浙教版八年级下册1.1 二次根式综合训练题

这是一份浙教版八年级下册1.1 二次根式综合训练题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. [2023·济宁]若代数式eq \f(\r(x),x－2)有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≠2 B. x≥0
C. x≥2 D. x≥0且x≠2
2. [2023·杭州钱塘区期中]已知下列式子：①eq \r(\f(1,5))；②eq \r(3,7)；③eq \r(x2＋2)；④eq \r((－x)2)；⑤eq \r(x－1). 其中一定是二次根式的是( )
A. ①③⑤ B. ①②③ C. ①③④ D. ①④⑤
3. 已知1＜a＜2，则化简eq \r((a－3)2)＋|1－a|的结果为( )
A. 2a－4 B. 4－2a C. 2 D. －2
4. [2023·大连]下列计算正确的是( )
A. (eq \r(2))0＝eq \r(2) B. 2eq \r(3)＋3eq \r(3)＝5eq \r(6)
C. eq \r(8)＝4eq \r(2) D. eq \r(3)(2eq \r(3)－2)＝6－2eq \r(3)
5. 已知等腰三角形的两边长a，b满足eq \r(a－4)＋|b－8|＝0，则等腰三角形的周长为( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20
6. 从“＋，－，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“(eq \r(3)＋1)□x”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数x不可能是( )
A. eq \r(3)＋1 B. 5eq \r(3)－1 C. eq \r(3)－2 D. 1－eq \r(3)
7. 已知m＝eq \r(3)＋1，n＝eq \f(2,\r(3)－1)，则m和n的关系为( )
A. m＝n B. mn＝1 C. m＝－n D. mn＝－1
8. 如果一个三角形的三边长分别为1，k，4，则化简|2k－5|－eq \r(k2－12k＋36)的结果是( )
A. 3k－11 B. k＋1 C. 1 D. 11－3k
9. 如图，在一个长方形中无重叠地放入面积分别为9 cm2和8 cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为( )
A. (2eq \r(2)＋1) cm2
B. 1 cm2
C. (8eq \r(2)－6) cm2
D. (6eq \r(2)－8) cm2
10.如图所示的2×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于( )
A. eq \r(2) B. 2eq \r(2)
C. eq \f(2 \r(10),5) D. eq \f(\r(10),5)
二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)
11.化简：eq \r(2 \f(2,9))＝________.
12.若最简二次根式eq \r(4－2m)与eq \r(6)是同类二次根式，则m的值是________.
13.在数轴上，A，B两点的距离为2 eq \r(7)，点A所对应的数为－eq \r(7)，则点B所对应的数为________.
14. [2023·衢州柯城区期中] (eq \r(3)－eq \r(2))2 025(eq \r(3)＋eq \r(2))2 024＝________.
15.我们知道eq \r(2)是无理数，所以eq \r(2)的小数部分不能全部写出来，但我们可以用eq \r(2)－1来表示eq \r(2)的小数部分. 已知5＋eq \r(11)的小数部分是a，5－eq \r(11)的小数部分是b，则(a＋b)2 025的值为________.
16.已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式eq \r(a2)－|a＋c|＋eq \r((b－c)2)－|－b|＝________.
三、解答题(本题有8小题，共66分)
17. (6分)计算：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(－1)－eq \r(12)＋(1－eq \r(2))0－|eq \r(3)－2|；
(2)(10eq \r(48)－6eq \r(27)＋4eq \r(12))÷eq \r(3).
18. (6分) [教材P22目标与评定T12变式]已知a＝eq \r(3)＋2，b＝eq \r(3)－2，求a2b＋ab2的值.
19. (6分)已知△ABC的三边AC，AB，BC的长分别为2,2eq \r(5),4eq \r(\f(1,2)).
(1)请在图中画出△ABC并求其面积(每个小正方形的边长为1)；
(2)求出△ABC最长边上的高.
20. (8分)如图，扶梯AB的坡比为1: eq \r(3)，滑梯CD的坡比为1: 2，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，BE＝CF，FD＝4 m，BC＝2 m. 某人从扶梯上去，经过顶部BC，再沿滑梯滑下，求他经过的路程. (结果精确到0. 1 m，eq \r(2)≈1. 41，eq \r(3)≈1. 73，eq \r(5)≈2. 24)
21. (8分)已知长方形的长为eq \f(1,2)eq \r(48)，宽为eq \f(1,3)eq \r(27).
(1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长的大小关系.
22. (10分)一只虫子在平面直角坐标系内爬行，从点P出发向右爬行3个单位，再向上爬行5个单位后到达点Q，点P的坐标为(eq \r(2)，n)，点Q的坐标为(m，eq \r(2)＋1).
(1)求 m 和 n 的值；
(2)已知y＝eq \r(x－2)＋eq \r(2－x), 求x，y及代数式|m－y|＋|n＋x|的值.
