陕西省西安市阎良区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份陕西省西安市阎良区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版），文件包含精品解析陕西省西安市阎良区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题原卷版docx、精品解析陕西省西安市阎良区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共4页，满分120分，时间120分钟；
2．学生将答案填在答题卡上；
3．考试结束后，监考员将试题、答题卡一并收回．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列四个名牌大学校徽图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 三角形两边之和大于第三边B. 玩猜拳游戏时，对方出“剪刀”
C. 明年的冬至会下雪D. 从装满红球的袋子里摸出黄球
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A、三角形两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意；
B、玩猜拳游戏时，对方出“剪刀”，是随机事件，不符合题意；
C、明年的冬至会下雪，是随机事件，不符合题意；
D、从装满红球的袋子里摸出黄球，是不可能事件，不符合题意；
故选：A
3. 有6片形状大小完全一样的正方形，其中每个上面标有数字从中随机抽一张，抽出标有的数字是偶数的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是牢记概率的求法，难度不大．利用概率公式求解即可．
【详解】共6个数，有4个偶数，
从中随机抽一张，抽出标有的数字是偶数的概率为，
故选∶D．
4. 如图，四边形是的内接四边形，若 ， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，想办法求出，可得结论．
【详解】解：如图，连接，．
，
，
故选：B
5. 抛物线向上平移2个单位长度后的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换以及平移的性质，先根据题意求出抛物线的顶点坐标是解答本题的关键．先求出的顶点坐标，然后再按平移的规律求解即可．
【详解】解：，
顶点坐标为，
向上平移2个单位长度后的顶点坐标是．
故选：A
6. 如图，将绕点C按逆时针方向旋转至，使点D落在的延长线上已知，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质．先根据三角形外角的性质求出，再由绕点C按逆时针方向旋转至，得到，证明，利用平角为即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵绕点C按逆时针方向旋转至，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7. 如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图2，某桨轮船的轮子（可看作圆）被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度（半径于点D）为，则该桨轮船的轮子直径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理求出直径是解答本题的关键．连接，构建，利用勾股定理求出轮子的直径．
【详解】解：依题意，得，，
如图，连接，设轮子的直径为 ，则其半径为．
则在中，，
，
解得，
所以该桨轮船的轮子直径为．
故选：D．
8. 已知二次函数图象上三点，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先算出对称轴，将所有点转换在一边，结合二次函数性质判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∴A点关于对称轴的对称点是：，
∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键将所有点转换在对称轴的同一侧．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 已知关于x的方程的一个根为，则k的值为_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的根满足方程是解答本题的关键．根据已知条件，将一元二次方程的一个根直接代入方程中，求出，选出答案．
【详解】解：依题意得，
方程的一个根为，
故答案为： 2
10. 正八边形绕着它的中心旋转，若旋转后的正八边形能与自身重合，则旋转角的度数最小是________．
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
【详解】解：∵，
∴该图形绕中心至少旋转45度后能与自身重合．
故答案为：45
11. 在一暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，其中只有6个红球，每次搅匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2，则估计a的值是_______．
【答案】30
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．理解和掌握利用频率估计概率是解题的关键．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得，，
解得．
故答案为：30
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，连接AB，将绕着点B顺时针旋转得到，则点C的坐标是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是关键．直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，求出、的长度是解题的关键．作轴于，再利用旋转的性质求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，利用勾股定理列式求出，然后求出点的横坐标，再写出点的坐标即可．
【详解】解：作轴于，
点的坐标为，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：
13. 如图，在矩形中，动点E从点D出发向终点A运动，连接，以为边在上方作正方形，在点E运动的过程中，阴影部分的面积最小为_____________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，正方形的性质，矩形的性质，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．设，矩形中，可得，由勾股定理可得，再由列出二次函数求解即可．
【详解】解：设，
在矩形中，
，
，
，
，，
∴当时，有最小值，为，
故答案为：
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，利用因式分解法求解方程即可．
【详解】解：，
，
，
或，
，．
15. 如图，是一个材质均匀的转盘，转盘分成8个全等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，（若指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），转动一次转盘，转盘停止后：
（1）求指针指向红色扇形的概率；
（2）指针指向红色扇形的概率大，还是绿色扇形的概率大？为什么？
【答案】（1）
（2）指针指向绿色扇形的概率大，见解析
【解析】
【分析】此题考查了概率的计算公式，
（1）根据概率公式直接得到答案；
（2）分别求出指针指向红色和绿色扇形的概率，比较大小即可．
【小问1详解】
8个全等的扇形中，红色扇形有2个，指针指向红色扇形的概率为；
【小问2详解】
指针指向红色扇形的概率为，指针指向绿色扇形的概率为，
∵，
∴指针指向绿色扇形的概率大．
16. 如图，内接于是的直径，若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键．如图所示，连接，由圆周角定理得到，由平角的定义可得，则由圆周角定理可得．
【详解】解：如图所示，连接，
是的直径，，
，
，
．
17. 如图，已知△ABC，用直尺和圆规作△ABC的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】分别作BC和AC的垂直平分线a、b，a与b的交点为O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可．
【详解】解：如图，⊙O为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外接圆．
18. 已知关于x的方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当时，求方程的根．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据判别式不小于零，解不等式即可；
（2）将m的值代入，求解方程即可．
【小问1详解】
解：（1）∵关于x的方程有实数根，
∴．解得．
【小问2详解】
解：（2）当时，原方程为．
即，∴，，
∴方程的根为0，2；
【点睛】本题考查了一元二次方程的跟的判别式，一元二次方程的解法，是考试中常考的考点.
