初中苏科版第12章 二次根式12.1 二次根式当堂检测题

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一、单选题
1．（2023春·八年级单元测试）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用开根号的知识分别将各选项进行化简，然后即可得出答案．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故不合题意；
B、与不是同类二次根式，故不合题意；
C、，与不是同类二次根式，故不合题意；
D、，与是同类二次根式，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查同类二次根式的知识，属于基础题，比较简单，注意细心将各选项分别化简后再作答．
2．（2023春·江苏·八年级期中）在式子：中，二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义对各式分析判断即可得解．
【详解】解：，是二次根式，
无意义，
是二次根式，
是三次根式，
是二次根式，
无意义，
综上所述，是二次根式的有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，被开方数是非负数．
3．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义即可求解．
【详解】A.，故不是最简二次根式；
B.是最简二次根式；
C.，故不是最简二次根式；
D. ，故不是最简二次根式；
故选B．
【点睛】此题主要考查最简二次根式的判断，解题的关键是熟知最简二次根式的定义．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算的结果是（ ）
A．16B．C．4D．±4
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
=16
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题的关键．
5．（2022·江苏·八年级假期作业）若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，直接解答即可．
【详解】解：∵，
即
解得．
故选：B．
【点睛】考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
6．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）若，，则a与b的关系是（ ）
A．互为倒数B．互为相反数C．相等D．互为负倒数
【答案】D
【分析】直接利用互为负倒数的定义分析得出答案．
【详解】解：，，
，
故a与b的关系是互为负倒数．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可．
【详解】A．，故A错误；
B．，故B正确；
C．，故C错误；
D．，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，灵活应用二次根式的性质进行计算，是解题的关键．
8．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的运算法则计算各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：A．，计算正确，符合题意；
B． 和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
C．，计算错误，不符合题意；
D．，计算错误，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
二、填空题
9．（2023春·江苏·八年级期中）化简______；
【答案】6
【分析】根据二次根式的除法法则计算，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简：____．
【答案】
【分析】直接根据二次根式的乘法法则计算即可得出答案．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
11．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）化简________．
【答案】
【分析】利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了化简二次根式，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．
12．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）式子有意义的条件是______．
【答案】
【分析】根据二次根式，以及分母不能为0，可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．
13．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：______．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的乘法运算法则是解题关键．
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）观察下列各式的规律：
①；
②；
③若，则___________．
【答案】
【分析】利用已知得出各式变化规律，二次根式下分数的分母等于分子的平方减，且分数前面的数字就是分数的分子，进而得出的值．
【详解】解：由题意可得：，，，即二次根式下分数的分母等于分子的平方减，且分数前面的数字就是分数的分子，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，理解题意，找出变化规律是解题关键．
15．（2022春·江苏盐城·八年级统考期末）计算：______．
【答案】1
【分析】利用平方差公式运算求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查运用平方差公式进行简便运算，能够熟练运用平方差公式是解决本题的关键．
三、解答题
16．（2023春·江苏·八年级专题练习）．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质以及算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式的性质以及算术平方根的定义．掌握二次根式的性质是解题的关键．
17．（2022春·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考阶段练习）计算
(1)（3﹣）（3+）+（2﹣）
(2)
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）首先运用运用平方差公式、乘法分配律、根式乘法法则进行计算，再进行加减运算；
（2）首先对二次根式进行化简、合并同类项、然后进行二次根式的除法运算．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了实数的混合运算、平方差公式、二次根式化简、二次根式的乘除法，解答本题的关键是熟练掌握以上运算法则进行计算即可．
18．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，，求下列各式的值：
(1)
(2)．
【答案】(1)16
(2)．
【分析】（1）根据完全平方公式写成，把x、y的值代入计算即可；
（2）根据平方差公式写成(x+y)(x-y)，把x、y的值代入计算即可．
【详解】（1）解：，，
∴ ；
（2）解：，，
∴ ．
【点睛】本题主要考查利用乘法公式进行二次根式的化简，熟记乘法公式是解题的关键．
19．（2022春·江苏苏州·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】首先将括号里面的分式进行通分合并，然后将除法改成乘法进行约分化简，最后将x的值带入化简后的式子进行计算．
【详解】原式
=
=，
当时，
=．
【点睛】本题考查分式的化简求值、二次根式的分母有理化．掌握分式的运算法则以及二次根式分母有理化的方法是解题的关键．
20．（2022秋·江苏·八年级统考期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简，然后去括号，再合并同类二次根式即可．
（2）利用完全平方公式，然后去括号，再合并同类二次根式和同类项即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，混合运算，以及完全平方公式的应用，熟练运用二次根式的混合运算是解题的关键．
【典型】
一、单选题
1．（2022春·全国·八年级假期作业）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，则.
