初中数学第9章 中心对称图形——平行四边形9.3 平行四边形课后练习题

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1．本试卷含三个大题，共28题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一、单选题
1．能由图中的图形旋转得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质及其三要素可知．
【详解】解：绕着图形的中心，顺时针旋转180度，得到的图形是
故选B．
【点睛】考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
2．若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm，8cm，则这个三角形的面积是（ ）
A．80cm2B．60cm2C．40cm2D．20cm2
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】∵直角三角形斜边上中线是8cm，
∴斜边=2×8=16cm，
∴这个三角形的面积=×16×5=40cm2．
故选C．
【点睛】考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
3．有两个内角分别为90°，60°，30°的完全一样的三角形拼成四边形，其形状不同的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．6个
【答案】C
【分析】可动手拼图，出现四种不同的四边形，根据平行四边形的性质，可推出3个平行四边形，不是平行四边形的有一个．
【详解】根据平行四边形的基本性质：平行四边形的两组对角分别相等，可知角分别为，(2) 90°，90°，90°90°；(2) 120°，60°，120°，60°；(3) 150°，30°，150°，30°；不是平行四边形的四边形为(4) 60°，90°，120°，90°．共4种，
故选C．
【点睛】考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．注意不要漏掉不是平行四边形的那一种．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
4．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC，AB=3，OC=4，则BD的长为（ ）
A．4B．5C．10D．12
【答案】C
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
【详解】∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=OC=4，
∵AB⊥AC，AB=3，
∴∠BAO=90°，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：BO==5，
∴BD=2BO=10，
故选C．
【点睛】考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
5．等边三角形绕中心按顺时针旋转最小角度是（ ）时，图形与原图形重合．
A．30°B．90°C．120°D．60°
【答案】C
【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【详解】根据等边三角形的性质，结合图形可以知道旋转角度应该等于120°．
故选C．
【点睛】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．
6．某人准备设计平行四边形图案，拟以长为4cm，5cm，7cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】解：分别以4cm，5cm为边，7cm为对角线；
或以4cm，7cm为边，5cm为对角线；
或5cm，7cm为边，4cm为对角线共有三种情况．
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，实质上只要三条线段的长符合构成三角形，就可以画不同形状的平行四边形．
7．如图所示，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到，若，则图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设B′C′与AB交点为D，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC＝45°，再根据旋转的性质求出∠CAC′＝15°，AC′＝AC，然后求出∠C′AD＝30°，再根据直角三角形30°角所得到直角边等于斜边的一半可得AD＝2C′D，然后利用勾股定理列式求出C′D，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】如图，设B′C′与AB交点为D，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到，
∴∠CAC′＝15°，AC′＝AC＝1，
∴∠C′AD＝∠BAC−∠CAC′＝45°−15°＝30°，
∵AD＝2C′D，
∴AD2＝AC′2＋C′D2，
即（2C′D）2＝12＋C′D2，
解得C′D＝
故阴影部分的面积＝
故选B
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出阴影部分的两直角边的长度是解题的关键．
8．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB= CDB．AD= BCC．AB=BCD．AC= BD
【答案】D
【分析】易得四边形ABCD为平行四边形，再根据矩形的判定∶对角线相等的平行四边形是矩形即可得出答案．
【详解】解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定，矩形的判定有：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
9．如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，BD=BC，∠C=60°，如果△DBC的周长为m，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作DE⊥BC于E，证出四边形ABED是矩形，得出AD=BE，再证明△BCD是等边三角形，得出BC=BD=CD，BE=BC，即可得出结果．
【详解】作DE⊥BC于E，如图所示：
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD=BE，
∵BD=BC，∠C=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=BD=CD，BE=BC，
∵△DBC的周长为m，
∴BC=，
∴AD=BE=；
故选B．
【点睛】考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
10．如图，正方形ABCD的边长为3，将等腰直角三角板的45°角的顶点放在点B处，直角顶点F在CD的延长线上，BF与AD交于点G，斜边与CD交于点E,若CE=1，则DG的长为( )
A．B．C．D．3
【答案】B
【详解】试题解析：如图将△BCE绕点B逆时针旋转90°得到△BAM．BF与AD交于点G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=3，∠ABC=90°，
∵∠GBE=45°，
∴∠CBE+∠GBA=∠ABM+∠GBA=45°=∠GBM，
∵BG=BG，∠GBM=∠GBE，BE=BM，
∴△BGM≌△BGE，
∴EG=GM=AM+AG=AG+CE，设AG=x，则DG=3-x，GE=1+x，
在Rt△DGE中，∵GE2=DG2+DE2，
∴（3-x）2+22=（x+1）2，
∴x=，
∴DG=.
