湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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1. 设集合，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
2. 若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则（ ）
A. 1B. 3C. 6D. 1或3
【答案】B
【解析】
【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.
【详解】若，则由得（舍去）；
若，则由得．
故选：B.
3. 已知正方体，平面与平面的交线为l，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由面面平行的性质可判断.
【详解】如图，在正方体中，
平面平面，平面平面，
平面平面，.
对于A，，，故A正确；
对于B，因为与相交，所以与不平行，故B错误；
对于C，因为与不平行，所以与不平行，故C错误；
对于D，因为与不平行，所以与不平行，故D错误；
故选：A.

4. 将个和个随机排成一行，则个不相邻的情况有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】
【分析】将2个8插空放入不相邻的5个空位，即可得解.
【详解】将个插空放入不相邻的个空位个产生个空位中有 种方法，
故个不相邻的情况有 种，故D正确.
故选：D.
5. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
6. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
详解：sinB=sin（A+C）=sinAcsC+csAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣csC）=0，
∴sinAcsC+csAsinC+sinAsinC﹣sinAcsC=0，
∴csAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴csA=﹣sinA，
∴tanA=﹣1，
∵＜A＜π，
∴A= ，
由正弦定理可得，
∵a=2，c=，
∴sinC== ，
∵a＞c，
∴C=，
故选B．
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
7. 已知函数，设，则等于（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式得到最大值，即得到关于的关系式，代入利用诱导公式即可.
【详解】，
，
，
，
，
，
.
故选：B.
8. 已知，若存在实数（），当（）时，满足，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数性质，得，，将问题转化为求的取值范围，构造函数求函数值域.
【详解】作出的图象如图，
由题，，，
所以，
令（），则当时，；当时，.
，当时，，在上单调递减；
当时，，上单调递增.
所以，且，
所以的取值范围为.
故选：D.
【点睛】利用正弦型函数的周期性和对称性，将问题转化为求函数（）的值域，求值域时，除函数的单调性外还要注意函数的取值特点.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 设复数（且），则下列结论正确的是（ ）
A. 可能是实数B. 恒成立
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数的运算和复数的类型的概念求解即可.
【详解】对于A：若是实数，
则，与已知矛盾，故A错误；
对于B：由A项知，
所以，
，故B正确；
对于C：若，
则，因为，所以，故C正确；
对于D：，
则，因为，所以，
所以，故D正确．
故选：BCD．
10. 已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A. 离心率的取值范围为
B. 当离心率为时，的最大值为
C. 存点使得
D. 的最小值为1
【答案】BD
【解析】
【分析】根据椭圆的定义性质，结合所给条件，逐个分析判断即可得解.
【详解】由题意可得，所以，
由点在椭圆内部可得：，
可得，即 ，所以，
对A，，所以，故A错误；
对B，当时，，,
，故B正确；
对C，由A知，当时，当在短轴端点时，
最大，此时，此时，
由，故可得在椭圆在最扁时的最大值都小于，
所以不存在点使得，即C错误；
对D，，故D正确；
故选：BD.
【点睛】本题考查了椭圆的相关性质，考查了椭圆的离心率和距离最值问题，同时考查了椭圆的定义和基本不等式的应用，需要一定的计算能力，属于较难题.
本题的关键点有：
（1）椭圆定义的应用，椭圆定义在解决距离问题时往往和两点之间线段最短结合来求最值；
（2）离心率和椭圆形状的关系，通常是解焦点三角形的关键；
（3）基本不等式求最值，也是解析几何求最值得重要方法.
11. 设等差数列的前项和为，则以下四个选项中正确是( ).
A. 若，则
B. 若，且，则且
C. 若，且在前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，则公差为
D. 若，且，则和均是的最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式、下标和性质与前项和公式，依次分析各结论即可得解.
【详解】对于A：因为 是等差数列， ，所以 ，故A正确；
对于B：因为 ，所以 ，即 是递增数列，
因为 ，即 ，所以 ，
即 ，则 ，所以 且 ，故B正确；
对于C：因为 ，所以 ，则 ，则 ，
又 ， ，
所以 ，即 ，故 ，得 ， ，
所以 的公差为 ，故C错误；
对于D：因为 ，即 ，
即 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，
由于 ，所以 ，故 ，即 ，
因为 ，所以 是递减数列，则 ， ，
所以 ， ，
故 和 均是 的最大值，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则__．
【答案】
【解析】
【分析】依题意，利用同角三角函数间的关系可求得，利用两角和的正切即可求得答案．
【详解】，
，
，
，
故答案为：
13. 已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.
【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图，

，，由的面积为，得，
解得，于是，
所以圆锥的体积.
故答案为：
14. 已知正实数满足，，则当取得最小值时，__________．
【答案】
【解析】
【分析】将转化为与两点间距离的平方，进而转化为与圆心的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.
【详解】可将转化为与两点间距离的平方，
由，得，
而表示以为圆心，1为半径的圆，为圆上一点，
则与圆心的距离为：，
当且仅当，即时等号成立，
此时与圆心的距离最小，即与两点间距离的平方最小，
即取得最小值.
当时，，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆上的点到上的点的距离的最小值的求解问题，进而求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自年月日起至月日在全省实施景区门票减免，全省国有级旅游景区免首道门票，鼓励非国有级旅游景区首道门票至少半价优惠本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来，游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为某市旅游局从游客中随机抽取人其中年龄在周岁及以下的有人了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄周岁及以下和周岁以上分类统计得到不完整的列联表：单位：人
（1）根据统计数据完成以上列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联．
（2）现从本市游客中随机抽取人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率作为概率，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中．
附：
【答案】（1）列联表见解析，有关联
（2）分布列见解析，数学期望为2.7
【解析】
【分析】（1）由题意补全列联表后计算出，与比较即可求解；
（2）根据随机变量的所有取值计算出对应概率，列出分布列，再求出期望即可得.
【小问1详解】
由题意抽取的名游客中年龄在周岁及以下的有人，
则年龄在周岁以上有人，补全的2联表如下：
设:对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄无关联，
==，
根据小概率值的独立性检验,
我们推断不成立,即认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联，
​​​​​​​此推断犯错误的概率不大于.
【小问2详解】
由题意可得一位游客至少去过两个及以上景区的概率为，
则得，的所有可能取值为，
则，
，
，
，
所以的分布列为
数学期望.
16. 如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，下底面圆周的一条弦交于点，其中，．

