专题05 填空压轴题：尺规作图

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1．（2023·天津·统考中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．

（1）线段的长为 ；
（2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】(1)
(2)画图见解析；如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求
【分析】（1）在网格中用勾股定理求解即可；
（2）取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点M，连接；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点H，连接并延长与圆相交于点I，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，由图可得，根据全等三角形的性质可得和，根据同弧所对圆周角相等可得，进而得到和，再通过证明即可得到结论．
【详解】（1）解：；
故答案为：．
（2）解：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求；
连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，

由图可得：∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，即，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，此时点Q即为所求；
故答案为：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．
2．（2022·天津·统考中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及的一边上的点E，F均在格点上．
（Ⅰ）线段的长等于 ；
（Ⅱ）若点M，N分别在射线上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 见解析
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理，从图中找出EF所在直角三角形的直角边的长进行计算；
（Ⅱ）由图可找到点Q，，即四边形EFBQ是正方形，因为，所以，点M在EQ上，BM、BN与圆的交点为直径端点，所以EQ与PD交点为M，通过BM与圆的交点G和圆心O连线与圆相交于H，所以H在BN上，则延长BH与PF相交点即为N．
【详解】解：（Ⅰ）从图中可知：点E、F水平方向距离为3，竖直方向距离为1，
所以，
故答案为：；
（Ⅱ）连接，与竖网格线相交于点O，O即为圆心；取格点Q（E点向右1格，向上3格），连接与射线相交于点M；连接与相交于点G；连接并延长，与相交于点H；连接并延长，与射线相交于点N，则点M，N即为所求，
理由如下：连接
由勾股定理算出，
由题意得，
四边形为正方形，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
从而确定了点的位置．
【点睛】本题考查作图，锐角三角函数、圆周角定理，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握圆周角的定理．
3．（2021·天津·统考中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．
（Ⅰ）线段的长等于 ；
（Ⅱ）以为直径的半圆的圆心为O，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 见解析
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算即可；
（Ⅱ）先将补成等腰三角形，然后构建全等三角形即可．
【详解】解：（Ⅰ）∵每个小正方形的边长为1，
∴，
故答案为：；
（Ⅱ）如图，取与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接并延长，与半圆相交于点E，连接并延长，与的延长线相交于点F，则OE为中位线，且，连接交于点G，连接并延长，与相交于点P，因为，则点P即为所求．
【点睛】本题主要考查复杂作图能力，勾股定理，中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，掌握以上知识点并与已知图形结合是解决本题关键．
4．（2023·天津河西·统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形的顶点A，B，C均落在格点上．

（1）的周长等于 ；
（2）有以为直径的半圆，圆心为O，请你在半圆内找到一个点P，使得，．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 如图，取格点D，连接，再取半圆与格线的交点E，连接，则与的交点即为所求的点P．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）取格点D，连接，再取半圆与格线的交点E，连接，则与的交点即为所求的点P．如图，证明，通过计算即可说明．
【详解】（1），
故答案为：；
（2）如图，取格点D，连接，再取半圆与格线的交点E，连接，则与的交点即为所求的点P．

