初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.2 二次函数的图象和性质练习

这是一份初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.2 二次函数的图象和性质练习，文件包含专题52二次函数的图象与性质一八大题型举一反三苏科版原卷版docx、专题52二次函数的图象与性质一八大题型举一反三苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。


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\l "_Tc10344" 【题型1 二次函数的顶点式与一般式的互化】 PAGEREF _Tc10344 \h 1
\l "_Tc12847" 【题型2 根据二次函数的解析式判断其性质】 PAGEREF _Tc12847 \h 3
\l "_Tc27061" 【题型3 五点法绘二次函数的图象】 PAGEREF _Tc27061 \h 5
\l "_Tc24830" 【题型4 用待定系数法求二次函数解析式】 PAGEREF _Tc24830 \h 11
\l "_Tc3139" 【题型5 二次函数图象的平移变换】 PAGEREF _Tc3139 \h 13
\l "_Tc22279" 【题型6 二次函数图象的对称变换】 PAGEREF _Tc22279 \h 15
\l "_Tc20786" 【题型7 利用二次函数的对称轴、最值求参数】 PAGEREF _Tc20786 \h 18
\l "_Tc21174" 【题型8 利用二次函数的增减性求参数范围】 PAGEREF _Tc21174 \h 20
【知识点1 二次函数的图象和性质】
二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
【题型1 二次函数的顶点式与一般式的互化】
【例1】（2023春·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）抛物线y=ax2+2ax+a2+a的顶点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】将抛物线化为顶点式，求出顶点坐标，即可求解．
【详解】解：y=ax2+2ax+a2+a=a(x+1)2+a2
顶点坐标为(−1,a2)
由题意可得：a≠0，所以a2>0
顶点位于第二象限，
故选：B
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确求得顶点坐标．
【变式1-1】（2023春·全国·九年级专题练习）将二次函数y=x2−4x+3化为y=ax−m2+k的形式，下列结果正确的是（ ）
A．y=x+22+1B．y=x−22+1 C．y=x+22−1 D．y=x−22−1
【答案】D
【分析】利用配方法整理即可得解．
【详解】解：y=x2−4x+3
=x2−4x+4+3−4
=x−22−1
即y=x−22−1．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用配方法把二次函数的一般形式化为顶点式，熟练掌握和运用利用配方法把二次函数的一般形式化为顶点式的方法是解决本题的关键．
【变式1-2】（2023春·河北承德·九年级统考期末）学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x−ℎ)2+k的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数y=x2−4x+5化成y=a(x−ℎ)2+k的形式如下：
两位同学做法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确D．甲、乙都不正确
【答案】C
【分析】此题根据配方的步骤结合利用到的等式性质判断即可．
【详解】解：两位同学做法都正确，甲同学利用配方的要求只对函数式右边的整式同时加或者减同一个数原式结果不变进行配方；乙同学对利用等式的性质对函数式两边同时进行加减配方，故都正确；
故答案选：C．
【点睛】此题考查了配方法的实际配方过程，涉及到等式性质，难度一般．
【变式1-3】（2023·广东·九年级专题练习）用配方法把二次函数y=2x2−3x+1写成y=a(x−ℎ)2+k的形式为________
【答案】y=2(x−34)2−18．
【分析】本题直接利用配方法将原式变形求出答案即可．
【详解】解：y=2x2-3x+1
=2（x2-32x）+1
=2[（x-34）2-916]+1
=2（x-34）2-18．
故答案为y=2(x−34)2−18．
【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确掌握配方法是解题关键．
【题型2 根据二次函数的解析式判断其性质】
【例2】（2023春·九年级单元测试）在函数①y=3x2；②y=12x2+1；③y=−43x2−3中，图象开口大小按题号顺序表示为（ ）
A．①>②>③B．①>③>②C．②>③>①D．②>①>③
【答案】C
【分析】由于抛物线的开口大小是由二次项系数a的绝对值的大小确定，|a|越大则开口越小．利用这个结论即可判断开口大小．
【详解】解：∵物线的开口大小是由二次项系数a的绝对值的大小确定，|a|越大则开口越小．
∴开口大小按题号顺序表示为②>③>①．
故选C.
