陕西省西安中学2024届高三模拟考试（一）数学（理科）试题

这是一份陕西省西安中学2024届高三模拟考试（一）数学（理科）试题，共4页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．中，，P为线段中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：，）（ ）
A．秒B．秒C．秒D．秒
5．已知，则下列选项中是“”的充分不必要条件的是（ ）
A．B．C．D．
6．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
①若，，则 ②若，，那么
③若，，，则 ④若，，则
A．②④B．①②C．②③D．③④
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若且，则（ ）
A．B．C．2D．
8．若的展开式的二项式系数之和为，则的展开式中的系数为（ ）
A．8B．28C．56D．70
9．函数的图象经过点，将该函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
10．已知，，若，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线（，）的离心率为，圆与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．若函数有两个不同的极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知数据15，14，14，a，16的平均数为15，则其方差为 .
14．函数是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则 .
15．在中，，点D在线段上，且满足，，则等于 .
16．如图，正方形与正方形的中心重合，边长分别为3和1，，，，分别为，，，的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿，，，折起，使，，，重合于P点，则四棱锥的高为 ，若直四棱柱内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面内，则该直四棱柱体积的最大值为 ．

三、解答题
17．已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
18．某班组织投篮比赛，比赛分为两个项目.比赛规则是：①选手在每个项目中投篮5次，每个项目投中3次及以上为合格；②第一个项目投完5次并且合格后才可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；③选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛.已知选手甲在项目比赛中每次投中的概率都是0.5.
(1)求选手甲参加项目合格的概率；
(2)已知选手甲参加项目合格的概率为0.6.比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分.设累计得分为，为使累计得分的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？请说明理由.
19．如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面．

(1)求证：；
(2)若，在棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
20．已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程
(2)若 对任意的 恒成立，求满足条件的实数 的最小整数值.
21．已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3．
(1)求抛物线的标准方程．
(2)已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围．
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），把绕坐标原点逆时针旋转得到，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)写出，的极坐标方程；
(2)若曲线的极坐标方程为，且与交于点A，与交于点B（A，B与点O不重合），求面积的最大值．
23．已知，函数，不等式的解集为或．
(1)求实数的值；
(2)若的最小值为，求证：．