专题03 选择压轴题：二次函数综合题

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1．（2023·天津·统考中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：
①的长可以为；
②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）

A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．
【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得
，
其中，即，
①的长不可以为，原说法错误；
③菜园面积的最大值为，原说法正确；
②当时，解得或，
∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．
2．（2022·天津·统考中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：
①；
②当时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】由题意可知：，，，
，
，即，得出，故①正确；
，
对称轴，
，
时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故②不正确；
，
关于x的方程有两个不相等的实数根，故③正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并能应用求解．
3．（2021·天津·统考中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可
【详解】∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．
∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1，
∴a-b= -2,2a-b＞0，
∴2a-a-2＞0，
∴a＞2＞0，
∴b=a+2＞0，
∴abc＞0，
∵,
∴△==＞0,
∴有两个不等的实数根；
∵b=a+2，a＞2，c=1，
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，
∵a＞2，
∴2a＞4，
∴2a+3＞4+3＞7，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．
4．（2023·天津河西·统考一模）若关于x的一元二次方程有实数根、，且，有下列结论：①；②；③二次函数的图象与x轴交点的坐标为和．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由一元二次方程根的判别式来判断①，当时，原方程为，求解并判断②，由数形结合判断③．
【详解】解：一元二次方程化为一般式得，
∵原方程有两个实数根，
∴，
∴，故①错误；
当时，原方程为，
解得：，故②错误；
二次函数，即，
令，得，解得：，
二次函数的图象与x轴交点的坐标为和．
故③正确；
综上分析可知，正确的个数为1个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式、一元二次方程的解、根与系数的关系以及二次函数图象的平移，逐一分析四条结论的正误，利用排除法解决问题是解题的关键．
5．（2023·天津和平·统考一模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
其中，．有下列结论：①；②；③；④当时，有最大值为，最小值为，此时的取值范围是．其中，正确结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】利用表格所给信息得出对称轴，由，，可判断对称轴右侧，随增大而增大，进而可知，，，进而可判断①②③；由对称轴可知最小值为，即时，当时，最大值在或时产生，根据当时，，当时，，即可判断的取值范围，进而可对④进行判断．
【详解】解：∵当时，，当时，，
∴函数的对称轴为：，
即：，亦即，
∵，且当时，，当时，，
又∵，
∴函数在对称轴右侧，随增大而增大，
∴，则，
∴，故②正确；
则，故③正确；
当时，，则，
∴，故①正确；
又∵函数的最小值为当时，，
∴当时，有最小值为，即能取，
∴，
又∵当时，，当时，，
由在对称轴左侧，随增大而减小，知：当时，
∴当时，最大值为，
∴；故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．
6．（2023·天津南开·统考一模）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值，y的部分对应值如下表：
其中，有下列结论：①；②；③；④关于x的方程的两根为1和．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据题意得：二次函数图象的对称轴为直线，从而得到，故①正确；再由当时，，可得，然后根据，可得点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，进而得到当时，y随x的增大而增大，，可得到，，故②正确；当时，，故③正确；根据题意得：当时，；当时，，可得关于x的方程的两根为1和，故④正确，即可．
【详解】解：根据题意得：二次函数图象的对称轴为直线，
∴，，
∴，即，故①正确；
∵当时，，
∴，
∵，
∴点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，，
∴抛物线开口向上，
∴，，
∴，故②正确；
当时，，故③正确；
根据题意得：当时，；当时，，
∴关于x的方程的两根为1和，故④正确．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
7．（2023·天津红桥·统考一模）开口向下的拋物线（a，b，c为常数，）与x轴的负半轴交于点，对称轴为直线．有下列结论：①．；②函数的最大值为；③若关于x的方程无实数根，则．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据抛物线开口向下得到，根据抛物线对称轴为直线得到，抛物线与x轴的正半轴交于点，则当时，，即可推出，即可判定①；由抛物线的性质可得当时，，函数取最大值，由此即可判断②；利用根的判别式得到，解不等式即可判断③．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线与x轴的负半轴交于点，对称轴为直线，
∴，抛物线与x轴的正半轴交于点，
∴；
当时，，