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；a还可以决定开口大小，a越大开口就越小．
【变式2-1】（2023春·九年级单元测试）二次函数y=−x2+4x+3，当0≤x≤12时，y的最大值为（ ）
A．3B．7C．194D．214
【答案】C
【分析】利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
【详解】解：y=−x2+4x+3
=−x2+4x−4+7
=−(x−2)2+7，
则当x<2时，y随x的增大而增大，
∴当x= 12时，y的最大值为−122+4×12+3=194，
故选：C．
【点睛】本题考查配方法把二次函数解析式化为顶点式，掌握二次函数的性质是解题的关键
【变式2-2】（2023春·全国·九年级专题练习）下列二次函数的图象，对称轴是y轴的二次函数的表达式是（ ）
A．y=3x2+2x B．y=3x2+2
C．y=x2+2x−7 D．y=−2x−42+7
【答案】B
【分析】根据函数解析式，求出每个函数的对称轴即可得出答案．
【详解】解：A、y=3x2+2x的对称轴是直线x=−22×3=−13，故A不合题意；
B、y=3x2+2的对称轴是y轴，故B符合题意；
C、y=x2+2x−7的对称轴是直线x=−22×1=−1，故C不合题意；
D、y=−2x−42+7，对称轴是直线x=4，故D不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的对称轴，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴为直线x=−b2a．
【变式2-3】（2023春·江西南昌·九年级期中）关于抛物线y1=2+3x2与y2=2−3x2的论述，不正确的是（ ）
A．两条抛物线的顶点相同B．两条抛物线的形状相同
C．两条抛物线与y轴的交点相同D．两条抛物线的增减性相同
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质直接判断顶点坐标，对称轴，开口方向及与y轴的交点以及增减性，即可得出结论．
【详解】解：A. 两条抛物线的顶点相同，都是（0，2），不符合题意；
B. ∵|3|=|-3|， ∴两条抛物线的形状相同，不符合题意；
C. 两条抛物线与y轴的交点相同，都是（0，2），不符合题意；
D. 抛物线y1=2+3x2，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大，抛物线y2=2−3x2，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小，故选项D不正确, 符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用函数解析式确定顶点坐标，对称轴以及开口方向和与y轴的关系是解题的关键．
【题型3 五点法绘二次函数的图象】
【例3】（2023春·江苏徐州·九年级统考期末）已知二次函数y=x2−2x−3．

(1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；
(2)根据图象，完成下列填空：
①当x>1时，y随x的增大而___________
②当y<0时，x的取值范围是____________
【答案】(1)见解析；
(2)①增大；②−1【分析】（1）分别将x的值代入函数解析式求出y值，再描点，连线作出图象；
（2）观察图象，当x>1时，y随x的增大而增大，当y<0时，函数图象在x轴下方，即可得x的取值范围．
【详解】（1）解：分别将x=−1，0，1，2，3代入y=x2−2x−3得y=0，−3，−4，−3，0，
如图，
故答案为：0，−3，−4，−3，0；
（2）观察图象，当x>1时，y随x的增大而增大，当y<0时，函数图象在x轴下方，即−1故答案为：①增大；②−1【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【变式3-1】（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）已知函数图象如图所示，根据图象可得：
（1）抛物线顶点坐标___________．
（2）对称轴为___________．
（3）当 x= ___________时，y 有最大值是___________．
（4）当___________时，y 随着 x 得增大而增大．
（5）当___________时，y>0．
【答案】 −3，2 x=−3 −3 2 x<−3 −5【分析】（1）由抛物线与x轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质可得对称轴；
（3）根据抛物线的顶点坐标即可求解；
（4）根据二次函数的性质即可求解；
（5）抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值即为所求．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点(−5,0)，(−1,0)，
∴顶点横坐标为−5−12=−3，
由图可知顶点纵坐标为2，
∴顶点坐标为(−3,2)；
（2）对称轴为x=−3；
（3）当x=−3时，y有最大值是2；
（4）当x<−3时，y随着x得增大而增大；
（5）当−50．
