黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三第一次模拟考试数学试题

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三第一次模拟考试数学试题，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，若为纯虚数，则（ ）
A．B．2C．1D．
3．已知为奇函数，则（ ）
A．B．2C．1D．
4．某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（ ）
A．0.12B．0.20C．0.44D．0.32
5．已知数列为等比数列，均为正整数，设甲：；乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
6．若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为和，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
9．已知圆，则下列结论正确的有（ ）
A．若圆和圆外离，则
B．若圆和圆外切，则
C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线
D．当时，圆和圆相交
10．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，的最小正周期为
B．当时，的最小值为
C．当时，在区间上有4个零点
D．若在上单调递减，则
11．已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内任一点，且五点在同一个球面上，则（ ）
A．
B．四面体的体积为
C．当时，点的轨迹长度为
D．当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为
三、填空题
12．第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有 种（用数字作答）.
13．已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为 .
14．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为 .
四、解答题
15．睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而许多人被睡眠时长过短､质量不高等问题所困扰.2023年3月21日是第23个世界睡眠日，这一天某研究小组随机调查了某高校100名学生在某一天内的睡眠情况，将所得数据按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求的值，并由频率分布直方图估计该校所有学生每一天的平均睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)每一天睡眠时长不低于7.75小时认定为睡眠充足，以频率代替概率，样本估计总体，在该高校学生中随机抽查3人，求至少有两人每一天睡眠时长充足的概率.
16．记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线长.
17．如图1，在平面四边形中，，.点是线段上靠近端的三等分点，将沿折成四棱锥，且，连接，如图2.

(1)在图2中，证明：平面；
(2)求图2中，直线与平面所成角的正弦值.
18．在平面直角坐标系中，点为动点，以为直径的圆与轴相切，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)设为直线上的动点，过的直线与相切于点，过作直线的垂线交于点，求面积的最小值.
19．已知函数.
(1)设函数，讨论的单调性；
(2)设分别为的极大值点和极小值点，证明：.