2022-2023学年北京市西城区三帆中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市西城区三帆中学九年级（下）开学数学试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一个不透明的盒子中装有3个红球，7个白球，这些球除颜色外，没有任何其它区别，从这个盒子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为( )
A. 110B. 15C. 310D. 23
2.如图所示，△ADE∽△ACB下列结论中正确的是( )
A. AD：BD=AE：AC
B. DE：BC=AD：AB
C. S△ADE：S△ABC=DE：BC
D. ∠ADE=∠C
3.二次函数y=(x−5)(x−1)的顶点坐标是( )
A. (−3,−4)B. (3,−4)C. (3,−3)D. (−3,0)
4.一元二次方程ax2+ax−a=0.根的情况是( )
A. 有一个实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根D. 有两个实数根可能相等，也可能不相等
5.如图所示，AB是圆O的一条弦.且AB=OA.则弦AB所对的圆心角是( )
A. 60°或120°
B. 60°
C. 30°或150°
D. 90°
6.已知函数y=k(x−1)和y=−kx(k≠0)，它们在同一坐标系内的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知M(0,5)，N(2,yN)，且A，B分别是ON，MN的中点，线段AB上(不含边界)的横纵坐标都是整数的点的个数为( )
A. 2个
B. 3个
C. 2个或3个
D. 1个或2个
8.如图所示在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD，A(6,3)，B，D在坐标轴上，CD=5，若反比例函数过点C则反比例函数解析式为( )
A. y=32x
B. y=18x
C. y=−18x
D. y=−32x
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.请你写出一个一元二次方程，该方程有相同的两根，且根都为1 ______．
10.一个底面半径为2，母线长为10的圆锥的侧面积是______．
11.已知平面直角坐标系xOy中，A(a,1)，B(b,2)，C(c,−2)三个点在反比例函数y=2x的图象上，则a，b，c的大小关系为______．
12.下列说法中正确的是______．
①若一个数的绝对值是1，则这个数为1“是必然事件；
②如图，已知正方形ABCD，以A为圆心，AB长为半径作⊙A，则“点C在⊙A外”是必然事件；
③在一定条件下，一件事情发生的频率会随着试验次数发生改变，随着大量重复性试验次数增加概率也会发生改变；
④我们可以利用频率估计概率的方法估算出圆周率的值；
⑤在一个袋子里有若干个红球和黑球，随意摸一个球，不是红球，就是黑球，所以摸出红球的概率是0.5．
13.如图，⊙O中M，N分别是弦AB，CD的中点，且AB=CD，AB和CD不平行，则∠AMN与∠DNM的数量关系是______．
14.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若BC：AB：AD=3：4：6，且四边形ABCD的周长为72，则四边形CD边长为______．
15.在平面直角坐标系中，函数y1=x−2m+2与y2=x2−mx的图象交于A(xA,yA)，B(xB,yB)两点.若yAyBα时，BD′=CE′成立
③当D与E′重合时D′E⊥AB
④旋转过程中∠EE′D的度数与旋转角β有一定数量关系
⑤旋转过程中∠EE′D的度数与α有一定数量关系
⑥当α=37°时，存在β使得B，D，E共线
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：2x2−3x−2=0．
四、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
已知：a是方程x2−3x−1=0的一个根，求代数式(a−1)2−a的值．
19.(本小题5分)
已知关于x的方程mx2−(m+3)x+3=0(m≠0)．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
20.(本小题5分)
已知：直线l及直线l外一点A．
求作：直线AB，使得AB/​/l．
小锐同学的作法如下：
(1)在直线l上任取一点O；
(2)以点O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O交直线l于点C，D(点C在左侧)；
(3)作⊙O直径AE，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交⊙O于点B(点B与点A位于直线l同侧)；
(4)作直线AB，则直线AB即为所求．
请你依据小锐同学设计的尺规作图过程，完成下列问题．
(1)使用无刻度的直尺和圆规，根据小锐同学的作法完成作图(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明：
证明：连接AC．
∵在⊙O中，OA=OC，
∴∠ACD=∠CAE.(______)(填推理的依据)
∵CB=CE，
∴CB=CE.(______)(填推理的依据)
∴∠BAC=∠CAE.(______)(填推理的依据)
∴∠BAC=∠ACD．
∴AB/​/l．
21.(本小题5分)
甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”.两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负.三人游戏时，若三人的手势都相同或互不相同，则不分胜负；若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时参照两人游戏规则.例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜.假设甲、乙、丙三人每次出这三种手势的可能性相同．
(1)用画树状图或列表的方法表示甲和乙玩“石头、剪刀、布”游戏，出第一次手势时所有可能出现的结果(其中石头、剪刀、布分别用序号A、B、C表示)；
(2)求游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．
22.(本小题6分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A(1,2)，B(n,−1)两点，与x轴交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)直接写出不等式kx+b>mx的解集．
23.(本小题6分)
如图，在矩形ABCD中，E是CD边上任意一点(不与点C、D重合)，作AF⊥AE交CB的延长线于点F．
(1)求证：△ADE∽△ABF；
(2)连接EF，若AB=8，AD=4，DE=3，求EF的长．
24.(本小题6分)
如图，△ABC中，AB=BC，点A在⊙O外，BC是⊙O的弦，DO⊥BC，连接OD.若AC交OD于点E，交OB于点F，满足OE=OF．
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)若OB=5，CD=3DE，求AF的长．
25.(本小题5分)
如图1是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分.其中蕴含了物理中的“杠杆原理”，在如图2所示的平面直角坐标系中，将投石机置于某山坡的底部(原点O处)，山坡横截面可近似用抛物线C1：y=−1120x2+35x表示，石块从投石机竖直方向上的点D处被投出，在山坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB.已知，石块运动轨迹所在抛物线C2的顶点坐标是(40,20)，OD=4，OE=50，AB=9．
(1)求石块运动轨迹所在抛物线C2的解析式；
(2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−3a经过点A(−3,0)，
(1)求抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)点M(xM,yM)在抛物线上，当n−1≤xM≤n+3时q≤yM≤p，
①当a=−1时，直接写出p−q的范围；
②若存在实数n，使得p−q=3，求出a的取值范围．
27.(本小题7分)
如图，在四边形ABCD中，BC=CD，对角线AC，BD相交于点P，点M在AC上，连接BM，DM，∠ACD=∠CBM=∠ABD．

(1)求证：AM=BM；
(2)求证：∠DAC=∠BAC；
(3)点N是AM的中点，连接DN，若∠ADM+∠ADN=180°，画出图形，直接写出AD与AB满足的数量关系．
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，存在一个图形W，P为图形W上任意一点，线段PO(点P与O不重合)绕点P逆时针旋转90°得到线段PO′，延长PO′至点Q，使得PQ=2OP，若点M为线段PQ上一点(点M可与线段PQ端点重合)，则称点M为图形W的“二倍点”．
已知点A(0,1)、点B(0,2)．

(1)M1(1,1)，M2(3,1)，M3(1,2)，M4(1,4)中，是线段AB的“二倍点”的是______；
(2)直线y=k(x−1)(k≠0))存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围；
(3)⊙A的半径为1，M是⊙A的“二倍点”，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于C、D两点，点N在线段CD上(N可与线段CD端点重合)，当点N在线段CD上运动时，直接写出线段MN的最大值和最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有3个红球，7个白球，共10个，
摸到红球的概率为：310．
故选：C．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
2.【答案】D
【解析】解：A、由△ADE∽△ACB，得到AD：AC=AE：AB，故A不符合题意；
B、由△ADE∽△ACB，得到DE：BC=AD：AC，故B不符合题意；
C、由△ADE∽△ACB，得到S△ADE：S△ABC=DE2：BC2，故C不符合题意；
D、由△ADE∽△ACB，得到∠ADE=∠C，故D符合题意．
故选：D．
由相似三角形的性质，即可判断．
本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
3.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=(x−5)(x−1)=x2−6x+5=(x−3)2−4，
∴该函数的顶点坐标是(3,−4)，
故选：B．
根据配方法可以将题目中的函数解析式化为顶点式，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4.【答案】D
【解析】解：∵Δ=a2−4×a×(−a)=a2+4a2≥0，
∴方程有两个的实数根．
故选：D．
先计算根的判别式的值得到Δ≥0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，y=−kx中k>0，故B选项正确；
C、y=kx−k中k>0，y=−kx中k0；又y=kx−k与y轴正半轴相交，k