故答案为（1）(−3,2)；（2）x=−3；（3）−3，2；（4）x<−3；（5）−5【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(−b2a，4ac−b24a)，对称轴直线x=−b2a，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质：①当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，x<−b2a时，y随x的增大而减小；x>−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．②当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，x<−b2a时，y随x的增大而增大；x>−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
【变式3-2】（2023春·河南安阳·九年级校考阶段练习）已知抛物线y=−2x2+4x+6．
(1)请用配方法将y=−2x2+4x+6化为y=ax−ℎ2+k的形式，并直接写出对称轴；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出y=−2x2+4x+6的图象；
(3)该抛物线沿x轴向左或向右平移m（m>0）个单位长度后经过原点，求m的值．
【答案】(1)y=−2x−12+8；x=1
(2)见解析
(3)m=1或3
【分析】（1）利用配方法进行求解即可；
（2）画出二次函数的图象；
（3）求出函数与x轴的交点，根据平移规律进行求解．
【详解】（1）y=−2x2+4x+6
=−2x2−2x+6
=−2x2−2x+1+6+2
=−2x−12+8
对称轴为：x=1；
（2）当x=0时，y=6；
当y=0时，x=3或x=−1，
所以该图象经过点0,6,−1,0,3,0；
（3）∵y=−2x2+4x+6经过点−1,0,3,0，
∴抛物线沿x轴向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度后经过原点，
∴m=1或3．
【点睛】本题考查二次函数的顶点式、画二次函数的图象，二次函数平移的规律，解题的关键是根据掌握二次函数平移的规律．
【变式3-3】（2023·上海松江·统考一模）已知二次函数y=2x2−4x−1．
(1)用配方法求这个二次函数的顶点坐标；
(2)在所给的平面直角坐标系xOy中（如图），画出这个二次函数的图像；
(3)请描述这个二次函数图像的变化趋势．
【答案】(1)顶点坐标1,−3
(2)见解析
(3)这个二次函数图像在对称轴直线x=1左侧部分是下降的，右侧部分是上升的
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，即可得出答案；
（2）先求出几个特殊的点，然后描点连线即可；
（3）根据（2）函数图像，即可得出结果．
【详解】（1）解：（1）y=2x2−4x−1=2x2−2x−1=2x−12−3
∴二次函数的顶点坐标1,−3；
（2）解：当x=0时，y=−1，
当y=−1时，x=2，
经过点0,−1，2,−1，
顶点坐标为：1,−3
图像如图所示：
（3）解：这个二次函数图像在对称轴直线x=1左侧部分是下降的，右侧部分是上升的．
【点睛】本题主要考查二次函数的基本性质及作图方法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
【知识点2 二次函数解析式的表示方法】
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
【题型4 用待定系数法求二次函数解析式】
【例4】（2023春·北京海淀·九年级期末）已知二次函数y=ax2+bx+c经过A0,5，B5,0两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数解析式．
【答案】y=x2−6x+5
【分析】根据待定系数法求解函数解析式即可．
【详解】解：由题意得：
−b2a=325a+5b+c=0c=5，
解得：a=1b=−6c=5，
∴该二次函数的解析式为y=x2−6x+5．
【点睛】本题主要考查求二次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，函数的最大值是y=2，且该抛物线经过坐标原点0,0．求此抛物线的函数关系．
【答案】y=−2x−12+2
【分析】根据题意得出顶点坐标为1,2，设抛物线解析式为y=ax−12+2，将点0,0代入，得a+2=0，即可求解．
【详解】解：∵对称轴是直线x=1，函数的最大值是y=2，
∴顶点坐标为1,2，
设抛物线解析式为y=ax−12+2，
将点0,0代入，得a+2=0
解得：a=−2，
∴抛物线解析式为y=−2x−12+2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·河北承德·九年级承德市第四中学校考阶段练习）在二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则m的值为（ ）
A．−1B．1C．2D．−2
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解．
【详解】解：把点−1,2,0,−1代入y=x2+bx+c，得：
1−b+c=2c=−1，解得：c=−1b=−2，
∴二次函数的解析式为y=x2−2x−1，
当x=2时，y=4−2×2−1=−1．
故选：A
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求出二次函数的解析式的方法是解题的关键．
【变式4-3】（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线与x轴交点的横坐标为−3和2，且过点(1,−8)，它对应的函数解析式为（ ）
A．y=x2+x−6B．y=−x2−x+6C．y=−2x2−2x+12D．y=2x2+2x−12
【答案】D
【分析】设函数解析式为y=a(x+3)(x−2)，将点(1,−8)代入即可求得a的值，可得结果．
