2024六安一中高二上学期期末考试数学含解析

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时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数运算法则，结合基本函数的导数公式依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，，，故A错误；
对于B选项，，，故B正确；
对于C选项，，，故C错误；
对于D选项，，，故D错误．
故选：B
2. 已知数列是首项为3，公差为1的等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式代入运算、化简即可.
【详解】由题得
所以故
故选：B.
3. 抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先设点坐标，然后利用点到直线距离求解即可.
【详解】因为所求点在抛物线上，
所以设所求点为：，
所以点到直线距离为：
，
当且仅当时，有最小值，
此时，
故选：B.
4. 等比数列为递减数列，若，，则（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由结合，可得为方程的两个根，又，解得，，再结合等比数列通项公式即可得出.
【详解】由为等比数列，得，又，
∴为方程的两个根，
解得，或，，
由为递减数列得，∴，，
∴，
则，
故选：A.
5. 高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）
A. 462B. 465C. 468D. 475
【答案】B
【解析】
【分析】记第n层有个球，则根据题意可得，再根据累加法与等差数列的求和公式即可得解.
【详解】记第层有个球，则，，，，
结合高阶等差数列的概念知，，，，，
则第30层的小球个数为
.
故选：B
6. 已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（ ）
A. 是函数最小值
B. 是函数的极小值
C. 在区间上单调递增
D. 在处的切线的斜率大于0
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象得到的单调性，并结合极值的定义和导数的几何意义求出答案.
【详解】C选项，由图象可看出当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，C错误；
A选项，是函数的极小值，但无法确定是不是最小值，A错误；
B选项，是函数的极大值，B错误；
D选项，由于，故在处的切线的斜率大于0，D正确.
故选：D
7. 设双曲线的左､右焦点为，若双曲线右支上存在点P，使得，，成等差数列，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用双曲线的定义，由，，成等差数列可得，结合即可得到关于离心率的不等式，从而得解.
【详解】设，则，，所以，
又P在右支上，所以，即，所以离心率.
故选：A.
8. 已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数研究函数单调性，由奇偶性和单调性解不等式.
【详解】当时，，，
因为，，所以恒成立，
所以在单调递增，
又因为是定义在R上的偶函数，所以在单调递减，
所以，
所以由，可得，解得.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为椭圆
B. 若，则为双曲线
C. 若为椭圆，则其长轴长一定大于2
D. 曲线不能表示圆
【答案】BC
【解析】
【分析】A，B项，求出的范围，即可判断曲线的形状；C项，求出为椭圆时的范围，分类讨论即可得出其长轴长的范围；D项，通过A选项即可得出结论.
【详解】由题意，
在曲线中，
A项，当时，，
但当即时，曲线为圆，故A错误；
B项，当时，，为双曲线，B正确；
C项，若为椭圆，由A选项知，，
当时，，
∴长轴为，
当时，
∴长轴为，故C正确；
D项，由A知当时，曲线为圆，D错误.
故选：BC.
10. 已知函数，关于的性质，以下四个结论中正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 函数在区间上是增函数
C. 有两个零点D. 函数在处取得极小值
【答案】CD
【解析】
【分析】A选项，由，A错误；BD选项，求导，得到函数单调性和极值情况，得到B错误，D正确；C选项，在求出函数单调性的基础上，结合特殊点的函数值，画出函数图象，得到函数零点个数.
【详解】A选项，定义域为R，且，故不是奇函数，A错误；
BD选项，，
令，解得或，单调递增，
令，解得，单调递减，
故在处取得极小值，B错误，D正确；
C选项，因为，，，
又当或时，，当时，，
画出图象，如下，