∴，即，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，，函数取最大值，
∴函数的最大值为，故②正确；
把方程变形为：，要使方程无实数根，则，
将，，代入得：，
∵，
∴，则，
∴，故③正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
8．（2023·天津东丽·统考一模）已知二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是，经过点，，且，，现有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据二次函数的对称轴可得，再根据开口方向和抛物线与y轴交点坐标可得，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点情况可判断②；根据二次函数在处的函数值结合对称轴可判断结论③；根据二次函数在、处的函数值可判断结论④．
【详解】解：二次函数（）的对称轴为：，函数的大致图像如图所示：
∵，
∴，
∵抛物线经过点，，且，，
∴时，，即，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故②正确；
∵，抛物线经过点，，且，，
∴时函数值大于0，
∴，
∴，即，故③正确；
∵，抛物线经过点，，且，，
∴时函数值大于0，
∴，又，
∴，故④正确；
综上所述②③④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数的图象和系数的关系，二次函数在特殊点的函数值等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
9．（2023·天津河东·一模）抛物线(a，b，c为常数)开口向下且过点，以下结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】根据已知条件可判断，，据此逐项分析解题即可．
【详解】解：抛物线开口向下,
把，代入得
①，故①正确；
②，故②正确；；
③若方程有两个不相等的实数根，
即
，故③正确，即正确结论的个数是3，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a、b、c关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
10．（2023·天津·校联考一模）已知拋物线与轴交于，，其顶点在线段上运动（形状保持不变），且，，有下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的最大值为4，则的最小值为．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据抛物线开口向下可知函数有最大值3，即可判断①；根据抛物线的性质可知当时，随的增大而减小即可判断②；根据的最大值为4，则此时对称轴为直线，则由对称性可得的最小值为，即可判断③．
【详解】解：∵拋物线与轴交于，，且抛物线顶点在线段上运动（形状保持不变），，，
∴抛物线的函数值有最大值3，
∴，故①正确；
∵抛物线顶点在线段上运动（形状保持不变），且，，
∴抛物线对称轴在直线和直线之间，
∴当时，随的增大而减小，故②错误；
∵的最大值为4，
∴此时对称轴为直线，
∴由对称性可知，的最小值为，故③正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，熟知抛物线的性质是解题的关键．
11．（2023·天津滨海新·统考一模）二次函数的图像如图所示，它的对称轴为直线，则下列结论：①；②当时，；③；④（为任意实数）；其中正确结论的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】根据二次函数图像的性质，对称轴的性质即可求解．
【详解】解：根据图示可知，在二次函数中，，，对称轴，
∴，
∴结论①中，，故结论①错误；
结论②，根据题意得，当时，二次函数中，；当时，，
∵对称轴为，
∴当与时，的值相等，且，故结论②错误；
结论③，当时，，
∵，
∴，即，则，
∴，
∴，故结论③错误；
结论④，
∵对称轴为，
∴当时，，是函数的最小值，
∴（为任意实数），
∴（为任意实数），故结论④正确，
综上所述，正确的有④，个，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，对称轴的性质，理解图示，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
12．（2023·天津西青·统考一模）已知抛物线（，，是常数，，）对称轴为，且经过点．下列结论：
①；
②；
③关于的方程恰好有两个相等的实数根，则．
其中，正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】根据对称轴，判断①；根据图象过点，以及的关系，判断②；根据的方程恰好有两个相等的实数根，得到抛物线的顶点坐标为，进行求解，判断③．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线过点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵关于的方程恰好有两个相等的实数根，
即：抛物线和直线只有一个交点，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∴，
解得：，故③正确；
综上：正确的有个；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．（2023·天津河北·统考一模）已知，抛物线（a，b，c是常数，），经过点，其对称轴为直线，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据对称轴为直线，抛物线经过点，可得出，，再根据当时，与其对应的函数值，可得，即有，，问题随之得解．
【详解】∵对称轴为直线，
∴，即，
∵抛物线经过点，
∴，即：，
∵当时，与其对应的函数值，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，即①正确，
∴，即②错误，
∵方程的判别式为：，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，即③正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．
14．（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）已知抛物线（，，是常数，，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：