【详解】解：设抛物线函数解析式为：y=a(x+3)(x−2)，
∵抛物线经过点(1,−8)，
∴−8=a(1+3)(1−2)，
解得：a=2，
∴抛物线解析式为：y=2(x+3)(x−2)，
整理得：y=2x2+2x−12，
故选：D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，设出二次函数的交点式是解题的关键．
【知识点3 二次函数的平移】
方法一：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
⑴y=ax2+bx+c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成
y=ax2+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m）
⑵y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)2+b(x-m)+c）
【题型5 二次函数图象的平移变换】
【例5】（2023·陕西榆林·统考一模）把抛物线y=x2+bx+c向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线y=x2−4x+3，则b、c的值分别为（ ）
A．b=−12，c=32B．b=4，c=−3C．b=0，c=6D．b=4，c=6
【答案】D
【分析】将抛物线y=x2−4x+3化成顶点式，再根据“左加右减，上加下减”，采取逆推的方法可得抛物线y=x2+bx+c的解析式．
【详解】解：将抛物线y=x2−4x+3化成顶点式为y=x−22−1，
将抛物线y=x2−4x+3向左平移4个单位，再向上平移3个单位得新抛物线解析式为y=x−2+42−1+3，
即y=x2+4x+6，
∴抛物线y=x2+bx+c的解析式为y=x2+4x+6，
∴b=4，c=6，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数平移的特征，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）将二次函数y=x2+2x+2的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到对应函数图象的解析式为__________．
【答案】y=x2
【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”解答即可．
【详解】解：将二次函数y=x2+2x+2化为顶点式为：y=x+12+1，
将二次函数y=x+12+1的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为y=(x+1−1)2+1−1=x2，
故答案为：y=x2．
【点睛】本题考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数图象平移规律是解答的关键．
【变式5-2】（2023·山西运城·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=−2x2+bx+c经过平移后得到抛物线y2，则抛物线y2的表达式为（ ）
A．y=−2x2−4xB．y=−2x2−4x+1C．y=−2x2+4xD．y=−2x2+4x+1
【答案】B
【分析】由平移的性质可得二次项的系数为−2，再结合平移后的抛物线的顶点坐标可得答案．
【详解】解：∵抛物线y1=−2x2+bx+c经过平移后得到抛物线y2，而y2的顶点坐标为：−1,3，
∴y2=−2x+12+3=−2x2−4x+1，即y=−2x2−4x+1；
故选B
【点睛】本题考查的是抛物线的平移的性质，熟记抛物线的平移的性质是解本题的关键．
【变式5-3】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移5个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（ ）
A．y=3x−52+5 B．y=3x−52−5
C．y=3x+52+5D．y=3x+52−5
【答案】D
【分析】该题实际上是将抛物线y=3x2向下、向左平移5个单位，根据“左加右减”的规律解答即可．
【详解】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），
把点（0，0）向下、向左平移2个单位（−5，−5），
∴在新坐标系中此抛物线的解析式为y=3x+52−5．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【题型6 二次函数图象的对称变换】
【例6】（2023·陕西·统考二模）在平面直角坐标系中，将抛物线C:y=x2−(m+1)x+m绕原点旋转180°后得到抛物线C'，在抛物线C'上，当x<1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m⩾1B．m⩽1C．m⩾−3D．m⩽−3
【答案】D
【分析】据题意求得抛物线C'的对称轴和开口方向，并结合“在抛物线C'上，当x<1时，y随x的增大而增大”作答．
【详解】∵抛物线C的表达式是y=x2−(m+1)x+m
∴抛物线C的开口向上，对称轴为x=m+12，
又抛物线C'是抛物线C绕原点旋转180°得到的，
∴抛物线C'的开口向下，对称轴为x=−m+12，
∴抛物线C'上，在对称轴x=−m+12的左边y随x的增大而增大，
又在抛物线C'上，当x<1时，y随x的增大而增大，
∴x=−m+12≥1，解得m≤−3．
故选：D．
【点睛】此题考查二次函数的图象和性质及中心对称与坐标变换等，熟悉相关性质是关键．
