最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第06讲 双曲线及其性质（练透）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第06讲 双曲线及其性质
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，，所以根据点到直线的距离公式可得，．
又，则，所以的面积为．
故选：B.
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知双曲线，过E的右顶点A且与一条渐近线平行的直线交y轴于点B，的面积为2，则E的焦距为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【解析】
由题意可得，，且直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，
则可得直线的方程为，令，可得，即，
所以，则，解得，
所以，即，则E的焦距.
故选：D
3．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】由题意可得，，，
点的横坐标为，代入，又，所以，
，，
则，可得．
即双曲线的离心率为2．
故选：C．
4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，若的周长为，则当取得最大值时，该双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，由代入双曲线的方程可得，
则有，，，
，，
由题意可得，
结合，上式化简可得，
当时，取得最大值4，
，，，
双曲线离心率．
故选：A．
5．（2023·四川成都·模拟预测）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为内心，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：
由题意为内心，
设，，，内切圆半径为，
所以，又因为，
即，
化简得，
由双曲线定义可知，因此有；
注意到，且以及，
联立并化简得，即 ，
解得或（舍去，因为）
故选：C
6．（2023·四川南充·统考三模）已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知即为等腰三角形，
故是锐角三角形，只需，
将代入可得，
故在中，，，
则，化简整理，得，
∴，∴，
又，∴，
故选：B.
7．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设与y轴交于Q点，连接，则，
因为，故P点在双曲线右支上，且，
故，而，
故，
在中，，即，
故，
由，且三角形内角和为，
故，则，
即，即，
所以的离心率的取值范围为，
故选：A
8．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的右焦点为，则，
则，
为右支上的点，取的中点为B，连接，则，
设，则，则，
在中，，
即，
又直线与以线段为直径的圆相交，故，
设，则，
则需使，解得，
即双曲线离心率的范围为，
即的离心率的取值范围为，
故选：D
9．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点与双曲线的两条渐近线分别交于两点．若是的中点，且，则此双曲线的离心率为（ ）

A．B．2C．D．
【答案】B
【解析】因为，则，所以是直角三角形，又因为是的中点，
所以是直角斜边中线，因此，而点是线段的中点，
所以是等腰三角形，因此，由双曲线渐近线的对称性可知中：
，于是有：，
因为双曲线渐近线的方程为：，因此有：
，
故选：B.
10．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知双曲线，为的左焦点.经过原点的直线与的左、右两支分别交于A，两点，且，，则的一条渐近线的倾斜角可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由已知结合双曲线的对称性可得，四边形为长方形.
所以，.
设，，
根据双曲线的定义可得，.
又，在中，有.
又，所以.
由正弦定理可得，，即.
又，
，
所以，，
所以，，即，
解得，，
所以，.
又，
所以，
所以，，，所以.
所以，双曲线的渐近线方程为.
所以，倾斜角为或.
故选：C.
11．（多选题）（2023·山西阳泉·统考三模）已知方程，其中，现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题，其中真命题有：（ ）
A．可以是圆的方程B．一定不能是抛物线的方程
C．可以是椭圆的标准方程D．一定不能是双曲线的标准方程
【答案】ACD
【解析】因为方程，其中，
所以当时，方程为，
即是圆的方程，故方程可以是圆的方程，故A正确；
当时，方程为，
即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程，故B错误；
当时，方程为，
即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程，故C正确；
若方程为双曲线的标准方程，则有，
这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程，故D正确.
故选：ACD.
12．（多选题）（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（ ）
A．的面积为B．点的横坐标为2或
C．的渐近线方程为D．以线段为直径的圆的方程为
【答案】AB
【解析】由双曲线方程知，，所以双曲线的渐近线方程为，故C错误；
又，所以为直径的圆方程为，故D错误；
由，得或，所以点的横坐标为2或，故B正确；
又，所以，故A正确．
故选：AB．
13．（多选题）（2023·广东深圳·统考二模）如图，双曲线的左､右焦点分别为，过向圆作一条切线与渐近线和分别交于点（恰好为切点，且是渐近线与圆的交点），设双曲线的离心率为.当时，下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．当点在第一象限时，
D．当点在第三象限时，
【答案】BC
【解析】因为且，所以，切点不在双曲线上，不正确，正确；
若，在中，，
当分别在一二象限时（如图1），，设的倾斜角为，
则；
当分别在二､三象限时（如图2），设的倾斜角为，
则，
正确，错误.
故选：
14．（多选题）（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知双曲线：上、下焦点分别为，，虚轴长为，是双曲线上支上任意一点，的最小值为.设，，是直线上的动点，直线，分别与E的上支交于点，，设直线，的斜率分别为，.下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线的方程为B．
C．以为直径的圆经过点D．当时，平行于轴
【答案】ACD
【解析】由题知，，，，解得，所以双曲线方程为，A正确；
由A知，，，设，则，，
所以，B错；
由上述知，直线方程为，直线方程为，
联立，得，因点是异于的上支点，
所以，代入直线方程得，即，
联立，得，因点是异于的上支点，
所以，代入直线方程得，即，
则，，
所以，即，所以以为直径的圆经过点，C正确；
当时，即，，所以代入坐标得，
所以平行于轴，D正确.