23. (10分)小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算：
第1个等式：eq \r(\f(1,2)－\f(1,4))＝eq \f(1,2)；第2个等式：eq \r(\f(1,3)－\f(1,9))＝eq \f(\r(2),3)；
第3个等式：eq \r(\f(1,4)－\f(1,16))＝eq \f(\r(3),4)；第4个等式：________________.
(2)观察、归纳，得出猜想.
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律：______________________.
(3)试证明你的猜想.
24. (12分)数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题，请完成各题.
(1)小青编写的题：
观察下列等式：
eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \f(2(\r(3)－1),(\r(3)＋1) (\r(3)－1))＝eq \f(2(\r(3)－1), (\r(3))2－12)＝eq \f(2(\r(3)－1),3－1)＝eq \r(3)－1；
eq \f(2,\r(5)＋\r(3))＝eq \f(2(\r(5)－\r(3)),(\r(5)＋\r(3)) (\r(5)－\r(3)))＝eq \f(2(\r(5)－\r(3)),(\r(5))2－(\r(3))2)＝eq \f(2(\r(5)－\r(3)),5－3)＝eq \r(5)－eq \r(3).
直接写出结果：eq \f(2,\r(7)＋\r(5))＝________.
(2)小明编写的题：
由二次根式的乘法可知(eq \r(3)＋1)2＝4＋2eq \r(3)，(eq \r(5)＋eq \r(3))2＝8＋2eq \r(15)，(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)(a≥0，b≥0).
根据算术平方根的定义可得eq \r(4+2\r(3))＝eq \r(3)＋1，eq \r(8+2\r(15))＝eq \r(5)＋eq \r(3)，eq \r(a+b+2\r(ab))＝eq \r(a)＋eq \r(b)(a≥0，b≥0).
直接写出结果：eq \r(7+4\r(3))＝________.
(3)数学老师编写的题：
计算：(eq \f(2,\r(3)＋1)＋eq \f(2,\r(5)＋\r(3))＋eq \f(2,\r(7)＋\r(5))＋eq \f(2,\r(9)＋\r(7))＋eq \f(2,\r(11)＋\r(9))) ·eq \r(12+2\r(11)).
答案
一、1. D 2. C 3. C
4. D 【点拨】(eq \r(2))0＝1，故A错误；2eq \r(3)＋3eq \r(3)＝5eq \r(3)，故B错误； eq \r(8)＝2eq \r(2)，故C错误；eq \r(3)(2eq \r(3)－2)＝eq \r(3)×2eq \r(3)－eq \r(3)×2＝6－2eq \r(3)，故D正确.
5. C 【点拨】∵eq \r(a－4)＋|b－8|＝0，
∴a－4＝0，b－8＝0，∴a＝4，b＝8.
当a＝4为底边长时，腰长为8，4＋8＞8，能组成三角形，故周长为4＋8＋8＝20.
当b＝8为底边长时，腰长为4，4＋4＝8，不能组成三角形. 所以等腰三角形的周长为20.
6. B
7. A 【点拨】因为n＝eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \f(2(\r(3)＋1),(\r(3)－1)(\r(3)＋1))＝eq \r(3)＋1，m＝eq \r(3)＋1，所以m＝n，m≠－n；又因为mn＝(eq \r(3)＋1)×(eq \r(3)＋1)＝4＋2eq \r(3)，所以mn≠1，mn≠－1.
8. A 【点拨】∵三角形的三边长分别为1，k，4，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋4>k，,4－19. D 【点拨】如图，
由题意知S正方形ABCH＝9 cm2，S正方形HMEG＝8 cm2.
∴AB＝AH＝3 cm，HG＝2 eq \r(2) cm.
∴AG＝(3＋2 eq \r(2)) cm.
∴S空白部分＝S长方形ABDG－S正方形ABCH－S正方形HMEG＝3×(3＋2eq \r(2))－9－8＝(6eq \r(2)－8)(cm2).
10. C 【点拨】过点A作AD⊥BC于D. 由勾股定理可得AB＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，AC＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，BC＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，
∴AB2＋AC2＝2＋8＝10＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC＝eq \f(1,2)BC·AD，则eq \r(2)×2eq \r(2)＝eq \r(10)AD，∴AD＝eq \f(4,\r(10))＝eq \f(2 \r(10),5).
二、11. eq \f(2 \r(5),3) 12. －1
13. －3 eq \r(7)或eq \r(7) 【点拨】当点B在点A的右边时，点B所对应的数为－eq \r(7)＋2 eq \r(7)＝eq \r(7)；当点B在点A的左边时，点B所对应的数为－eq \r(7)－2 eq \r(7)＝－3 eq \r(7).
14. eq \r(3)－eq \r(2) 【点拨】(eq \r(3)－eq \r(2))2 025(eq \r(3)＋eq \r(2))2 024＝[(eq \r(3)－eq \r(2))(eq \r(3)＋eq \r(2))]2 024·(eq \r(3)－eq \r(2))＝(3－2)2 024·(eq \r(3)－eq \r(2))＝1×(eq \r(3)－eq \r(2))＝eq \r(3)－eq \r(2).