故选B.
二、填空题
11．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是________（填序号）．
【答案】乙、丁
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】甲、是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
乙、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
丙、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
丁、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故答案是：乙、丁．
【点睛】考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF=56°，则∠B＝___．
【答案】56°
【分析】根据四边形的内角和等于360°，可求出∠C，再根据平行四边形的邻角互补列式计算即可．
【详解】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
在四边形AECF中，
∠C=360°-90°-90°-56°=124°，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°-∠C=56°，
故答案为：56°．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，多边形的内角和，熟记平行四边形的邻角互补是解题关键．
13．如图，菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2时，则菱形的边长为____cm．
【答案】13
【分析】连接BD、AC、EF，BD与AC交于点O，由题意易得B、E、F、D在同一条直线上，则有，，，，，然后根据菱形和正方形的面积及勾股定理可进行求解．
【详解】解：连接BD、AC、EF，BD与AC交于点O，如图所示：
∵四边形是菱形、四边形是正方形，
∴点B、E、F、D在同一条直线上，
∴，，，，，
∵菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2，
∴，，
∴，，
∴，，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得cm，
故答案为13．
【点睛】本题主要考查菱形与正方形的性质，熟练掌握菱形与正方形的性质是解题的关键．
14．在平面直角坐标系中，□OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向右平移，经过_______秒该直线可将□OABC的面积平分．
【答案】3
【分析】若该直线可将平行四边形OABC的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心，设M为平行四边形ABCD的对称中心，利用O和B的坐标可求出其对称中心，进而可求出直线运动的时间．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且点B（6，2），
∴平行四边形ABCD的对称中心M的坐标为（3，1），
∵直线的表达式为y＝2x＋1，
令y=0，2x+1=0，解得x=-
∴直线y＝2x＋1和x轴交点坐标为（−，0）
设直线平移后将平行四边形OABC平分时的直线方程为y＝2x＋b，
将（3，1）代入y＝2x＋b得b＝−5，即平分时的直线方程为y＝2x−5，
令y=0，2x−5=0，解得x=
∴直线y＝2x−5和x轴的交点坐标为（，0），
∵直线y＝2x＋1和x轴交点坐标为（−，0），
∴直线运动的距离为＋＝3，
∴经过3秒的时间直线可将平行四边形OABC的面积平分．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及直线和坐标轴的交点坐标的求法，解题的关键是掌握直线将平行四边形OABC的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心．
15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是___．
【答案】AB=DC（答案不唯一）
【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解．
【详解】∵在四边形ABCD中，AB∥CD，
∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：AB=DC（答案不唯一）．
还可添加的条件AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB，DC的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．设BC﹣AD=2m，则GH的长为______．
【答案】1m
【分析】根据梯形的中位线性质求出EF∥BC∥AD，推出AH=CH，BG=DG，根据三角形的中位线得到EG=AD，EH=BC，由GH=EH﹣EG=（BC﹣AD）代入即可．
【详解】∵梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC的中点，
∴EF∥BC∥AD，
∴AH=CH，BG=DG，
∴EG=AD，EH=BC，
∴GH=EH﹣EG=（BC﹣AD）=×2=1（m），
故答案是：1m．
【点睛】考查了梯形的中位线和三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出EG和EH的长，注意：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=6，CD=8，E，F分别是边ABCD的中点, DH⊥BC于点H，连接EH，EC，EF，现有下列结论:①∠CDH=30°；②EF=4;③四边形EFCH是菱形;④S△EFC=3S△BEH.你认为结论正确的有___________.(填序号)
【答案】①②③
【详解】试题解析：①∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∴BH=AD=2，AB=DH，
∴CH=BC-BH=6-2=4，
∵CD=8，
∴CH=CD，
∴∠CDH=30°；①正确；
②∵E，F分别是边AB、CD的中点，
