915
0.912
0.915
0.899
0.901
x
0
3
y
n
3
3