①；
②关于的方程有两个不相等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】由题意得到抛物线的开口向下，结合抛物线的对称轴以及与x轴的交点进行判断①②，然后把已知点代入抛物线的解析式得到，再结合对称轴直线以及即可求解．
【详解】解：∵抛物线（a，b，c是常数，，）经过点，其对称轴是直线，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，
∵，
∴抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，顶点在x轴的上方，且，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于x的方程有两个不等的实数根，故②正确；
∵抛物线（a，b，c是常数，，）经过点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，故③正确，
∴①②③都正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
15．（2023·天津和平·统考二模）已知抛物线（，，为常数，），，有下列结论：
①若，则抛物线经过点；
②若且，当，随的增大而减小；
③若，抛物线经过点，和，且点到轴的距离小于2时，则的取值范围为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据函数值相等，即可判断①，由题意得到抛物线过点，由，当点均位于对称轴的同侧时，当，随着的增大而减小，即可判断②，先求出抛物线的对称轴为直线，得到抛物线经过点，，抛物线开口向上，将，代入求得，则，分别求出顶点坐标为,将代入得，，将代入得，，得到点到轴的距离小于2时的取值范围即可判断③．
【详解】解：若，，
当时，，
∴抛物线经过点，
故①正确；
当时，，
∵，
∴抛物线过点，
∵，
∴点均位于对称轴的同侧时，
当，随着的增大而减小，故②错误；
∵，
∴抛物线过点，
∵抛物线经过点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线经过点，
∴抛物线经过点，
∴抛物线开口向上，
将，代入得，
，
解得，
∴，
当时，，即顶点坐标为,
将代入得，，
将代入得，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点到轴的距离小于2时，则的取值范围为．
故③错误，
故正确选项是1个，
故选：B
【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
16．（2023·天津红桥·统考二模）已知抛物线（a，b，c均是不为0的常数）经过点．有如下结论：
①若此抛物线过点（-3，0），则b＝2a；
②若，则方程一定有一根；
③点，在此拋物线上，若，则当时，．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】抛物线（a，b，c均是不为0的常数）经过点，则，将代入抛物线可得，故①正确；若，将代入，可得：，可知是方程的根，故②正确；因为，则，抛物线的对称轴，分析函数增减性即可知③正确．
【详解】解：抛物线（a，b，c均是不为0的常数）经过点
则，
将带入抛物线可得，联立可得：
，
解得：，故①正确；
将代入可得
∵， ，
∴，
可知是方程一个根，故②正确；
∵，则，
∴抛物线的对称轴，且函数开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小；即： ，，故③正确；
综上所述：结论正确的有①②③．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的待定系数法，抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
17．（2023·天津南开·统考二模）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线的顶点坐标和对称性可得到抛物线与与x轴的另一个交点在点和之间，又开口向下可判断①；根据对称轴方程可得到，进而可判断②；根据顶点坐标公式可判断③；由函数的最大值结合图像可判断④．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为，
∵抛物线与x轴的一个交点在点和之间，
∴抛物线与与x轴的另一个交点在点和之间，又开口向下，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，故③正确；
∵该函数的最大值为，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④错误，
综上，正确的结论有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、抛物线与坐标轴的交点问题、二次函数与方程和不等式的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键．
18．（2023·天津河东·统考二模）已知抛物到(为常数，)的对称轴为直线，下列结论：
①；
②关于x的方程必有两个不等的实数根；
③当时，．
则其中正确结论的个数是( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据对称轴为直线得，再利用可判断①，利用根的判别式可以判断②，先将代入中，再利用和可以判断③．
【详解】解：①∵对称轴为直线，即
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
∴①错误；
②∵，
∴
又∵，
∴
∴关于x的方程必有两个不等的实数根，
∴②正确；
③∵
∴
∵，
∴．
又∵，
∴
∴③正确．
正确结论有②③，共两个．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、不等式的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．（2023·天津河北·统考二模）已知抛物线是常数，）经过点，，其对称轴在轴右侧，当时，．有下列结论：
①；
②方程有两个不相等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】由题意可知：时，，时，，所以，再由对称轴在轴右侧，可知，由当时，列出不等式即可求出，根据对称轴在右侧可得．从而得出．
【详解】解：由题意可知：时，，
时，，∴，即：
①对称轴在轴右侧，
，．
，
又，
，故①结论正确，
②，，∴抛物线，
当时，即：，