19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为
（1）画出与关于原点O中心对称的图形（点分别与A、B、C对应）；
（2）在（1）的条件下，写出点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了中心对称作图，确定中心对称图形的点坐标，
（1）分别确定点，顺次连线即可得到；
（2）根据点的位置确定坐标．
【小问1详解】
如图，即为所求，
【小问2详解】
由坐标系中图形可得：
20. 国粹，是指一个国家固有文化中的精华，中国的国粹有很多，其中誉满中外的有A．中国京剧，B．中国武术，C．中国书画，D．中国医学，被世人称为中国的“四大国粹”．小明对我国的国粹非常感兴趣，准备从这“四大国粹”中随机选择一个进行深入了解，然后小明的同学小亮从剩下的三个国粹中随机选择一个进行深入了解．
（1）小明选择的是“中国书画”的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先列出图表，得出所有等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
小明随机选择一个，选择的是“中国书画”的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
列表如下：
一共有12种情况，小明、小亮两人中恰好有一人选择“中国武术”的有6种情况，
小明、小亮两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率：．
21. 如图，边长为2的正方形绕点A逆时针旋转后得到正方形，且点B的对应点恰好在对角线上，点C的对应点在的延长线上，点C的运动路线为，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查利用扇形面积求阴影面积，熟记扇形面积公式是解题的关键．利用扇形的面积减去三角形的面积解题即可．
【详解】解：正方形中，，
，
22. 如图，某小区建一长方形电动车充电棚，一边靠墙（墙长15米），另三边用总长25米的栏杆围成，留1米宽的门，若想要建成面积为80平方米的电动车充电棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？
【答案】车棚垂直于墙的一边的长为8米
【解析】
【分析】设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米，根据电动车充电棚的面积为80平方米，列出一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长15米，即可得出结论．
【详解】解：设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米，
依题意得：，
整理得，
解得：．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：车棚垂直于墙的一边的长为8米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为D，对称轴l与x轴交于点H．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求的最小值．
【答案】（1）
（2）的最小值为
【解析】
【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用轴对称性质求出最短路线的长．
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）先求出对称轴，得出点、关于对称轴对称，连接交对称轴于点P，连接，此时的值最小，即为的长求出即可．
【小问1详解】
解：将点、、代入，得：
，解得：，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
抛物线的对称轴为，
点、关于对称轴对称，
连接交对称轴于点P，连接，此时的值最小，

，
的最小值是，
、，
，
的最小值为．
24. 如图，内接于，AB是的直径，的平分线交于点D，交于点E，作，交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的直径．
【答案】（1）见解析 （2）的直径为7
【解析】
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，圆周角定理以及三角形的外接圆与外心，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键．
（1）连接，，根据角平分线的定义和同圆的半径相等，平行线的性质可得，根据切线的判定定理可得结论；
（2）在中，由勾股定理得，，进行替换即可求出半径的长，从而得到结果．
【小问1详解】
证明：如图，连接，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
在中，由勾股定理得：，
，
即，
解得：，
的直径．
25. 小聪在某公园看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，他对此展开探究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离处达到最高，最高点距地面．建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头P的水平距离，是水柱距地面的高度．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若喷水头P喷出的水柱下方有一安全的长廊，小聪的同学小明站在水柱正下方，且距喷水头P的水平距离为，身高的小聪在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小明的水平距离．
【答案】（1）抛物线的表达式为
（2）当他的头顶恰好接触到水柱时，与小明的水平距离是或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
（1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式为；
（2）当时，，解得或，即得他与小明的水平距离为或．
【小问1详解】
由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，将代入得：
，
解得，
，
答：抛物线的表达式为；
【小问2详解】
当时，，
解得或，
他与小明的水平距离为或，
答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小明的水平距离是或．
26. 【基础巩固】
(1)已知等边内接于，点为上的一个动点，连接、、．
①如图1，当线段经过圆心时， ；（填“”“”或“”）
②如图2，点为的任意一点（点不与点、点重合），试探究线段，，之间满足的等量关系，并说明理由；
【拓展提升】
(2)如图3，内接于，点是上一点，连接，作于点，在上截取，连接并延长交于点，连接，，求的长．
【答案】（1）①；②；（2）
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理得出，由等边三角形的性质得出，求出°，由直角三角形的性质即可得出结论；
②在上截取，连接，证明是等边三角形，得出，，证出，证明，得出，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质和圆周角定理得出，由，得出，证得，最后根据线段的和差以及等腰三角形的性质，即可得出答案．
【详解】解：（1）①线段经过圆心，
是的直径，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
故答案为：；
②，理由如下：
在上截取，连接，如图2所示：
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（2），，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理和等边三角形的性质是解题的关键．