所以有两个零点，C正确.
故选：CD
11. 设椭圆:的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A. 离心率B.
C. 面积的最大值为D. 直线与以线段为直径的圆相切
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆的定义、性质及直线与圆的位置关系一一判定选项即可.
【详解】由椭圆方程可知椭圆离心率为，故A错误；
由椭圆定义可知，故B正确；
当P在上下顶点时的面积可取得最大值为，故C正确；
以为直径的圆的圆心为原点，半径为，
而圆心到直线的距离，即与直线相切，故D正确.
故选：BCD
12. 对于数列，若，，（），则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列是单调递增数列
C. 数列是等差数列D. 数列是等差数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，根据，分析即可；对B，根据判断即可；对CD，根据等差数列的定义判断即可.
【详解】对A，由题意，，故，故A正确；
对B，因为，，，故B错误；
对C，，故数列是等差数列，故C正确；
对D，，故数列是等差数列，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知等差数列满足，则的值为_________.
【答案】3
【解析】
【分析】由等差数列通项公式得，即，进而求出
【详解】由等差数列通项公式得，
即，故，
.
故答案为：3
14. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】求出函数的导函数，进而求得的值，再根据两条直线垂直与斜率的关系，即可求得a的值.
【详解】由，得，则，
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，故.
故答案：.
15. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】即在区间上，转化为，求出的范围可得答案.
【详解】因为函数在区间上单调递减，
所以在区间上，
即在区间上恒成立，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
16. 已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率，和是椭圆上的点，且，的面积为，是坐标原点，则的最小值为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】设，由的面积，解出，在中利用余弦定理，结合离心率，求出，得椭圆方程，设，表示出，利用二次函数的性质求最小值.
【详解】由，得．设，则，
，解得．
在中，，
解得，从而，椭圆方程为，，
设，则，
当时，的最小值是8．
故答案为：8
四．解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 公差不为零的等差数列中，成等比数列，且该数列的前10项和为100．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和的最小值．
【答案】（1）；（2）时，最小值为．
【解析】
【详解】试题分析：（1）设公差为，列出方程组，求得，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）可知数列是等差数列，得，即可求解数列的前项和的最小值．
试题解析：（1）设公差为，则，
∴，∴；
（2），∴，．
∴数列是等差数列，，∴时，最小值为-25．
考点：数列的通项公式；实录的求和及应用．
18. 已知函数.
（1）求的单调区间与极值；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）答案见解析；
（2）最大值为54，最小值为.
【解析】
【分析】（1）利用导数研究的单调性，并求出极值即可；
（2）根据（1）结果，比较区间内端点值、极值大小，即可得最值.
【小问1详解】
由题设，令，得或，
当时，即，解得或，单调递增区间为和.
当时，即，解得，单调递减区间为.
函数的极大值为，极小值为.
【小问2详解】
由，，，则
且在区间上连续，函数在区间内的最大值为54，最小值为.
19. 已知数列的前n项和为，且满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用由求的方法即可；
（2）应用错位相减法即可.
【小问1详解】
因为，①
则当时，得，解得．
当时，，②
①—②，得，即，
又，满足上式，所以，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以．
【小问2详解】
由（1）知，
所以，
所以，
所以，所以．
20. 已知函数，若有极大值，且极大值为2．
（1）求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）判断的极大值即可求解的值；
（2）分离参数，得到，然后令，所以，则在上恒成立，求出对应的最大值，即为的最小值，然后得到范围.
【小问1详解】
易知函数的定义域为，
根据题意可得，令，得，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减；
所以，
解得
【小问2详解】
由（1）知，
因为，所以可化为，
设，
所以，则在上恒成立，
即可得在上单调递减，，
因此的取值范围是
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则：
（1）恒成立：
（2）能成立：
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：
（2）能成立：
21. 已知函数，其最小值为．
（1）求的值；
（2）若关于方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）先求导函数再求出最值求参即可；
（2）先把函数转化为函数的交点问题，构造函数再结合单调性及值域求参即可.
【小问1详解】
因为，所以，
单调递增，单调递减，
最小值在处取到，所以，，
【小问2详解】
因为，所以，又因为显然不是方程的根，所以.
令，则，
,所以在和上单调递增，
在和上单调递减.
,
,
有两个不同实根，即使与有两不同交点即可.可知或．
22. 已知在平面直角坐标系中，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，点是椭圆上任意一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且的最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过抛物线上在第一象限内的一点作抛物线的切线，交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为，过点作垂直于轴的直线，与直线OG交于点，求证：点在定直线上．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当为椭圆短轴端点时，取得最大值，据此即可求解；
（2）设点，利用导数求出直线AB的方程，设，，联立求出点坐标，求出直线OG的方程，求出即可求解.
【小问1详解】
∵，∴，则为椭圆的上顶点，
∴，由题意知：当为椭圆的短轴端点时，
取得最大值，此时在中，
，，∴，
则，∴，
∴椭圆的标准方程为：；
【小问2详解】

设点，对求导得，
∴直线AB的斜率，∴直线AB的方程为，
即，设，，
由得：，
由得：，
∴，，
∴，
∴，∴，
则直线OG的方程为，又过点且垂直于轴的直线的方程为，
则由得：，∴点在定直线上.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于当为椭圆的短轴端点时，取得最大值以及利用导数求出直线AB的方程的分析.