理由如下：
如图，连接，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴；

故答案为：取格点D，连接，再取半圆与格线的交点E，连接，则与的交点即为所求的点P．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（2023·天津和平·统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，上的点，圆心均在格点上，
（1） ；
（2）若点是上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连，当线段最长时，点的对应点为点，点的对应点为点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 作直径的垂直平分线交半圆于，连接，则在以为圆心，为半径的圆上运动，直径的垂直平分线交于，过作的垂线交于，当E，O，三点共线时，最长，则点即为所求
【分析】（1）先根据垂径定理确定圆心，连接，由勾股定理可求出的长；
（2）作直径的垂直平分线交半圆于，连接，则在以为圆心，为半径的圆上运动，当E，O，三点共线时， 最长
【详解】解：（1）如图，
，
故答案为：；
（2）如图，点，，即为所画，
作直径的垂直平分线交半圆于，连接则在以为圆心，为半径的圆上运动，直径的垂直平分线交于，过作的垂线交于，当E，O，三点共线时，最长，则点即为所求．
理由如下：
由作图可得：，
∴，
∴，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴当E，O，三点共线时，最长，则点即为所求．
故答案为：作直径的垂直平分线交半圆于，连接则在以为圆心，为半径的圆上运动，直径的垂直平分线交于，过作的垂线交于，当E，O，三点共线时，最长，则点即为所求．
【点睛】本题主要考查了圆心的确定，垂径定理的应用，勾股定理以及在网格中确定三角形外接圆圆心，正确作出图形是解答本题的关键．
6．（2023·天津南开·统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．圆上的点A，B，C均为格点．
（1）圆的直径长为 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，确定格点E，使为圆的一条切线，并画出过点E的另一条切线，切点为F，请简要说明切线的位置是如何找到的（不要求证明）． ．
【答案】 5 取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线
【分析】（1）连接，根据，可得为直径，即可；
（2）取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线，则射线即为所求．
【详解】解：（1）如图，连接，
根据题意得：，
∴为直径，
∵，
∴圆的直径长为5；
故答案为：5．
（2）如图，取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线，则射线即为所求．
理由：取格点J，连接，，交于点K，
∵，
∴，
∴，即，
∴为圆的一条切线，
根据题意得：四边形是矩形，
∴点P为矩形的中心，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴为圆的切线．
故答案为：取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键．
7．（2023·天津东丽·统考一模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均为格点，点，，均在以格点为圆心的圆上.
（1）线段的长等于 .
（2）请你只用无刻度的直尺，在线段上画点，使，并简要说明点是如何找到的（不要求证明）
【答案】 取格点，连接交于点，点即为所求作
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）取格点，连接交于点，点即为所求作．
【详解】（1）解：，
故答案为：
（2）解：取格点，连接交于点，点即为所求作，
【点睛】本题考查了作图-应用与设计，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2023·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，边上的点A，点B，点C及点D均落在格点上，且点B，点C是圆上的点．
（1）线段的长等于 ．
（2）在网格内有一点E，满足，在线段上有一点F，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点E，点F，并简要说明点E，点F的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 如图， 取格点M、N，连接，取格点，连接交于T，连接，连接交于S，连接交于F，连接交圆于E，则点E、F即为所求
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）如图， 取格点M、N，连接，取格点，连接交于T，连接，连接交于S，连接交于F，连接交圆于E，则点E、F即为所求．
