初中数学苏科版八年级下册12.1 二次根式课时训练

这是一份初中数学苏科版八年级下册12.1 二次根式课时训练，文件包含核心考点08二次根式原卷版docx、核心考点08二次根式解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。

一．二次根式的定义（共3小题） 二．二次根式有意义的条件（共3小题）
三．二次根式的性质与化简（共4小题） 四．最简二次根式（共4小题）
五．二次根式的乘除法（共7小题） 六．分母有理化（共7小题）
七．同类二次根式（共2小题） 八．二次根式的加减法（共5小题）
九．二次根式的混合运算（共2小题） 十．二次根式的化简求值（共5小题）
十一．二次根式的应用（共8小题）
考点考向
一．二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
二．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
三．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
四．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
五．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
六．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
七．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
八．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
九．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
十．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
十一．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
考点精讲
一．二次根式的定义（共3小题）
1．（2022春•海安市校级月考）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）
A．x≠3B．x＜3C．x＞3D．x≥3
2．（2022春•海安市期中）下列各式中，，，，，，其中一定是二次根式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2015春•扬州校级期末）已知n为正整数，是整数，则n的最小值是 ．
二．二次根式有意义的条件（共3小题）
4．（2023春•天宁区校级期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x≥﹣5C．x＜5D．x≥5
5．（2023春•邗江区月考）已知，则a﹣20222＝ ．
6．（2022春•兴化市月考）若实数m满足，则m＝ ．
三．二次根式的性质与化简（共4小题）
7．（2022秋•阜宁县期末）化简＝ ．
8．（2022秋•苏州期末）已知+＝0，则+＝ ．
9．（2023春•邗江区月考）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：，善于思考的康康进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），
则有（有理数和无理数分别对应相等），
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且e、f均为正整数，试化简：；
（3）化简：．
10．（2022春•海州区校级期末）材料：如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使＝，即m•n＝b，那么＝（）2+（）2±2＝（±）2∴＝，双重二次根式得以化简．
例如化简：因为3＝1+2且2＝1×2∴3±2＝（）2+（）2±2×＝|1±|．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）化简：；
（3）计算：+．
四．最简二次根式（共4小题）
11．（2022春•盐都区月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022春•靖江市校级期末）我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则（+）2是（ ）
A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数
13．（2022春•宿城区期末）若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是 ．
14．（2022春•泰兴市期中）已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a+b＝ ．
五．二次根式的乘除法（共7小题）
15．（2022春•科左中旗月考）计算：×．
16．（2022春•科左中旗月考）计算：÷．
17．（2021春•姑苏区校级月考）已知等式＝成立，化简|x﹣6|+的值．
18．（2022春•亭湖区校级月考）若实数p在数轴上的位置如图所示，
化简下列式子：+（）2
19．（2022春•靖江市月考）（1）发现规律：
特例1：＝＝＝2；
特例2：＝＝＝3；
特例3：＝4；
特例4： ．（填写一个符合上述运算特征的例子）；
（2）归纳猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ；
（3）请证明你的猜想．
20．（2023春•海安市月考）计算：＝ ．
21．（2022春•亭湖区校级期末）若无理数x与的积是一个正整数，则x的最小值是 ．
六．分母有理化（共7小题）
22．（2022春•江阴市期末）写出一个二次根式，使它与的积是有理数．这个二次根式是 ．
23．（2022春•江都区校级月考）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故x＞0，由x2＝（）2＝＝2，解得x＝，即．根据以上方法，化简后的结果为 ．
24．（2021春•靖江市月考）实数2﹣的倒数是 ．
25．（2021春•金坛区期末）比较大小： （填写“＞”或“＝”或“＜”）．
26．（2021春•丹阳市期中）像•＝2：（+1）（﹣1）＝2：（+）（﹣）＝3…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．
（1）＝＝；
（2）＝＝＝3+2．
勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
（3）化简：﹣．
解：设x＝﹣，易知＞，∴x＞0．
由：x2＝3++3﹣﹣2＝6﹣2＝2．解得x＝．
即﹣＝．
请你解决下列问题：
（1）2﹣3的有理化因式是 ；
（2）化简：++；
（3）化简：﹣．
27．（2021春•苏州期末）像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．请写出﹣的一个有理化因式 ．
28．（2021春•邗江区期中）阅读材料并解决问题：＝＝＝﹣1，像上述解题过程中，+1与﹣1相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
（1）将下列式子进行分母有理化：①＝ ；②＝ ；
（2）化简：+．
七．同类二次根式（共2小题）
29．（2023春•海安市月考）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ）
A．m＝5B．m＝2C．m＝3D．m＝6
30．（2022春•靖江市校级月考）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是 ．
八．二次根式的加减法（共5小题）
31．（2020春•赣榆区期末）如果与的和等于3，那么a的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
32．（2022春•海安市期中）已知x+y＝−6，xy＝6．求的值．
33．（2021春•广陵区校级期末）计算：9﹣＝ ．
34．（2021春•锡山区期末）计算：+|1﹣|．
35．（2022•南京一模）计算﹣的结果为 ．
九．二次根式的混合运算（共2小题）
36．（2023春•邗江区月考）计算：
（1）（）2﹣+； （2）×÷．
37．（2023春•启东市期中）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；﹣1．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简：＝ ；＝ ．
（2）填空：的倒数为 ．
（3）化简：．
一十．二次根式的化简求值（共5小题）
38．（2021春•射阳县校级月考）已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值：
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
39．（2022春•盐都区期中）已知a+1＝，则a2+2a+3＝ ．
40．（2023春•邗江区月考）如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（ ）
A．nB．nC．nD．n+
41．（2022春•江都区期末）已知实数a、b满足，则的值为 ．
42．（2022秋•城关区期末）先化简，后求值：，其中．
一十一．二次根式的应用（共8小题）
43．（2022春•盐城期末）直角三角形的两条直角边长分别为、，则这个直角三角形的面积为 ．