∴CF=CD=4，EF∥BC，EF=（AD+BC）=4，②正确；
③∵EF∥BC，EF=CH=4，
∴四边形EFCH是平行四边形，
又∵EF=CF=4，
∴四边形EFCH是菱形；③正确；
④∵EF=4，BH=2，
∴S△EFC=2S△BEH．④错误；
故选①②③．
18．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2017个正方形的面积为__________．
【答案】
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
∵∠DOA=∠ABA1，
∴△DOA∽△ABA1，
∴，
∵AB=AD=，
∴BA1=，
∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=+，面积是（）2=5×（）2，
同理第3个正方形的边长是，面积是[（]2=5×（）4；
第4个正方形的边长是，面积是5×（）6；
…，
第2017个正方形的边长是，面积是5×（）2×2016=5×（）4032
故答案为
三、解答题
19．用一张空白的长方形纸作为棋盘，两个人轮流在棋盘上下棋．规则：每人每次在棋盘点下一个子，棋子不能互相重叠，也不能出棋盘边界线，这样，经过多次落子直到谁在棋盘上放下最后一枚棋子谁就算赢．想一想：有没有办法使自己立于不败之地？并说明理由．
【答案】有，理由见解析
【分析】根据中心对称的知识，争取先放，并把第1枚棋子放在桌面的对称中心上，根据对称性可作出解释．
【详解】有．
你要争取先放，并把第1枚硬币放在桌面的对称中心上，以后你应该根据对方所放硬币的位置，在它关于中心对称的位置上放下一枚同样大小硬币．这样，由于对称性，只要对方能放得下一枚硬币，你就保证能在其对称位置上放下一枚同样大小的硬币，因此，失败绝对轮不到你．
【点睛】考查了中心对称的性质的运用，比较新颖，注意掌握基本性质，然后才能做到灵活运用．
20．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)连接DE、BF，若BD⊥EF，试探究四边形EBFD的形状，并对结论给予证明．
【答案】（1）详见解析；（2）四边形EBFD为菱形.
【分析】(1)根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，再利用等式的性质可得EO=FO，然后再利用SAS定理判定△BOE≌△DOF即可；
(2)根据BO=DO，FO=EO可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形EBDF为菱形．
【详解】证明：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AE=CF，
∴AO﹣AE=CO﹣FO，
∴EO=FO，
在△BOE和△DOF中
，
∴△BOE≌△DOF（SAS）；
(2) 四边形EBDF为菱形
理由：∵BO=DO，FO=EO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BD⊥EF，
∴四边形EBDF为菱形．
【点睛】考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长．
【答案】4
【分析】首先证明四边形ABCD是矩形，得出AO=BO=CO=OD，证出△AOD是等边三角形，得出OD=AD=4，求出BD=8，再由勾股定理求出AB即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AO=BO=CO=OD，
∵∠AOD=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴DO=AD=4，
∴BD=2OD=8．
在Rt△ABD中，AB=．
【点睛】考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．
22．在正方形网格中作出与△ABC关于点E成中心对称的图形.
.
【答案】见解析
【详解】试题分析：根据中心对称的定义，分别找到点A、B、C关于点E的中心对称点，然后顺次连接即可得出答案．
试题解析：依次寻找点A、B、C关于点E的中心对称点，顺次连接，所作图形如下所示：
.
23．如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，试求单元楼AB的高．
【答案】39米
【分析】过F作FG⊥AB于G，则四边形BEFG是矩形，可得∠2＝∠3，利用ASA可得△AFG≌△ECD，根据其性质即可求解．
【详解】解：过F作FG⊥AB于G，如图所示：
则四边形BEFG是矩形，
∴FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，
∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△AFG与△ECD中，
，
∴△AFG≌△ECD（ASA），
∴AG＝DE＝BD﹣BE＝38（米），
∴AB＝AG+BG＝38+1＝39（米），
答：单元楼AB的高39米．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
24．已知为等腰直角三角形，，，
(1)如图1，若以为边在点C同侧作等边三角形，判断所在直线与线段的关系，并说明理由．
(2)如图2，将绕若点B旋转60°得，若，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）延长DC交AB于点E，根据SSS证明，由全等三角形的性质得，由等边三角形“三线合一”即可证明；
（2）延长交于点M，连接，由勾股定理求出，根据旋转的性质得，，，，故可得是等边三角形，故，根据SSS证明，由全等三角形的性质得，根据等边三角形“三线合一”得，，由勾股定理求出，，由即可得出答案．
【详解】（1），理由如下：
如图，延长DC交AB于点E，
∵是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）
延长交于点M，连接，
在中，，
∵绕若点B旋转得，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．
25．如图1，和均为等边三角形，连接BE、CD．
(1)请判断：线段BE与CD的大小关系是 ；
(2)观察图2，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变?