【详解】解：由题意知：被开方数，解得： ．
故答案选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0.
2．（2020秋·河南平顶山·八年级统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．的值是±5B．两个无理数的和仍是无理数
C．-3没有立方根.D．是最简二次根式.
【答案】D
【分析】根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可．
【详解】，故A选项错误；
，故B选项错误；
-3的立方根为，故C选项错误；
是最简二次根式，故D选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．
【详解】∵被开方数，分母.
∴，∴.
∴原式．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．
4．（2020秋·江苏常州·八年级校考阶段练习）下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（ ）
A．与B．与C． 与D．与
【答案】A
【分析】将原式进行化简，求出最简二次根式，然后逐一判断即可．
【详解】，，故A选项正确；
，，故B选项错误；
，，不是同类二次根式，故C选项错误；
与不是同类二次根式，故D选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，要将原式进行化简，分母有理化求出最简二次根式即可判断．
二、填空题
5．（2021春·江苏常州·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，点E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，点A落在点F处，连接CF，AB＝6，BC＝4，若△DFC是等腰三角形，则AE＝_______．
【答案】﹣或12﹣8
【分析】分两种情况讨论①当CD＝CF＝6时，过点F作MN∥AD交AB于M，交CD于N，作CG⊥DF交DF于G，先求CG＝4，再由三角形CFD的面积得×DF×CG＝×CD×FN，求得FN＝，则MF＝4﹣，再求DN＝，EM＝﹣AE，在Rt△EMF中，，即可求AE＝12﹣8；②当DF＝CF＝4时，过点F作MN∥AD交AB于M，交CD于N，先求出FN＝，则MF＝4﹣，EM＝3﹣AE，在Rt△EFM中，，求出AE＝﹣．
【详解】解：由翻折可得△AED≌△FED，
∴AD＝DF，AE＝EF，
∵AB＝6，BC＝4，
∴AD＝DF＝4，CD＝6，
∵△DFC是等腰三角形，
①当CD＝CF＝6时，如图1，
过点F作MN∥AD交AB于M，交CD于N，作CG⊥DF交DF于G，
∴DG＝FG＝2，
∴CG＝4，
∴×DF×CG＝×CD×FN，
∴4×4＝6FN，
∴FN＝，
∴MF＝4﹣，
在Rt△DFN中，DN＝，
∴EM＝﹣AE，
在Rt△EMF中，EF2＝EM2＋MF2，
∴，
∴AE＝12﹣8；
②当DF＝CF＝4时，如图2，
过点F作MN∥AD交AB于M，交CD于N，
∵FN⊥CD，
∴DN＝3，
∴FN＝，
∴MF＝4﹣，
∵AM＝3，
∴EM＝3﹣AE，
在Rt△EFM中，EF2＝EM2＋MF2，
∴，
∴AE＝﹣；
综上所述：若△DFC是等腰三角形，AE为﹣或12﹣8；
故答案为﹣或12﹣8．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，对等腰三角形DFC分情况讨论求AE的值是解题的关键．
三、解答题
6．（2022春·全国·八年级假期作业）计算：
【答案】0
【分析】依次根据平方差公式、二次根式化简的方法进行计算求解即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握平方差公式、二次根式化简为解题关键．
7．（2023春·安徽六安·八年级校联考期中）已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：．
【答案】
【分析】由二次根式的性质进行化简，再根据绝对值的代数意义，结合数轴上点的特征判断正负，依次去绝对值符号后进行合并即可．
【详解】解：由数轴可知：a＞0，a-b＞0，c﹣a＜0，b﹣c＜0，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝．
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的性质和绝对值的性质，熟练应用绝对值的性质进行化简并合并同类项为解题关键．
8．（2022秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）阅读材料 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母同时乘以同一个不等于的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．
解：．
理解应用
(1)化简：；
(2)若是的小数部分，化简；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）原式分子分母同时乘以有理化因式，化简即可；
（2）求出的整数部分，进而表示出小数部分确定出a，代入原式计算即可求出值；
（3）原式各项进行分母有理化，计算即可求出值．
（1）
；
（2）
∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，即的整数部分为1，
∴a＝−1，
则原式＝；
（3）
原式＝
．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，平方差公式，二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
9．（2020春·江苏·八年级校考阶段练习）如图，已知平形四边形ABCD中，对角线AC，BD交点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝2，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCD的面积为20．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AO=OC，由等边三角形三线合一的性质得出EO⊥AC，即 BD⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出结论；
（2）由题意易得∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°，进而证得菱形是正方形，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，
即 BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，