，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；故②正确，
③时，，∴，解得：，
又其对称轴在轴右侧，即：，∴，∴，
∴
故③结论错误，
综上所述：正确的是①②，共两个，故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键，本题属于中等题型．
20．（2023·天津·统考二模）如图是抛物线(a，b，c是常数，)的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的交点是．有下列结论：
①抛物线与轴的另一个交点是；
②关于的方程有两个相等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据对称性可知抛物线与轴的另一个交点，从而判断①是否正确；根据抛物线与直线只有一个公共点，可以判断②是否正确；根据顶点 可知当时y有最大值可以判断③是否正确．
【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴是直线，
∵抛物线与轴的另一个交点与点关于对称轴即直线对称，
∴抛物线与轴的另一个交点是，
故①正确
②∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴关于的方程有两个相等的实数根，
即关于的方程有两个相等的实数根；
故②正确
③∵抛物线的顶点坐标是
∴当时，y有最大值，
即，
∴，
故③正确
故正确的有：①②③，共3个
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，一元二次方程与二次函数的关系，牢记二次函数对称性和最值，一元二次方程与二次函数的关系是解题的关键．
21．（2023·天津河西·统考二模）如果用定长为的线段围成一个扇形，且使得这个扇形的面积最大，方法应为（ ）
A．使扇形所在圆的半径等于B．使扇形所在圆的半径等于
C．使扇形的圆心角为60°D．使扇形的圆心角为90°
【答案】A
【分析】分别计算出四种方式围成的扇形的面积，再比较即求解．
【详解】解：当扇形所在圆的半径等于时，则弧长为，则扇形面积 ；
当扇形所在圆的半径等于时，则弧长为，则扇形面积 ；
当扇形的圆心角为60°时，设扇形半径为r，则弧长为，
∴，解得：，则扇形面积 ，
当扇形的圆心角为90°时，设扇形半径为R，则弧长为，
∴，解得：，则扇形面积
∵
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积与弧长计算，熟练掌握扇形面积与弧长计算公式是解题的关键．
22．（2023·天津东丽·统考二模）已知抛物线（，，是常数，）经过点，其对称轴为直线．有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，4，其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据已知条件得出，，根据抛物线经过点，得出，即可判断①，根据代入②即可判断；根据对称性可得抛物线也经过点，即可判断③
【详解】解：∵抛物线（，，是常数，）经过点，其对称轴为直线．
∴，，，则，
∴
∴，故①正确；
∵，故②正确，
∵抛物线经过点，
∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点，
∴抛物线与直线的交点坐标为和，
∴一元二次方程的两根分别为，，故③正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．
23．（2023·天津滨海新·统考二模）二次函数大致图象如图所示，其中顶点为，下列结论①；②；③若方程有两根为和，且，则，其中正确的个数是（ ）

A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】利用顶点式得到，根据抛物线的开口向上得到，则，，于是可对①进行判断；解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，利用时，可对②进行判断；根据抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，则可对③进行判断．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
，
抛物线的开口向下，
，
，，
，所以①错误；
当时，，解得或，
抛物线与轴的交点坐标为，，
时，，
，所以②错误；
方程有两个根和，
抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，
，所以③正确；
综上：正确的个数为1个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
24．（2023·天津西青·统考二模）已知抛物线（，是常数，）经过点．下列结论：
①关于的方程有两个不相等的实数根，即，；②；③．
其中，正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】A
【分析】由可确定抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，然后根据二次函数与一元二次方程的关系即可判定①；先根据抛物线经过点结合可得，可判定③；根据二次函数的性质可得当时，，然后判定②．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为，
∵抛物线经过点，
∴抛物线必经过，即关于的方程有两个不相等的实数根，即、，故①正确；
∵抛物线经过点，
∴，即，
∵，
∴，即③正确；
∵抛物线经过点和，且，
∴抛物线开口向下，当时，；故②正确；
∴正确的有三个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
25．（2023·天津河西·天津市新华中学校考二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（为常数，a≠0）的顶点为（1，n），抛物线与轴交于点A（3，0），则下列结论：①；②若方程ax2+bx+c﹣1=0的解是x1，x2，且满足x13；③关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1=0有两个不等的实数根；④．其中，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由二次函数的对称性可得与x轴的另一个交点（-1，0），利用二次函数的交点式y=a（x+1）（x-3）由点（1，n）求得a，b，c的表达式，由n＜0，即可判断结论①④；根据二次函数与相应方程解的关系，再结合二次函数的图象性质即可判断结论②③.