【详解】解：（1）由题意得，，
故答案为：；
（2）如图， 取格点M、N，连接交于O，取格点，连接交于T，连接，连接交于S，连接交于F，连接交圆于E，则点E、F即为所求．
如图，连接，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
同理可证，
∴是直径，则点O是圆心，
∴是的切线，
∵，
∴，
∵，
∴
∴点E即为上一点，
设点D关于直线的对称点为，点O关于直线的对称点为
∴，，
∴，
∴当四点共线时，最小，
∴由对称性可知与的交点即为点F，
由网格的特点可知，点O关于直线的对称点即为点S，
∴连接交于F，点F即为所求，
∴连接交圆于E，点E即为所求．
故答案为：如图， 取格点M、N，连接交于O，取格点，连接交于T，连接，连接交于S，连接交于F，连接交圆于E，则点E、F即为所求．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，轴对称最短路径问题，圆外一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9．（2023·天津·校联考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均为格点，且点A，B在圆上．
（1）线段的长等于 ；
（2）过点作，直线与圆交于点（点在的左侧），画出的中点，简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 取圆与格线的交点，连接，与格线的交点为圆心；取格点，连接，与圆交于点，；取圆与的交点，连接，，两线交于点；作射线，交于点，则点即为所求．
【分析】（1）根据勾股定理求出的长即可；
（2）取圆与格线的交点，连接，与格线的交点为圆心；取格点，连接，与圆交于点，；取圆与的交点，连接，，两线交于点；作射线，交于点，则点即为所求．
【详解】解：（1）；
故答案为：；
（2）取圆与格线的交点，连接，与格线的交点为圆心；取格点，连接，与圆交于点，；取圆与的交点，连接，，两线交于点；作射线，交于点，则点即为所求．
∵，
∴为圆的直径，
∵垂直平分，
∴鱼的交点为圆心，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
即．
故答案为：取圆与格线的交点，连接，与格线的交点为圆心；取格点，连接，与圆交于点，；取圆与的交点，连接，，两线交于点；作射线，交于点，则点即为所求．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，垂径定理，解题的关键是找出圆心O和点I．
10．（2023·天津滨海新·统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，在格点上，顶点是小正方形边的中点．
（1）的长等于 ；
（2）是线段与网格线的交点，是外接圆上的动点，点在线段上（点F的位置不需要在图上标注），且满足．当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用的直尺，画出点与外接圆的圆心，并简要说明点与点的位置是如何找到的 ．（不要求证明）
【答案】 将点向下平移一个格点、向右平移6个格点，得格点D，连接，与外接圆相交于点．连接，将点向下平移2个格点、向右平移1个格点，得格点，连接并延长与圆相交于点，连接，与交于点
【分析】①根据，计算求解即可；②由题意知，，，，则，即，可知当最大，即最大，则为直径，如图，取格点，则与圆交点即为，连接，由的圆周角所对的弦为直径可得为直径，取格点G，连接并延长与圆交点记为，连接，由的圆周角所对的弦为直径可得为直径，与的交点即为圆心．
【详解】①解：，
故答案为：；
②解：由题意知，，，，
∴，
∴，
当最大，即最大，
∴为直径，
如图，取格点D，连接，与外接圆相交于点．连接，此时，由的圆周角所对的弦为直径可得为直径；
取格点，则，连接并延长与圆相交于点，连接，此时，由的圆周角所对的弦为直径可得为直径；
与交点即为圆心点．
（草图） （正式图）
∴点与点即为所求．
【点睛】本题考查了勾股定理与格点，的圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识点的熟练掌握与灵活运用．
11．（2023·天津西青·统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均落在格点上，连接，．
（1）线段的长等于 ．
（2）以为圆心，为半径作圆，在上找一点，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，作出，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 图见解析，利用垂径定理找到点
【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可；
（2）延长交于点，取格点，连接并延长交于点，点即为所求．
【详解】解：（1）由勾股定理，得：；
故答案为：；
（2）延长交于点，取格点，连接并延长交于点，点即为所求．如图所示：