故选：ACD
15．（多选题）（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）

A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13
D．若点坐标为，直线与相切，则
【答案】ABD
【解析】因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为，
选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确；
选项B，由双曲线的定义知，，
若，则，
因为，
所以，
解得，即B正确；
选项C：，即C错误；
选项D，因为平分，由角分线定理知，，
所以，
又，
所以，解得，即D正确.
故选：ABD.
16．（多选题）（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）在平面直角坐标系中，双曲线：的下、上焦点分别是，，渐近线方程为，为双曲线上任意一点，平分，且，，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的方程为
C．若直线与双曲线的另一个交点为，为的中点，则
D．点到两条渐近线的距离之积为
【答案】AD
【解析】不妨设为双曲线的下支上一点，延长，交于点，如图，
因为，因为平分，所以，
所以，所以为等腰三角形，
则为中点，又为中点，所以，
根据双曲线的定义得，，所以，，
因为双曲线的渐近线方程为，所以，得，，，
所以双曲线的标准方程为，离心率为，所以A正确，B不正确；
设，，，因为，在双曲线上，所以①，②，
①
②并整理得，，因为，，
所以，，所以C不正确.
由，代入，即，即，
所以点到两条渐近线的距离之积为，所以D正确；
故选：AD.
17．（多选题）（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，，分别是与的离心率，且P是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最大值为
【答案】BD
【解析】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故，故A错误；
对选项B：，不妨设为第一象限的点，即，由于，，故，，故，即，即，故B正确；
对选项C：由得，则，令，所以，
由于，所以对勾函数在单调递增，故,没有最小值，故C错误，
对选项D：设，，，
，若最大值为，则，，，即，，，成立，故D正确；
故选：BD
18．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，存在过点的直线与双曲线的右支交于两点，且为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线的方程： ．
【答案】（答案不唯一，符合题意即可）
【解析】如图，取，且x轴，
可得，，
即，为正三角形，
符合题意，此时双曲线的方程为.
故答案为：.
19．（2023·福建三明·统考三模）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 .
【答案】/
【解析】由双曲线的左、右焦点分别为，及双曲线上关于原点对称的两点，，
则，，可得四边形为平行四边形，
又及托勒密定理，可得四边形为矩形．
设，，
在中，，
则，，
，，，
，解得．
双曲线的离心率为．
故答案为：．
20．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知是双曲线的右顶点，点在上，为的左焦点，若的面积为，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题设知：，则，
所以且，易知：，
又，故，且，
所以，则，
化简得，解得或（舍），
综上，，故，则离心率为.
故答案为：
21．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，点Q为线段PF的中点，，O为坐标原点，且点E在双曲线上，则 .
【答案】
【解析】不妨设点P在渐近线上，令，由题意知，
又，解得，所以.
因为点Q为线段PF的中点，所以，又，所以，
又因为点E在双曲线上，所以，解得，所以.
故答案为：
22．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知双曲线C：，过双曲线C的右焦点F作直线交双曲线C的渐近线于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限，且满足，，则双曲线C的离心率为 .
【答案】/
【解析】
双曲线C：的右焦点，渐近线方程为，
设，
因为，所以，所以，即①，②
又分别在渐近线上，所以代入②可得：，再代入①得
故，则，所以
整理得：，又，所以，
则，即，故，所以，
则双曲线C的离心率.
故答案为：.
23．（2023·四川绵阳·统考二模）已知双曲线C的方程为：，离心率为，过C的右支上一点，作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，且．过点P作的角平分线，在角平分线上的投影为点H，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】，
，即，
两渐近线方程为，
设为右支上一点，则，
设，，
分别令，可得，，
又，
，即，
，
所以双曲线方程为，故，
延长交于，如图，
因为平分且，所以，
又，，为中点，
，
，
，
，
即的最大值为.