由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC，
∴∠AEO＝∠CEO＝30°，△AOE是直角三角形，
∴∠EAO＝60°，
∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°，
∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，
∵▱ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴四边形ABCD的面积＝AB2＝（2）2＝20．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质、证明四边形是菱形与正方形是解题的关键．
10．（2020春·湖北黄冈·八年级统考期末）如图，正方形 ABCD的面积为5，正方形 BEFG的面积为7，求△ACE的面积．
【答案】
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，然后求出CE，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】∵正方形 ABCD的面积为5，正方形 BEFG的面积为7，
∴AB=CB= ， BE=，CE=，
∴△ACE的面积=CE·AB==
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，算术平方根的定义，利用面积求出两正方形的边长，从而得到CE的长度是解题的关键．
11．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在中，已知，，，求的面积；
（2）计算（1）中的边上的高．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；
（2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解．
【详解】解：（1），
所以，
答：的面积是．
（2）边上的高，
答：边的高是．
故答案为（1）；（2）．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．
【易错】
一．选择题（共4小题）
1．（2022春•靖江市期中）下列式子中最简二次根式的个数有（ ）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）2
（6）（x＞2）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据最简二次根式的定义，即可判断．
【解答】解：（1）＝；
（2）是最简二次根式；
（3）是最简二次根式；
（4）＝3；
（5）2＝2；
（6）（x＞2）不是二次根式；
所以，上列式子中最简二次根式的个数有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（2022春•盐城期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据同类二次根式的定义，即可解答．
【解答】解：A、∵＝2，
∴与是同类二次根式，故A符合题意；
B、∵＝3，
∴与不是同类二次根式，故B不符合题意；
C、与不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、∵＝，
∴与不是同类二次根式，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了同类二次根式，立方根，二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
3．（2022春•靖江市期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|﹣a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+bB．2a﹣bC．﹣bD．无意义
【分析】利用绝对值的意义和二次根式的性质化简运算即可．
【解答】解：由实数a，b在数轴上对应点的位置可得：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴﹣a＞0，a﹣b＜0，
∴原式＝﹣a+（b﹣a）
＝﹣a+b﹣a
＝﹣2a+b，
故选：A．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质，利用实数a，b在数轴上对应点的位置确定相关式子的符号是解题的关键．
4．（2023春•邗江区月考）如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（ ）
A．nB．nC．nD．n+
【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．
【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1，
所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．
故选：A．
【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．
二．填空题（共2小题）
5．（2022春•邗江区期末）已知|a﹣3|+＝a，则a＝ 13 ．
【分析】根据二次根式（a≥0）可得a﹣4≥0，从而可得a≥4，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
a﹣4≥0，
∴a≥4，
∴|a﹣3|＝a﹣3，
|a﹣3|+＝a，
a﹣3+＝a，
＝3，
a﹣4＝32，
a＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握据二次根式（a≥0）是解题的关键．
6．（2022春•润州区校级期末）写两个不同的a的值 16或7（答案不唯一） ，使得与是同类二次根式．
【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后被开方数相同的，即为同类二次根式，即可解答．
【解答】解：由题意得：
当a﹣4＝3时，
∴a＝7，
当a﹣4＝12时，
∴a＝16，
∴当a＝16或7时，与是同类二次根式，
故答案为：16或7（答案不唯一）．
【点评】本题考查了同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
7．（2022春•沭阳县期末）计算：（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝2﹣+5
＝+5；
（2）
＝3﹣6+6﹣（4﹣5）
＝3﹣6+6+1
＝10﹣6．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．（2022春•锡山区期末）计算：（1）；
（2）．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）；