由图可知：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点即为所求．
M点是根据垂径定理找到的；
故答案为：利用垂径定理找到点M
【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理．掌握并运用相关知识点，是解题的关键．
12．（2023·天津河北·统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中．是圆的内接三角形，点A在格点上．点B，C在网格线上，且点C是小正方形边的中点．
（Ⅰ）线段的长度等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在圆上找一点P，使得，并简要说明点P是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 / 延长至，作，则，同理作出，找到小正方形边的中点，连接交于点，点即为所求．
【分析】（1）根据网格和勾股定理即可求解；
（2）延长至，作，则，同理作出，找到小正方形边的中点，连接交圆于点，点即为所求．
【详解】解：（1）依题意；
故答案为：．
（2）如图所示
延长至，作，则，同理作出
找到小正方形边的中点，连接交圆于点
∴四边形是矩形，
∴，
∴是直径，
∴
∵，
∴
∴，
∴点即为所求．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，找到直径是解题的关键．
13．（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A，B均在格点上，以AB为直径作圆，点M为的中点．
1. 线段AB的长度等于 ；
2. 请用无刻度的直尺，在圆上找一点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）
【答案】 见详解
【分析】选取合适的网格，解直角三角形即可求解AB的长；先找圆心，即选取网格点G、H，连接GH交AB于O点，可知O为圆心，再利用网格选取网格点E、F、Q，连接EQ、BF，二者相交于D点，连接OD，交⊙O于点P，P即为所求．
【详解】如图：
选取网格点G、H，连接GH交AB于O点，可知O为圆心，
连接AG、BG，根据网格间距可知AG=5，BG=2，
∵AB是直径，
∴∠AGB=90°，
∴在Rt△ABG中，则利用勾股定理可知，
如图：
在（1）的基础上，选取网格点E、F、Q，连接EQ、BF，二者相交于D点，连接OD，交⊙O于点P，P即为所求．
证明如下：连接MO，并延长交⊙O于点R点，连接RD，AP，
根据网格选点可知：AB=BF，AH=FQ，BQ=BH，点E在BH上，
∴，
∴∠FBQ=∠ABH，AB=BF，
∴∠EBQ=∠EBF+∠FBQ=∠EBF+∠EBA=∠ABF=90°，
∴AB⊥BF，
∵四边形EBQF是是矩形，
∴D为BF中点，有BD=DF，
∵O为直径AB中点，
∴OB=BD=OR，
又∵M点为的中点，
∴OM⊥AB，即OR⊥OB，且∠MAB=45°，
则在四边形ORDB中，OB=BD=OR，且OR⊥OB，OB⊥BD，且线段OB、RD在BD同侧，
∴四边形ORDB是正方形，
∴∠BOD=45°=∠BOP，
则圆心角∠BOP对应的圆周角∠BAP=22.5°，
又∵∠MAB=45°，
∴∠MAP=∠MAB+∠BAP=45°+22.5°=67.5°=3∠BAP，
又∵∠BMP=∠BAP，
∴∠MAP=3∠BMP，
得证．
故答案为：；在（1）的基础上，选取网格点E、F、Q，连接EQ、BF，二者相交于D点，连接OD，交⊙O于点P，P即为所求．
【点睛】本题考查了圆心角与圆周角的知识、勾股定理等知识，充分利用网格特点构造特殊点是解答本题的关键．
14．（2023·天津和平·统考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，均在格点上．
（1）线段的长等于 ；
（2）若点，分别在圆上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 取格点，连接，，与圆相交于点，；连接，连接与相交于点；连接并延长，与相交于点，则点，即为所求
【分析】（1）利用勾股定理即可求解；
（2）首先取格点，连接，，与圆相交于点，；连接，可证得，可得，连接与相交于点，再根据圆周角定理，可得与为直径，点O为圆心，连接并延长，与相交于点，则点，即为所求．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）如图：取格点，连接，，与圆相交于点，；连接，连接与相交于点；连接并延长，与相交于点，则点，即为所求．
证明：在与中，
，
，
，
，
与为直径，点O为圆心，
为直径，
，
点，即为所求，
故答案为：取格点，连接，，与圆相交于点，；连接，连接与相交于点；连接并延长，与相交于点，则点，即为所求．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆周角定理，证得与是圆的直径是解决本题的关键与．
15．（2023·天津红桥·统考二模）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点在格点上，顶点在网格线上，以为直径的经过点．