故答案为：
1．（2021•甲卷）点到双曲线的一条渐近线的距离为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线 的距离，
则点到双曲线的一条渐近线的距离．
故选：．
2．（2021•天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．3
【答案】
【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为，
由题意可得：，渐近线的方程为：，
可得，，，，
，，，，
所以，，
由，
解得：，所以双曲线的离心率，
故选：．
3．（2021•北京）双曲线的离心率为2，且过点，，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为双曲线过点，，
则有①，
又离心率为2，
则②，
由①②可得，，，
所以双曲线的标准方程为．
故选：．
4．（多选题）（2022•乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为，
设过的切线与圆相切于点，
则，，又，
所以，
过点作于点，
所以，又为的中点，
所以，，
因为，，所以，
所以，则，
所以，
由双曲线的定义可知，
所以，可得，即，
所以的离心率．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为，连接，则，，
过作于，则，因为，所以，，
，即，
所以，正确．
故选：．
5．（2023•北京）已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为 ．
【答案】．
【解析】根据题意可设所求方程为，，
又，解得，，，
所求方程为．
故答案为：．
6．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ．（法一）如图，设，，，
设，则，
又，则，可得，
又，且，
则，化简得．
又点在上，
则，整理可得，
代，可得，即，
解得或（舍去），
故．
（法二）由，得，
设，由对称性可得，
则，
设，则，
所以，解得，
所以，
在△ 中，由余弦定理可得，
即，则．
故答案为：．
7．（2022•甲卷）记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值 ．
【答案】，内的任意一个值都满足题意）．
【解析】双曲线的离心率为，，
双曲线的渐近线方程为，
直线与无公共点，可得，即，即，
可得，
满足条件“直线与无公共点”的的一个值可以为：2．
故答案为：，内的任意一个值都满足题意）．
8．（2022•甲卷）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】．
【解析】双曲线的渐近线：，
圆的圆心与半径1，
双曲线的渐近线与圆相切，
，解得，舍去．
故答案为：．
9．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】．
【解析】（法一）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
由于，且，则点在渐近线上，不妨设，
设直线的倾斜角为，则，则，即，则，
，
又，则，
又，则，则，
点的坐标为，
，即，
．
（法二）由，解得，
又，
所以点的纵坐标为，
代入方程中，解得，
所以，代入双曲线方程中，可得，
所以．
故答案为：．
10．（2022•北京）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
【答案】．
【解析】双曲线化为标准方程可得，
所以，双曲线的渐近线方程，
又双曲线的渐近线方程为，
所以，解得．
故答案为：．
11．（2021•乙卷）已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 ．
【答案】4．
【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线为，
则有，解可得，
则双曲线的方程为，则，
其焦距；
故答案为：4．
12．（2021•乙卷）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【答案】．
【解析】双曲线的右焦点，
所以右焦点到直线的距离为．
故答案为：．
13．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】．
【解析】双曲线的方程是，
双曲线渐近线为
又离心率为，可得
，即，可得
由此可得双曲线渐近线为
故答案为：
14．（2021•全国）双曲线的左、右焦点分别为，，点在直线上，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由双曲线的方程可得左右焦点，
设为关于直线的对称点，
则，可得，，
连接与直线的交点为，则，
故答案为：．
15．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．
（1）求的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．
【解析】（1）双曲线中心为原点，左焦点为，，离心率为，
则，解得，
故双曲线的方程为；
（2）证明：过点的直线与的左支交于，两点，
则可设直线的方程为，，，，，
记的左，右顶点分别为，，
则，，
联立，化简整理可得，，
故△且，
，，
直线的方程为，直线方程，
故
，
故，解得，
所以，
故点在定直线上运动．
16．（2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
【解析】（1）将点代入双曲线方程得，
化简得，，故双曲线方程为，
由题显然直线的斜率存在，设，设，，，
则联立双曲线得：，
故，，
，
化简得：，
故，
即，而直线不过点，故；
（2）设直线的倾斜角为，由，
，得
由，，
得，即，
联立，及得，
同理，
故，
而，由，得，
故．
17．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求的方程；
（2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，，，在上，且，．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】（1）由题意可得，，
解得，，
因此的方程为，
（2）解法一：设直线的方程为，，将直线的方程代入可得，
△，
，，
，
，
设点的坐标为，，则，
两式相减可得，
，
，
解得，
两式相加可得，
，
，
解得，
，其中为直线的斜率；
若选择①②：
设直线的方程为，并设的坐标为，，的坐标为，，
则，解得，，
同理可得，，
，，
此时点的坐标满足，解得，，
为的中点，即；
若选择①③：
当直线的斜率不存在时，点即为点，此时不在直线上，矛盾，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，并设的坐标为，，的坐标为，，
则，解得，，
同理可得，，
此时，
，
由于点同时在直线上，故，解得，
因此．
若选择②③，
设直线的方程为，并设的坐标为，，的坐标为，，
则，解得，，
同理可得，，
设的中点，，则，，
由于，故在的垂直平分线上，即点在直线上，
将该直线联立，解得，，
即点恰为中点，故点在直线上．
（2）解法二：由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②③，或选由②③①：由②成立可知直线的斜率存在且不为0．
若选①③②，则为线段的中点，假设的斜率不存在，
则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点，
此时由对称性可知、关于轴对称，从而，已知不符．
综上，直线的斜率存在且不为0，
直线的斜率为，直线的方程为．
则条件①在直线上，等价于，
两渐近线的方程合并为，
联立方程组，消去并化简得：，
设，，，，线段中点为，，
则．，
设，，
则条件③等价于，
移项并利用平方差公式整理得：
，
，
，
，
，
，
由题意知直线的斜率为，直线的斜率为，
由，，
，
直线的斜率，
直线，即，
代入双曲线的方程为，即中，
得，
解得的横坐标为，
同理，，，
，
条件②等价于，
综上所述：
条件①在上等价于，
条件②等价于，
条件③等价于．
选①②③：
由①②解得，③成立；
选①③②：
由①③解得：，，，②成立；
选②③①：
由②③解得：，，，①成立．