＝4﹣+
＝；
（2）
＝5﹣2+3﹣4
＝4﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．（2022春•亭湖区校级期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：，，，……，解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想＝ ﹣ ；
（2）计算：（）（）的值．
【分析】（1）根据前面的规律，利用分母有理化，进行计算即可解答；
（2）先将进行分母有理化，再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝
＝﹣，
故答案为：．
（2）（）（）
＝[]（+）
＝
＝
＝
＝×4
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，规律型：数字的变化类，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
10．（2022春•惠山区期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）化简二次根式并进行加减运算．
（2）利用通分进行化简，凑完全平方后与分母进行约分计算．
【解答】解：（1）原式＝2+3﹣4＝；
（2）原式×＝×＝a﹣b；
【点评】（1）考查二次根式的化简和加减运算，关键掌握根式的化简和加减运算．
（2）考查分式的化简，关键是掌握完全平方公式及其变形，进行因式分解，分子分母再进行约分即可．
11．（2022春•靖江市校级期末）计算：
（1）（）×﹣6；
（2）（7+4）（7﹣4）﹣（﹣1）2．
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算减法，即可解答；
（2）利用平方差公式，完全平方公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（）×﹣6
＝﹣6﹣3
＝3﹣6﹣3
＝﹣6；
（2）（7+4）（7﹣4）﹣（﹣1）2．
＝49﹣48﹣（4﹣2）
＝1﹣4+2
＝﹣3+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（2022春•南京期末）像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、+1与﹣1、2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）计算：①＝ ，
②＝ ；
（2）计算：﹣；
（3）已知有理数a、b满足，则a＝ ﹣1 ，b＝ 1 ．
【分析】（1）①利用分母有理化进行计算即可解答，
②利用分母有理化进行计算即可解答；
（2）利用分母有理化先化简每一个式子，然后再进行计算即可解答；
（3）利用分母有理化进行计算，可得（b﹣a）+（2a+b）＝2﹣1，从而可得b﹣a＝2，2a+b＝﹣1，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）①＝＝，
②＝＝，
故答案为：①，
②；
（2）﹣
＝﹣
＝2+﹣（+1）
＝2+﹣﹣1
＝1；
（3）∵，
∴+＝2﹣1，
∴2a﹣a+b+b＝2﹣1，
∴（b﹣a）+（2a+b）＝2﹣1，
∴b﹣a＝2，2a+b＝﹣1，
∴a＝﹣1，b＝1，
故答案为：﹣1，1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
13．（2022春•秦淮区期末）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式．
例如：与、与等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；……
（1）请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）；
（2）利用有理化因式比较与的大小，并说明理由．
【分析】（1）仿照例题，利用分母有理化，进行计算即可解答；
（2）仿照例题，利用分母有理化，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）＝
＝﹣；
（2），
理由：4﹣＝
＝，
﹣4＝
＝，
∵4+＜4+，
∴＞，
即．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
14．（2022春•邗江区期末）阅读下列材料，并回答问题：
把形如a+b与a﹣b、b为有理数且b＞0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
（1）请你举出一对共轭实数： 3+ 和 3﹣ ；
（2）﹣2和2是共轭实数吗？若是请指出a、b的值；
（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是4，请求出这两个共轭实数．
【分析】（1）根据题意，可以写出一组共轭实数，本题答案不唯一；
（2）根据共轭实数的定义，可以判断﹣2和2是共轭实数，并写出a和b即可；
（3）根据两个共轭实数的和是10，差的绝对值是4，可以求得a、b、m的值，从而可以写出这两个共轭实数．
【解答】解：（1）由题意可得，
3+与3﹣是共轭实数，
故答案为：3+，3﹣；
（2）﹣2和2是共轭实数，a＝0，b＝2；
（3）设这两个共轭实数为a+b与a﹣b，
∵两个共轭实数的和是10，差的绝对值是4，
∴（a+b）+（a﹣b）＝10，|（a+b）﹣（a﹣b）|＝4，
∴2a＝10，|2b|＝4，
∴a＝5，b＝2或b＝﹣2（舍去），m＝3，
∴这两个共轭实数是5+2，5﹣2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．
15．（2022春•江都区校级月考）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）．
例如：化简：
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以．
问题：
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）化简：（请写出计算过程）；
（3）化简：．
【分析】（1）把4﹣2化为3﹣2+1，把5﹣2化为3﹣2+2，然后再用完全平方公式分解因式，最后化简；
（2）把19﹣4化为15﹣4+4，然后再用完全平方公式分解因式，最后化简；
（3）根据前两问的规律先把原式化为++++的形式，再分母有理化，最后计算．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
原式＝
＝
＝；
故答案为：；；
（2）原式＝
＝
＝；
（3）原式＝++++
＝1++2﹣+﹣2+
＝﹣1．
【点评】主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简，其中拆项法进行化简是解题关键．