(3)观察如图3和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是___________,在如图中证明你的猜想.
(4)这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图5,BB1与EE1的关系是 ；它们分别在哪两个全等三角形中 ；请在如图6中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？
【答案】(1)BE=CD
(2)线段BE与CD的大小关系不会改变
(3)AE＝CG，证明见解析
(4)这些结论可以推广到任意正多边形.如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．图形见解析.
【分析】（1）根据SAS证明即可得到BE=CD；
（2）方法同（1）可得即可得到BE=CD；
（3）方法同（1），证明△ADE≌△CDG，即可得到结论；
（4）结论可推广到任意正多边形，分两种情况讨论即可．
（1）
线段BE与CD的大小关系是BE=CD；
证明：∵△ABD、△ACE均为等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°，
∴∠BAD+∠DAE=∠EAC+∠DAE
∴∠BAE=∠DAC，
在△ABE与△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC，
∴BE=CD，
（2）
线段BE与CD的大小关系不会改变；
证明：∵△ABD、△ACE均为等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠EAC+∠BAC
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE与△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC，
∴BE=CD，
（3）
AE=CG．
证明：正方形ABCD与正方形DEFG中，
∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，
又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG．
（4）
这些结论可以推广到任意正多边形．
如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，
证明：如图5，两个多边形均为正五边形，
∴AE=AB，，
∴
∴
∴
∴BB1=EE1
如图6，连接FF1，
∵两个多边形均为正六边形，
∴AF=AB，，
∴
∴
∴
【点睛】本题综合考查全等三角形、等边三角形和多边形的有关知识．注意对三角形全等的证明方法的发散．
26．如图，在矩形中，，，点从开始沿折线以的速度移动，点从开始沿边以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．当为何值时，四边形为矩形？
【答案】当时，四边形是矩形．
【分析】求出CQ=2t，AP=4t，BP=24﹣4t，由已知推出∠B=∠C=90°，CD∥AB，推出CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，得出方程2t=24﹣4t，求解即可．
【详解】根据题意得：CQ=2t，AP=4t，则BP=24﹣4t．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，CD∥AB，∴只有CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，即2t=24﹣4t，解得：t=4．
答：当t=4s时，四边形QPBC是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．
27．已知：在Rt△ABC中，，AB＝AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转，得到线段ME，连接EC．
(1)如图1，若点M在线段BD上，求∠MCE的度数．
(2)如图2，若点M在线段CD上，试探究线段AC、CE、CM之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)AC−CE＝CM，证明过程详见解析
【分析】（1）如图1，过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，先判断出∠FMA＝∠CME，再判断出FM＝CM，进而判断出，即可得出结论；
（2）如图2，过点M作BC边的垂线交CA于点F，先判断出，再判断出，判断出，进而得出，最后用勾股定理即可得出结论．
（1）
解：如图1，过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，
∴，
∴，
∵将线段AM绕点M顺时针旋转，得到线段ME，
∴，
∴，
∴∠FMA＝∠CME，
∵，AB＝AC，
∴，
∴在中，，
∴FM＝CM，
在△FMA和△CME中，
∴△FMA≌△CME（SAS），
∴；
（2）
AC−CE＝CM，理由如下：
如图2，过点M作BC边的垂线交CA于点F，
∴，
∴，
∵将线段AM绕点M顺时针旋转，得到线段ME，
∴，
∴，
∴∠FMA＝∠CME，
在Rt△FMC中，，
∴FM＝CM，
在△FMA和△CME中，
∴△FMA≌△CME（SAS），
∴AF＝CE，
在Rt△CMF中，CF＝CM，
∴AC−CE＝AC−AF＝CF＝CM．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
28．如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）∠DME=180°-2∠A；详见解析；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，详见解析
【分析】（1）连接，，根据直角三角形的性质得到，，得到，根据等腰直角三角形的性质证明；
（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；
（3）仿照（2）的计算过程解答．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
、分别是、边上的高，是的中点，
，，
，
又为中点，
；
（2）在中，，
，
∴，，
，
，
，
，
；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：如图，
同理（1）可知：，故结论（1）正确；
，
∴，，
在中，，
，
，故结论（2）不正确．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．