【详解】解：由二次函数的对称性可得：与x轴的另一个交点为（-1，0），
由二次函数的交点式可得y=a（x+1）（x-3），点（1，n）代入可得a=，
∴，
∴a=，b=，c=，
∵n＜0，∴a＞0，b＜0，c＜0；
∴abc＞0，故①正确；
∵2c-a=，n＜0，
∴＞，故④错误；
方程ax2+bx+c﹣1=0的解为抛物线y=ax2+bx+c与直线y=1的交点的横坐标，
由函数图象可得：函数值为1时，x1<﹣1，x2>3故②正确；
方程ax2+bx+c﹣n+1=0的解为抛物线y=ax2+bx+c=n-1时对应的横坐标，
∵n-1＜n，而抛物线的顶点纵坐标为n，
∴二次函数上不存在纵坐标为n-1的点，即方程ax2+bx+c﹣n+1=0无实数解，故③错误；
综上所述①②正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数的表达式，二次函数与相应方程解的关系等知识；掌握由二次函数的图象判断相应方程的解是解题关键．
26．（2023·天津南开·统考三模）如图，函数的图象过点和．有下列结论：①；②；③关于x的方程必有两个不等的实数根；其中正确结论有（ ）

A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】①利用图象信息确定a，b，c的取值即可判断；②根据二次函数图象与性质可得出，两式相减可得出再把结论变形即可判断；③根据直线与抛物线有两个交点，即可判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①不正确，
∵的图象过点，
∴，①
∴
∵的图象过点，
∴
∴②
得，
整理得，，
∵，
∴
∵
又∵
∴，故②正确；
∵方程，
∴，
∵，
∴，
由图象可知当，直线与抛物线有两个交点，
∴关于x的方程必有两个不等的实数根．故③正确，
∴有2个结论正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．（2023·天津和平·统考三模）抛物线（，为常数且）的对称轴为，过点和点．有下列结论：①；②对任意实数，都有；③若，则．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据抛物线的对称轴为，过点，可得，由，即可判断①；根据抛物线开口向下，对称轴为，得到抛物线的最大值为：，即可得到对任意实数，都有，即可判断②；根据对称轴为，点的对称点为，抛物线开口向下，得到若，则，即可判断③．
【详解】解：抛物线的对称轴为，过点，
，
解得：，
，
，
，故①正确；
抛物线开口向下，对称轴为，
抛物线的最大值为：，
对任意实数，都有，
即，故②正确；
对称轴为，点的对称点为，抛物线开口向下，
若，则，故③错误；
综上所述，正确的有①②，共两个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．
28．（2023·天津红桥·统考三模）抛物线（为常数，）经过点，对称轴为直线，顶点在第三象限．有下列结论：①；②；③当时（为常数），．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】抛物线的对称轴为直线，得出，即，根据抛物线经过点，得出，抛物线顶点在第三象限，且与x轴有交点，得出抛物线的开口向上，得出，，，即可得出；求出，可以判断；根据，得出，求出，把代入，求出，根据抛物线的对称轴为直线，，函数的最小值为，即可求出当时（为常数），．
【详解】解：①∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴抛物线的关系式为，
∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∵抛物线顶点在第三象限，且与x轴有交点，
∴抛物线的开口向上，
∴，，，
∴，故①正确；
②，故②正确；
③∵，
∴，
∵（为常数），
∴，
把代入得：
，
∵，
即，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，，
∴函数的最小值为，
∴当时（为常数），，故③错误；
综上分析可知，正确的有2个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是理解题意求出，．
29．（2023·天津河北·统考三模）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
且当时，与其对应的函数值，有下列结论：；②和是关于的方程的两个根，③其中，正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】①用待定系数法求出函数解析式，得出a、b、c的值，即可判定①；
②把，代入，看左右两边是否相等，可判定②；
③把，，，，代入，求出m、n值，可计算的值，即可判定③．
【详解】解：由表格可知：，，，，，，
分别代入，得
，解得：，
∴，
，
故错误；
把代入方程，
左边，右边，
∴左边=右边
把代入方程，
左边，右边，
∴左边=右边
和是关于的方程的两个根；
故正确；
把，，代入，得
，
把，，代入，得
，
故错误；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．
30．（2023·天津河西·天津市新华中学校考三模）抛物线（a，b，c是常数，且），顶点坐标是，与x轴的一个交点在点和点之间，有下列结论：
①；
②关于x的方程有两个不相等的实数根；
③．