(1)的大小等于 (度)；
(2)在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，在上画出点，使，并简要说明点的位置是如何找到的(不要求证明) ．
【答案】 取与网格线的交点，，连接交于点：取与网格线的交点，连接，相交于点：连接并延长，与相交于点：连接并延长，与相交于点，则点即为所求
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角即可求解；
（2）取与网格线的交点，，连接交于点：取与网格线的交点，连接，相交于点：连接并延长，与相交于点：连接并延长，与相交于点，则点即为所求．
【详解】解：（1）∵为直径的经过点，
∴，
故答案为：．
（2）如图，取与网格线的交点，，连接交于点：取与网格线的交点，连接，相交于点：连接并延长，与相交于点：连接并延长，与相交于点，则点即为所求；

理由如下，
∵是直角三角形，∴是直径，
∵是直径，
∴点是圆心，
∵是的中点，是的中点，
∴点是是的重心，
∴是的中线，即是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的重心，三角形的中位线的性质，垂径定理及其推论，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．（2023·天津南开·统考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，，及点均在格点上
（1）的大小为 （度）；
（2）为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到．请用无刻度的直尺，在如图所示的格中，画出线段，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 见详解
【分析】（1）利用勾股定理求出、、，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，问题得解；
（2）取网格点S、T、M（中点）、H，根据（1）可知，即为圆的直径，连接，交于点O，即O点为圆心，连接并延长交圆O点E，连接，交圆O点F，连接，并延长至G点，连接，交于点N，连接，问题得解．
【详解】（1）根据勾股定理可得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：90；
（2）如图，取网格点S、T、M（中点）、H，连接，交于点O，即O点为圆心，连接并延长交圆O点E，连接，交圆O点F，连接，并延长至G点，连接，交于点N，连接，即为所求．
证明：根据（1）可知，即为圆的直径，
∵，，，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴O点为圆心，
∴为圆的直径，
∴，
∴点绕点顺时针旋转得到的点在直线上，
∵M点为中点，，
又∵，
∴点绕点顺时针旋转得到的点为，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
由（1）可知在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵点绕点顺时针旋转得到的点在直线上，
∴点绕点顺时针旋转得到的点为，
∴即为所求，
故答案为：取网格点S、T、M（中点）、H，连接，交于点O，即O点为圆心，连接并延长交圆O点E，连接，交圆O点F，连接，并延长至G点，连接，交于点N，连接．
【点睛】本题难度较大，考查了勾股定理及其逆定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，灵活运用圆周角定理是解答本题的关键．
17．（2023·天津河东·统考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及线段DE上的点D，E均在格点上，
（1）线段DE的长等于 ；
（2）圆上有一个动点F，若点M为线段DF的中点，在线段DE上有一点K.当MK取得最大值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点K，并简要说明点K的位置是如何找到的（不要求证明） .

【答案】 如图所示
【分析】（1）根据勾股定理计算即可求得；
（2）根据点的轨迹为圆，则点的运动轨迹也为圆，确定点的运动的圆心，即可推得．
【详解】（1）在方格中找到以为斜边的直角三角形
用勾股定理求解为：
（2）如图：点即为所求

原理：首先找圆心：连接，交网格线于点；连接，找到的中点，在圆上找任意一点，连接，确定中点，连接，则在中，点,均为边，的中点，故，根据点的轨迹为圆，则点的运动轨迹也为以点为圆心，为半径的圆，点K在线段上，当取得最大值时，即连接，并延长与圆交于一点，该点即为取得最大值时点的位置，此时点K在点上，故点即为所求．

【点睛】本题考查了勾股定理，圆的综合应用，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质．
18．（2023·天津河西·统考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上，且．

（Ⅰ）线段的长等于 ；
（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点，若在上有一点，使其满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 见解析
【分析】（Ⅰ）利用勾肌定理计算即可；
（Ⅱ）由是圆的直径，得，若，根据三线合一，可知，点P应在以点C为顶角的等腰三角形的一腰上，所取格点M、N，使，且两平行线间距离等于点B到的距离，所以等腰三角形另一顶点是延长线与的交点，再连接与圆的交点即是所要求画的点P．
【详解】解：（Ⅰ）由勾股定理，得，
故答案为：；
（Ⅱ）如图，取格点，，连接，连接并延长，与相交于点；连接，与半圆相交于点，则点即为所求．

【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，平行线分线段成比例，解题词关键是熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论推论，平行线分线段成比例的应用是解题的关键．
19．（2023·天津东丽·统考二模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均为格点，以格点为圆心，为直径作圆，点在圆上．