（1）证明：平面平面．
（2）在上底面圆周上是否存在点，使得二面角的正弦值为若存在，求的长若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，的长为
【解析】
【分析】（1）根据圆和圆柱的性质可证平面；
（2）设平面交圆柱上底面于且交于点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面与平面的一个法向量，由的正弦值为，从而可求解.
【小问1详解】
证明：由题意可知：在下底面圆中，为直径，
因为，所以为弦的中点，且，
因为，，、平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
【小问2详解】
设平面交圆柱上底面于，交于点，
以D为坐标原点，分别以下底面垂直于的直线、、为、、轴建立空间直角坐标系如图所示：

因为，底面圆半径为所以．
则，，，设．
则，，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，即，
令则，
设平面的一个法向量为，
则，得，
令，则
又二面角的正弦值为，
所以，
化简得：，解得：或（舍），所以，
又因为平面，平面，平面平面，
所以，，且为的中点，
所以，.
所以存在点，使得二面角的正弦值为，的长为.
17. 已知椭圆，、两点分别为椭圆的左顶点、下顶点，是椭圆的右焦点，，直线与椭圆相切与（在第一象限），与轴相交于（异于），记为坐标原点，若是等边三角形，且的面积为，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）、两点均在直线：，且在第一象限，设直线、分别交椭圆于点，点，若、关于原点对称，求的最小值
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】(1)由可得，再根据△是等边三角形，求出点，代入椭圆方程即可求解；
(2)结合(1)可得，设，，写出直线的方程，求出点的坐标，同理求出点，利用两点间距离公式和不等式即可求解.
【小问1详解】
∵，则，
∵△是等边三角形，∴，则，
∵，，则，，
将代入，，
∴，解得，
∴椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
因为，设，，
则直线：，所以，
因，，则直线：，
所以，
所以，
设，则，
∵，当且仅当时取等，∴，
当且仅当，等号成立，所以，即的最小值为6.
18. 高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段､代表山坡，线段为一段平地.设图中坡的倾角满足，长长长.假设该路段的高铁轨道是水平的（与平行），且端点分别与在同一铅垂线上，每隔需要建造一个桥墩（不考虑端点建造桥墩）
（1）求需要建造的桥墩的个数；
（2）已知高铁轨道的高度为，设计过程中每放置一个桥墩，设桥墩高度为（单位：），单个桥墩的建造成本为（单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值.
【答案】（1）18个 （2）715.625万元
【解析】
【分析】（1）先由正切值得到余弦值，进而计算得到得到的长，再计算得出，结合每30m放置一个桥墩，
即可求出需要建造的个数.
（2）可设最左边的桥墩到的距离为米，为从左往由第个桥墩的高度，写出和
对应的桥墩高度的表达式，然后利用数列求和求出所有桥墩的高度，计算出成本总和的最小值即可得
出答案.
【小问1详解】
由，，可得，，过点向作垂线，垂足为，则
，，，
故修建桥墩个数为个.
【小问2详解】
设最左边的桥墩到的距离为米，为从左往由第个桥墩的高度，
由，之间可以建13或14个桥墩，当可以建14个桥墩时，
，当时，AC之间可以建13个桥墩，而，
即之间可以建8个桥墩，在时，当，，
，，；
当，
；当，；同理写出，
表达式总结如下：
①当时：
解得
求和后得到的高度总和
②当时：
求和后得到的高度总和
所以当，，当，，
即桥墩高度总和最小为，成本最小值为万元.
【点睛】方法点睛：利用数列求解最值问题一般有三种方法：
（1）数列也是特殊的函数，其定义域为正整数，因此可以利用函数单调性判断数列的单调性，从而确定数列的最值.
（2）结合基本不等式求最值，将通项或者前n项和转化为基本不等式的形式求最值.
（3）利用相邻项比较，判断数列的单调性，求最大值只需要满足，得出最值.
19. 设是定义域为的函数，当时，.
（1）已知在区间上严格增，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格增函数；
（2）已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；
（3）已知，且对任意，当时，有，证明：.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）结合（1），利用极值的定义进行求解即可；
（3）利用题目条件，代入，分情况进行讨论即可证明.
【小问1详解】
不妨设，在区间上严格增，
对任意，有，
又，
函数在区间上是严格增函数；
【小问2详解】
由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增，
当在区间上严格减时，在区间上是严格减，
又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值，
可得，
当时，，在左右附近两侧异号，
满足条件，所以.
【小问3详解】
当时，
由条件知，
当时，对任意，有，
即，
又的值域是，，
当时，对任意，有，
，
又的值域是，，年龄
满意度
合计
不满意
满意
周岁及以下

周岁以上

合计











不满意
满意
总计
50周岁及以下
5
55
60
50周岁以上
15
25
40
总计
20
80
100
0
1
2
3
0.001
0.027
0.243
0.729