44．（2021春•如东县期中）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）cm2．
A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣2
45．（2022春•江都区校级月考）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝7，c＝8，则△ABC的面积为 ．
46．（2022春•亭湖区校级月考）据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）加高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）．
（1）求从40m高空抛物到落地时间；
（2）已知高空坠物动能w（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg的玩具被抛出后经过4s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）．
47．（2022春•新吴区期末）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S＝，其中a、b、c为三角形的三条边，c为最长边．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则此三角形面积为 ．
48．（2022春•常熟市期中）已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积S的问题，古希腊数学家海伦在其著作《度量论》一书中给出了著名的海伦公式：S＝，其中p＝（a+b+c）．若一个三角形的三边长分别为5，6，7，则其面积是 ．
49．（2022春•江宁区期末）材料阅读：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝，这一公式称为海伦公式．
我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S＝，被称之为秦九韶公式．
（1）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．
如图①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面积．
（2）在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为 ．
50．（2023春•惠山区校级期中）我们称长与宽之比为的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．
（1）①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；
②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；
（2）若用K个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数K有何特点？请叙述你的发现 ；
（3）①用16个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为 ；
②用128个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为 ；
③用m个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为，则m＝ ．
巩固提升
一、单选题
1．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）已知m是的小数部分，则的值是（ ）
A．2B．4C．D．
2．（2023春·江苏·八年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·江苏常州·八年级校考期中）的倒数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）下列二次根式中，不能再化简的二次根式是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·江苏·八年级期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）
A．7B．C．D．无法确定
6．（2023春·八年级单元测试）已知直角三角形的周长为厘米，斜边上的中线长为2厘米，则这个三角形的面积是（ ）
A．平方厘米B．平方厘米C．1平方厘米D．平方厘米
二、填空题
7．（2023春·江苏南京·八年级南京钟英中学校考阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算的结果是__．
9．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）对于有理数，定义的含义为：当时，．例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为________．
11．（2020秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）阅读理解:对于任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为__________．
三、解答题
12．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：
(1)； (2)．
13．（2023春·八年级单元测试）已知，，分别求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简求值
(1)已知，，试求代数式的值．
(2)先化简，再求值，其中，．
15．（2023春·江苏苏州·八年级统考期中）定义：若分式M与分式N的和等于它们的积，即，则称分式M与分式N互为“关联分式”．如与，因为，所以与互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”．
(1)试说明分式与分式互为“关联分式”；
(2)若分式是分式的“关联分式”，，求分式的值．
16．（2023春·江苏·八年级专题练习）濮阳市指出要全力做好国土绿化工作，加快推进森林濮阳生态建设．现濮阳某公园有一块长方形绿地，为，为，内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为，宽为．
(1)求长方形的周长；
(2)图片中的空白部分另作他用，需要50元/平方米的定期维护费，求定期维护的总费用．
17．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为整数），则有．故，，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数，，，填空： （ ）；
(3)若，且a，m，n均为正整数，求的值．
18．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）（1）比较大小：①_____；②_____；③_____（填“＞”，“＜”，或“=”）；
（2）猜想证明：通过上面三个计算，可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想：_____（填“＞”，“＜”，“≥”或“≤”），并请你对猜想的结论进行证明；
（3）结论应用．如图，某同学用竹条做二个面积为，对角线相互垂直的四边形玩具时，用来做对角线的竹条至少要________cm．
19．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
方法一：；
方法二：．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)直接写出化简结果：＝ ，＝ ；
(2)请参照以上化简的方法，用两种方法化简：；
(3)计算：．
20．（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）（1）[方法回顾]课本上“三角形中位线定理”的证明．
已知：如图1，在中，点D、E分别是边的中点． 求证：， ．
证明：如图1，延长到点F，使得，连接；请继续完成证明过程
（2）[问题解决]
如图2，，E为的中点，G、F分别为射线上的点，，线段有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）[思维拓展]
如图3，在四边形中，，，，E为的中点，G、F分别为边上的点，H是的中点，若，，的长为 ．
21．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
(2)若，且、、均为正整数，求的值；
(3)化简下列各式：
①
②
③．
22．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在四边形ABCD中，，∠B＝90°，AD＝acm，BC＝bcm，并且a，b满足b＝+8，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题：
(1)AD＝______cm，BC＝______cm．
(2)设点P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQBA是矩形．
(3)如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒，求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．