苏科版八年级下册9.3 平行四边形巩固练习

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【基础】
一、单选题
1．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中．将点绕点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知点M（，3m）关于原点对称的点在第一象限，那么m的取值范围为（ ）
A．m＜0B．m＞0C．m≤0D．m≥0
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题
5．（2023春·江苏泰州·八年级校考周测）如图，将等边三角形绕点C顺时针旋转得到，使得B，C，三点在同一直线上，则___________________．
6．（2023秋·江苏镇江·八年级校联考期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点是_____；关于y轴的对称点是_____；关于原点的对称点是_____．
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，绕点O顺时针旋转到的位置，已知，则等于 ________度．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕点A顺时针旋转，得到，则点的坐标为______．
9．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的面积为___________．
10．（2022春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系里，，，，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为_____．
11．（2022春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，▱ABCD中，∠A比∠D大40°，则∠C等于_____．
12．（2022春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形D中，，在上取，则的度数是_____度．
三、解答题
13．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是单位
(1)画出将绕点O顺时针方向旋转后得到的；
(2)请直接写出，，三点的坐标．
14．（2022春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）已知：如图，在四边形中，与不平行，E，F，G，H分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①当与满足条件 时，四边形是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是 ．
②当与满足什么条件时，四边形是矩形？证明你的结论．
15．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）已知如图，在矩形中，对角线、交于点，延长至，且．求证：．
【典型】
一、单选题
1．（2021春·江苏·八年级专题练习）已知在四边形中，，下列可以判定四边形是正方形的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
2．（2021春·江苏连云港·八年级统考期中）在中，，它的周长是32，则______．
3．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，以RtABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果AC=4，CO=，那么BC=______．
4．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）正方形的对角线长为1，则正方形的面积为_____________
5．（2021春·江苏扬州·八年级统考期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝_____°时，GC＝GB．
6．（2021春·江苏·八年级专题练习）在平行四边形ABCD中，已知∠A﹣∠B＝60°，则∠C＝_____．
三、解答题
7．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）基本图形：在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE．
探索：（1）连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明结论；
（2）连接DE，如图②，试探索线段CD，BD，AD之间满足的等量关系，并证明结论；
拓展：（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=3，CD=1，则AD的长为____________．(直接写出答案，不需要说明理由．)
8．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC＝2∠D，连结AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
9．（2021春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． 设点D、E运动的时间是t秒（0＜t＜15）． 过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）用含t的代数式表示下列线段：AE= ，DF= ，AD= ；
（2）判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接AF，交DE于点O，设y为△ADO与△DFO的周长差，求y与t的函数关系式，并求当t为何值时，△ADO与△DFO的周长相等．
（4）是否存在某一时刻t，使得△DEF为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

10．（2022春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，在中，平分交于点，交于点，平分交于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
11．（2022春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，在四边形中，∥，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求线段的长．
【易错】
一．选择题（共11小题）
1．（2022春•江阴市期末）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了其中两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，③B．①，②C．③，④D．②，④
2．（2021秋•广陵区期末）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A．（6，3）B．（3，6）C．（0，6）D．（6，6）
3．（2022秋•锡山区校级月考）如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝2，BD＝3，则CD的长为（ ）
A．B．4C．D．
4．（2022春•大丰区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连
接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
5．（2022春•吴中区校级期末）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对边相等且平行
6．（2022秋•镇江期中）正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上运动，连接AE，过点B作BF⊥AE，F为垂足，以BF为边作正方形BFGH，当点E与点B重合时，点F、G、H与点B重合，则DH长的最大值是（ ）
A．8B．4C．2+2D．2+4