其中，正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】求解，可得，判断①符合题意；由函数的最大值为，可得无解，判断②不符合题意；由抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，可得，而，判断③ 符合题意．
【详解】解：∵顶点坐标是，
∴，即，
∴，故① 符合题意；
∵顶点坐标是，，
∴函数的最大值为，
∴无解，
∴关于x的方程没有实数根；故②不符合题意；
∵抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，
∴，而，
∴，故③ 符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
31．（2023·天津河西·统考模拟预测）已知抛物线，，为常数，经过点，，，，其对称轴在轴左侧．有下列结论：
①；
②方程有两个不相等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数为( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据题意可得，即可判断①，根据即可判断②，根据抛物线过，得出，根据对称轴在轴左侧，得出时，，进而即可求解．
【详解】解：①∵抛物线，，为常数，经过点，，，，其对称轴在轴左侧，
∴关于对称轴对称的点在轴的左侧，
∴
∴，故①正确；
②∵抛物线开口向下，由①可知顶点纵坐标大于，
∴与有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根；故②正确，
③∵抛物线经过，
∴，
又，
∴
∵对称轴在轴左侧，
∴时，
即
解得：
∴，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
32．（2023·天津河东·天津市第七中学校考模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点、点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则，其中正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据对称轴为，即即可判断①，根据当时，函数值小于0，即可判断②，根据抛物线开口向下，当点的横坐标到对称轴的距离越远则函数值越小即可判断③，根据对称性，二次函数与轴的另一个交点为，方程的解即与的交点的横坐标，作出图象，观察图象即可判断④
【详解】解：二次函数的对称轴为，即
故①正确；
观察图象可知当时，函数值为
即
故②不正确；
二次函数的对称轴为，
点、点、点在该函数图象上，
则
故③正确；
根据对称性，二次函数与轴的另一个交点为，
设抛物线的解析式为，
方程的解即与的交点的横坐标，如图，
则若方程的两根为和，且，则，
故④正确
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选B
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，图象法判断一元二次方程的解，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
33．（2023·天津西青·校考模拟预测）已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：
①；
②关于x的方程有两个不等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判别式，即可判断②；根据以及c=-2a，即可判断③．
【详解】∵抛物线经过点，对称轴是直线，
∴抛物线经过点，b=-a
当x= -1时，0=a-b+c，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c，
∴a+b=0，∴ab<0，∵c＞1，
∴abc＜0，由此①是错误的，
由已知，抛物线与x轴，有两个交点，
∴
∵②中方程，
∴关于x的方程有两个不等的实数根，②正确；
∵，c=-2a>1， ∴，③正确
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
34．（2023·天津武清·校考模拟预测）已知抛物线（为常数，）的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于两点，其中点在点的右侧，直线经过两点．有下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】先画出函数图像，然后通过图像判断当x=3时，一次函数y值大于0，将x=3代入直线即可判断出①，然后根据对称轴是直线，可得到即，然后代入中可得，然后根据函数图像可判断即可判断②，然后再根据图像可知当x=3时，二次函数图像位于一次函数图像上方，即可得到即可判断③．
【详解】解：由题可得函数图像如下图所示：
根据图像可知当x=3时，一次函数y值大于0，
∴，
∴，故①正确，
∵抛物线（为常数，）的对称轴是直线，
∴即，
∴
根据图像可知：
∴，故②正确，
根据图像可知当x=3时，二次函数图像位于一次函数图像上方，
∴即，
∴，
∴，故③正确．
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，根据抛物线与x轴，y轴的交点以及对称轴推理a，b，c之间的关系是解题的关键．…
1
…
…
0
0
…
x
…
1
…
y
…
m
0
c
0
n
m
…