专题6.1 比例线段【九大题型】-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

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\l "_Tc26181" 【题型1 成比例线段的概念辨析】 PAGEREF _Tc26181 \h 1
\l "_Tc3264" 【题型2 成比例线段与比例尺的结合】 PAGEREF _Tc3264 \h 2
\l "_Tc10410" 【题型3 成比例线段的实际应用】 PAGEREF _Tc10410 \h 2
\l "_Tc5836" 【题型4 利用比例的性质求字母的值】 PAGEREF _Tc5836 \h 4
\l "_Tc30459" 【题型5 利用比例的性质求代数式的值】 PAGEREF _Tc30459 \h 4
\l "_Tc17950" 【题型6 利用比例的性质进行证明】 PAGEREF _Tc17950 \h 4
\l "_Tc31569" 【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Tc31569 \h 5
\l "_Tc24271" 【题型8 黄金分割的概念辨析】 PAGEREF _Tc24271 \h 7
\l "_Tc10820" 【题型9 黄金分割的实际应用】 PAGEREF _Tc10820 \h 7
【知识点1 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 成比例线段的概念辨析】
【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足ab=2，且a+2b=28．
(1)求a、b的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【变式1-1】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）已知四条线段的长度分别为x，2，6，x+1，且它们是成比例线段，则x的值为 .
【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3=b4=c5．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=xb），求线段x的长．
【变式1-3】（2023春·上海宝山·九年级统考期末）如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（ ）
A．4:3B．3:2C．2:3D．3:4
【题型2 成比例线段与比例尺的结合】
【例2】（2023春·四川成都·九年级统考期中）在比例尺是1:90000000的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行 千米．
【变式2-1】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）地图上两地间的图上距离为13.5厘米，比例尺是1：1000000，那么这两地间的实际距离是（ ）
A．1350千米B．135千米C．13.5千米D．1.35千米
【变式2-2】（2023春·全国·九年级统考期末）长江二桥位于长江大桥下游3公里处、桥梁长度2400米，一张平面地图上桥梁长度是4.8厘米，这张平面地图的比例尺为
【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级校联考期末）相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是 厘米．
【题型3 成比例线段的实际应用】
【例3】（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为该班学生上、下学期各社团的人数比例．若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述正确的是（ ）
A．文学社增加，篮球社不变 B．文学社不变，篮球社不变
C．文学社增加，篮球社减少 D．文学社不变，篮球社减少
【变式3-1】（2023春·六年级校考课时练习）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm？
【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（ ）m
A．−1−5B．−1±5C．5+1D．5−1
【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一张矩形纸片AB−CD的长BC=5，宽AB=2，按照图中所示方式将它裁成矩形ABFE与矩形CDEF.若矩形ABFE与矩形CDEF的短边与长边之比相等，求AE的长.
【知识点2 比例的性质】
【题型4 利用比例的性质求字母的值】
【例4】（2023春·四川成都·九年级校考期中）已知a，b，c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=k，则k的值为 ．
【变式4-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期中）已知x3=y5=z6，且3y=2z+6，求x，y的值．
【变式4-2】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3=b4=c5．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=xb），求线段x的长．
【变式4-3】（2023春·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知y+zx=x+zy=x+yz=k，则k2= ．
【题型5 利用比例的性质求代数式的值】
【例5】（2023春·山东威海·九年级统考期中）若a+bc=b+ca=c+ab，则(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为 ．
【变式5-1】（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）若ab=cd=ef=13，则3a−2c+e3b−2d+f的值为（ ）
A．13B．1C．1.5D．3
【变式5-2】（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知代数式A=ab+c，B=ba+c，C=ca+b，下列结论：
①若a:b:c=1:1:2，则A⋅C+B=23；
②若A=B=C，则A+B+C=32；
③若a=c=2，b为关于a的方程x2+2023x+4=0的一个解，则1A+1B+1C=−2019；
④若a