15. 1 【点拨】∵eq \r(9)∴a＝eq \r(11)－3，b＝4－eq \r(11)，
∴(a＋b)2 025＝(eq \r(11)－3＋4－eq \r(11))2 025＝12 025＝1.
16. 0 【点拨】由题图可知c＜a＜0＜b，
∴a＋c＜0，b－c＞0，－b＜0，
∴原式＝－a＋a＋c＋b－c－b＝0.
三、17. 【解】(1)原式＝－2－2 eq \r(3)＋1－(2－eq \r(3))
＝－2－2 eq \r(3)＋1－2＋eq \r(3)
＝－3－eq \r(3).
(2)原式＝10 eq \r(16)－6 eq \r(9)＋4 eq \r(4)
＝40－18＋8
＝30.
18. 【解】∵a＝eq \r(3)＋2，b＝eq \r(3)－2，
∴a＋b＝2eq \r(3)，ab＝－1，
∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝－2eq \r(3).
19. 【解】(1)AB＝2eq \r(5)＝eq \r(20)＝eq \r(22＋42)，
BC＝4eq \r(\f(1,2))＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)＝eq \r(8)＝eq \r(22＋22)，AC＝2，△ABC如图.
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC×BD＝2.
(2)设△ABC最长边上的高为h，∵最长边为AB，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB×h＝2，
∴h＝eq \f(2 \r(5),5)，即△ABC最长边上的高为eq \f(2 \r(5),5).
20. 【解】∵滑梯CD的坡比为1: 2，即eq \f(CF,DF)＝eq \f(1,2)，
∴CF＝eq \f(1,2)DF＝2 m，
∴BE＝CF＝2 m，CD＝eq \r(CF2＋DF2)＝2eq \r(5) m.
∵扶梯AB的坡比为1: eq \r(3)，即eq \f(BE,AE)＝eq \f(1,\r(3))，
∴AE＝eq \r(3)BE＝2eq \r(3)m，
∴AB＝eq \r(AE2＋BE2)＝4 m，
∴AB＋BC＋CD＝4＋2＋2eq \r(5)＝6＋2eq \r(5)≈10. 5(m).
答：他经过的路程约为10. 5 m.
21. 【解】(1)长方形的周长2×(eq \f(1,2)eq \r(48)＋eq \f(1,3)eq \r(27))＝2×(2eq \r(3)＋eq \r(3))＝6eq \r(3).
(2)长方形的面积为eq \f(1,2) eq \r(48)×eq \f(1,3)eq \r(27)＝2 eq \r(3)×eq \r(3)＝6，则正方形的边长为eq \r(6)，
∴此正方形的周长为4 eq \r(6).
∵6 eq \r(3)＝eq \r(108)，4 eq \r(6)＝eq \r(96)，且eq \r(108)>eq \r(96)，
∴6 eq \r(3)>4 eq \r(6)，即长方形的周长大于正方形的周长.
22. 【解】(1)由题意，得m＝eq \r(2)＋3，n＝eq \r(2)＋1－5＝eq \r(2)－4.
(2)因为 y＝eq \r(x－2)＋eq \r(2－x)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2≥0，,2－x≥0.))解得 x＝2. 所以 y＝0.
所以m－y＝eq \r(2)＋3>0，n＋x＝eq \r(2)－2<0.
所以|m－y|＋|n＋x|＝eq \r(2)＋3＋2－eq \r(2)＝5.
23. (1)eq \r(\f(1,5)－\f(1,25))＝eq \f(2,5)
(2)eq \r(\f(1,1＋n)－\f(1,(1＋n)2))＝eq \f(\r(n),1＋n)
(3)【证明】∵n为正整数，
∴eq \r(\f(1,1＋n)－\f(1,(1＋n)2))＝eq \r(\f(1＋n,(1＋n)2)－\f(1,(1＋n)2))＝eq \r(\f(n,(1＋n)2))＝eq \f(\r(n),1＋n).
24. 【解】(1)eq \r(7)－eq \r(5) 【点拨】eq \f(2,\r(7)＋\r(5))＝eq \f(2(\r(7)－\r(5)),(\r(7)＋\r(5))(\r(7)－\r(5)))＝
eq \r(7)－eq \r(5).
(2)2＋eq \r(3) 【点拨】eq \r(7＋4 \r(3))＝eq \r(22＋4 \r(3)＋(\r(3))2)＝eq \r((2＋\r(3))2)＝2＋eq \r(3).
(3)(eq \f(2,\r(3)＋1)＋eq \f(2,\r(5)＋\r(3))＋eq \f(2,\r(7)＋\r(5))＋eq \f(2,\r(9)＋\r(7))＋eq \f(2,\r(11)＋\r(9)))·eq \r(12＋2 \r(11))＝(eq \r(3)－1＋eq \r(5)－eq \r(3)＋eq \r(7)－eq \r(5)＋eq \r(9)－eq \r(7)＋eq \r(11)－eq \r(9))(eq \r(11)＋1)＝(eq \r(11)－1)(eq \r(11)＋1)＝10.