变式6-1】（2023·浙江·九年级假期作业）先将抛物线y=(x−1)2+2关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（ ）
A．y=−(x−1)2+2B．y=−(x+1)2+2
C．y=−(x−1)2−2D．y=−(x+1)2−2
【答案】C
【分析】若抛物线关于x轴作轴对称变换，则图象上所有的点横坐标不变纵坐标互为相反数，据此即可解答．
【详解】抛物线y=(x−1)2+2关于x轴作轴对称变换，
则所得抛物线为−y=(x−1)2+2，即y=−(x−1)2−2．
故选：C．
【点睛】此题考查了抛物线的轴对称变换，解题的关键是找到对称轴，并熟知关于x轴、y轴的对称点的坐标特征．
【变式6-2】（2023春·江苏·九年级专题练习）将二次函数y=x−12−4的图象沿直线y=1翻折，所得图象的函数表达式为（ ）
A．y=−x−12+4B．y=x+12−4
C．y=−x+12−6D．y=−x−12+6
【答案】D
【分析】根据翻折对称性，写出翻折后所得图象的顶点坐标，即可写出函数表达式．
【详解】解：将二次函数y=x−12−4的图象的顶点坐标是1,−4，沿直线y=1翻折后所得图象的顶点坐标为1,6，所以翻折后所得图象的函数表达式为y=−x−12+6，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根据二次函数的图象的变换求二次函数解析式，明确关于直线y=1翻折前后的两个图象的顶点坐标特征是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·北京朝阳·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12x−42+2可以看作是抛物线y=12x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y=12x2+2得到抛物线y=−12x−42+2的过程：_______．
【答案】抛物线y=12x2+2先向右平移4个单位，再关于直线y=2轴对称得到抛物线y=−12x−42+2．
【分析】由抛物线y=12x2+2向右平移4个单位后得到抛物线y=12x−42+2后，此时正好与y=−12x2+2关于直线y=2对称，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线y=12x2+2向右平移4个单位后得到抛物线y=12x−42+2后，正好与y=−12x2+2关于直线y=2对称，
∴抛物线y=−12x−42+2可以看做是抛物线y=12x2+2先向右平移4个单位，再关于直线y=2轴对称得到的，
故答案为：抛物线y=12x2+2先向右平移4个单位，再关于直线y=2轴对称得到抛物线y=−12x−42+2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，轴对称变化，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【题型7 利用二次函数的对称轴、最值求参数】
【例7】（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模）已知二次函数y=mx2−2mx+2(m≠0)，当−1≤x≤2时，函数的最大值为y=4，则m的值是______．
【答案】23或−2
【分析】将二次函数配方成顶点式，分m>0和m<0两种情况分析即可．
【详解】y=mx2−2mx+2=mx2−2x+1+2−m=mx−12+2−m
故该抛物线的对称轴为直线x=1
当m>0时，抛物线开口向上，且−1≤x≤2时，函数的最大值为y=4
即x=−1时，y=4
代入求得m=23
当m<0时，抛物线开口向下，且−1≤x≤2时，函数的最大值为y=4
即x=1时，y=4
代入求得m=−2
∴m的值为23或−2
故答案为：23或−2．
【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，二次函数的性质，二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·九年级单元测试）已知抛物线y=x2+m−1x−14的顶点的横坐标是2，则m的值是________．
【答案】−3
【分析】由抛物线y=x2+m−1x−14的顶点的横坐标是2可得抛物线的对称轴为x=−m−12×1=2，即可求得m的值．
【详解】解：∵抛物线y=x2+m−1x−14的顶点的横坐标是2，
∴对称轴x=−m−12×1=2，
∴m=−3，
故答案为：−3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，由抛物线y=x2+m−1x−14的顶点的横坐标是2可得抛物线的对称轴为x=−m−12×1=2，是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·九年级单元测试）若抛物线 y=x2+m−1x+m+3 的顶点在 y 轴上，则 m= ____．
【答案】1
【分析】根据顶点在y轴上，得出该抛物线对称轴为y轴，则−b2a=−m−12=0，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
∵抛物线 y=x2+m−1x+m+3 的顶点在y轴上，
∴该抛物线对称轴为y轴，
∴−b2a=−m−12=0，
解得：m=1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点，解题的关键是掌握二次函数的对称轴为直线x=−b2a．
【变式7-3】（2023·浙江温州·校考三模）抛物线y=x2−2ax+b的顶点落在一次函数y=−2x+4的图象上，则b的最小值为__________．
【答案】3