7．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（ ）
A．B．2C．2D．4
8．（2022春•沭阳县月考）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（ ）
A．30B．25C．22.5D．20
9．（2022春•江阴市校级月考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022春•南京期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2B．2C．3D．
11．（2022•崇川区校级开学）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【压轴】
一、解答题
1．（2021秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C．
（1）写出C点坐标 ；
（2）若M为线段BC上一点，且满足S△AMB ＝ S△AOB，请求出点M的坐标；
（3）如图2，设点F为线段AB中点，点G为y轴正半轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求出点G的坐标．
2．（2021秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考期中）【情景呈现】
画，并画的平分线．
（1）把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边垂直，垂足为（如图1）．则．（选填：“<”、“>”或“=”）
（2）把三角尺绕点旋转（如图2），与相等吗？猜想的大小关系，并说明理由．
【理解应用】
（3）在（2）的条件下，过点作直线，分别交于点，如图3．
①图中全等三角形有_________对．（不添加辅助线）
②猜想之间的关系为___________．
【拓展延伸】
（4）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与相交于两点，与相等吗？请说明理由．
3．（2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）等腰中，，．
(1)如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接．
①求证：；
②当，时，求的长；
(2)如图2，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰，当，时，求的长 （画出图形，做必要标记，不必写过程）．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）
5．（2023春·江苏·八年级专题练习）【问题解决】
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】
如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数．
6．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）已知：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，．
(1)求的长；
(2)若点E、F分别在边、的延长线上（如图2），且上述条件不变，请你求出的长．
7．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，正方形的边长为8cm，点E在边上，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿运动，设运动时间为t秒．
(1)___________；
(2)当点P在的垂直平分线上时，求t的值；
(3)当t=___________，平分，试猜想此时是否为的角平分线，并说明理由．
8．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）材料阅读：图形的旋转：将图形绕一个定点旋转一定角度，这样的图形运动称为图形的旋转．旋转前后的两个图形全等．
【知识引入】
（1）如图1，已知，，，，，连接．
①求证：；
②求的长．
【简单应用】
（2）如图2，在中，，，．若点D满足，且，请直接写出的长
【深入探究】
如图3，在平面直角坐标系中，已知，．
（3）如图3，若点C在第一象限，，求证：；
（4）如图4，若点C在第二象限，，，，则_____；
9．（2022秋·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）如图（1），长方形ABCD中，AB＝CD＝4，BC＝AD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点F是BC边上的一个定点，点E是AD边上的一个动点，把这个长方形沿EF折叠，点A、B的对应点分别是点M、N，直线AD、NF交于点G，点E在运动的过程中，点D、G、N能够刚好重合在一起．回答下列问题：
(1)若折叠后点B的对应点N落在点D上，请用尺规作图在图（2）中作出点E、F的位置；
(2)如图（3）当点D、G、N重合时，求证△MED≌△CFD；
(3)当点E从图（3）中的位置向点A运动的过程中，GE＝GF将始终成立，顺次连接FC、CD、DG、GF围成的四边形(或三角形)周长的最小值是 ，△EFG面积的最小值是 ．
10．（2022春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（）．
(1)求点B到线段AC的距离；
(2)当NP经过线段AC中点时，求t的值并直接写出此时线段MQ、NQ的关系；
(3)连接AN、CP，在点M、N运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)将△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在点M、N运动过程中，
①是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
11．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD =1，AB =5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN相交于点K，得到△MNK，如图①．
(1)当点M与点A重合（如图②），且∠BMN=15°时，求△MNK的面积；
(2)请你利用备用图探究怎样能够能够使折叠出△MNK的面积最大，最大值是多少？
12．（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）【问题情境】
(1)同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图所示，则和的数量关系为______，位置关系为______．
【继续探究】
(2)若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图所示，
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点作，如图，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．
【拓展提升】
(3)在（2）的条件下，点在边上运动时，利用图，则的最小值为______．
13．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．
(1)如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
(2)如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=4x+8的图像分别交x、y轴于点A、B，将正方形ABCD中Rt△AOB置于直线AB右侧Rt△ACB位置，斜边恰好与线段AB重合，请直接写出直角顶点C到原点O的距离．
14．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．
(1)如图①，当点E落在DC边上时，直接写出线段EC的长度为 ；
(2)如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC
①求证：△ACD≌△CAE；
②求线段DH的长度．
(3)如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．