【分析】首先求出抛物线y=x2−2ax+b的顶点坐标，然后代入一次函数y=−2x+4，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：y=x2−2ax+b=x−a2−a2+b，
∴顶点坐标为a,−a2+b，
∵抛物线y=x2−2ax+b的顶点落在一次函数y=−2x+4的图象上，
∴a,−a2+b在一次函数y=−2x+4的图象上，
∴−a2+b=−2a+4
∴b=a2−2a+4=a−12+3
∵1>0，
∴抛物线开口向上，
∴当a=1时，b有最小值3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了二次函数的最值，二次函数的顶点式，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【题型8 利用二次函数的增减性求参数范围】
【例8】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知抛物线y=x2−4mx+m，当−2A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】先计算出抛物线对称轴为直线x=−−4m2=2m，再根据抛物线开口向下，得到x>2m时，y随x的增大而增大，结合当−2【详解】解：抛物线的对称轴为x=−−4m2=2m，
∵抛物线开口向上，
∴当x>2m时，y随x的增大而增大，
∵当−2∴2m≤−2，即m≤−1；
∵抛物线的顶点纵坐标为4m2−8m2+m=−4m2+m，
∴顶点坐标为m,−4m2+m，
∵m≤−1，而−4m2+m=−2m−142+116，
当m=−1时，顶点纵坐标最大值为：−5，
∴此时−4m2+m<0
∴抛物线的顶点在第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式及图象性质．
【变式8-1】（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）二次函数y=−x+32+ℎt≤x≤t+2的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围为______．
【答案】t≤−5或t≥−3
【分析】先根据函数表达式得出函数的对称轴，再根据题意可得该二次函数的图象取对称轴的左边或对称轴的右边，即可进行解答．
【详解】解：∵二次函数表达式为y=−x+32+ℎt≤x≤t+2，
∴该函数的对称轴为直线x=−3，
∵图象上任意二点连线不与x轴平行，
∴x≤−3或x≥−3，
∵t≤x≤t+2，
∴t+2≤−3t≥−3，
解得：t≤−5或t≥−3．
故答案为：t≤−5或t≥−3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象，会根据二次函数的表达式求出函数的对称轴．
【变式8-2】（2023·福建厦门·统考一模）已知二次函数y=−x2+2ax+a+1，若对于−1a+1，则a的取值范围是________．
【答案】−1【分析】先将解析式化成顶点式，然后根据题意可得−x−a2+a2+a+1>a+1可求得x−a的取值范围，再结合−1x>2a可得a<−12，最后再结合a>−1即可解答．
【详解】解：y=−x2+2ax+a+1=−x−a2+a2+a+1
∵y>a+1
∴−x−a2+a2+a+1>a+1，即a2>x−a2，解得：a>x−a>0或a∵−1∴x−a<0
∴a>x>2a，即2a<−1，解得：a<−12
又∵a>−1
∴−1故答案为−1【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次不等式、等式的性质等知识点，理解二次函数的性质是解答本题的关键．
【变式8-3】（2023·山东潍坊·昌邑市实验中学校考二模）已知二次函数的表达式为y=−x2−2x+3，将其图像向右平移k(k>0)个单位，得到新的二次函数y1的图像，使得当−1A．4B．5C．6D．7
【答案】AB
【分析】将二次函数y=−x2−2x+3的图像向右平移k(k>0)个单位得到y=−(x−k+1)2+4的图像，新图像的对称轴为直线x=k−1，根据当−1【详解】解：∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴将二次函数y=−x2−2x+3的图像向右平移k(k>0)个单位得y=−(x−k+1)2+4的图像，
∴新图像的对称轴为直线x=k−1，
∵当−1∴3≤k−1≤4，
解得4≤k≤5，
∴k的取值可以是4，5，
故选：AB．
【点睛】此题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法，抛物线的平移变换，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是树形结合思想的应用．y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h
x=−b2a
顶点
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)
（−b2a，4ac−b24a）
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或4ac−b24a)。
增
减
性
a>0
x<0(h或−b2a)时，y随x的增大而减小；x>0(h或−b2a)时，y随x的增大而增大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
a<0
x<0(h或−b2a)时，y随x的增大而增大；x>0(h或−b2a)时，y随x的增大而减小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
…
x
−2
−1
0
1
2
3
4
y
7
2
−1
−2
m
2
7