（Ⅰ）线段的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在上找出一点，使，并简要说明画图方法（不要求证明）
【答案】 取格点，连接并延长，交于点，则点即为所求
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）取格点，连接并延长，交于点，则点即为所求．
【详解】解：（1）
（2）如图所示，取格点，连接并延长，交于点，则点即为所求．
理由如下，

∵
∴
∵
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，正切的定义，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．（2023·天津滨海新·统考二模）如图，在每个小正方形的边长都为1的网格中，的顶点A，B，C都在圆上，点A，B均在格点上，点C在网格线上．

（Ⅰ）线段的长为 ；
（Ⅱ）在优弧上找一点P，使，请简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 4 设与交于点E，连接并延长交于点F，连接交圆上于一点，该点即为点P
【分析】（Ⅰ）根据网格直接得出的长即可；
（Ⅱ）设与交于点E，连接并延长交于点F，连接交圆上于一点，该点即为点P．
【详解】解：（Ⅰ）根据网格可知，；
故答案为：4；
（Ⅱ）设与交于点E，交于点G，连接并延长交于点F，连接交圆上于一点，该点即为点P，如图所示：

∵，
∴，，
∴，
∵网格中每个小正方形的边长都为1，
∴的边上的高为1，的边上的高为2，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：设与交于点E，连接并延长交于点F，连接交圆上于一点，该点即为点P．
【点睛】本题主要考查了圆的基本知识，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是根据格点的特点，作出．
21．（2023·天津和平·统考三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点在格点上，点在格点上，圆心在线段上，圆与网格线相交于点，过点作圆的切线与网格线交于点．

（1） ；
（2）过点作圆的切线，切点为（点不与点重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 图见解析，过点作的垂线交于点，则为圆心，连接，作，与交于点，点即为所求
【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可得到答案；
（2）根据切线的性质作出图，并对作图过程作相应的描述即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）如图所示：
，
过点作的垂线交于点，则为圆心，连接，作，与交于点，点即为所求．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作切线，切线的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握切线的性质，垂径定理，是解题的关键．
22．（2023·天津红桥·统考三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点在格点上，为小正方形边的中点，以直径的半圆经过点，且为的中点．

（）的大小等于 （度）；
（）是上的动点，过点作直线的垂线，交的延长线于点；点在上，且满足，连接．当取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 45 见解析
【分析】（）连接证明是等腰直角三角形即可，
（）如图，取格点，连接相交于点；取格点，连接与相交于点；连接，与半圆相交于点，则点即为所求．
【详解】（）连接

为圆的直径，
，
为的中点，
，
，即是等腰直角三角形，
；
（）如图，取格点，
连接相交于点；取格点，连接与相交于点；连接，与半圆相交于点，则点即为所求．

【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
23．（2023·天津河北·统考三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，在格点上，是小正方形边的中点．
(1)的长等于 ；
(2)是线段与网格线的交点，是外接圆上的动点，点在线段上，且满足．当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】(1)
(2)取格点，连接并延长，与圆相交于点，连接；取格点，，连接与网格线相交于点，连接与圆相交于点，连接与相交于点；连接并延长，与圆相交于点，则点即为所求．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）先确定圆心，再作直径CP即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）由题意可知，，当为直径时，最大，故确定圆心即可，如图所示，取格点，以、为斜边的两个网格直角三角形全等，可得，为直径，同理，以、为斜边的两个直角三角形相似，可得，为直径，所以，为圆心，此时，最大；
故答案为：取格点，连接并延长，与圆相交于点，连接；取格点，，连接与网格线相交于点，连接与圆相交于点，连接与相交于点；连接并延长，与圆相交于点，则点即为所求．
【点睛】本题考查了作图和勾股定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题关键是熟练运用圆周角定理和相似三角形判定与性质确定圆心．
24．（2023·天津河西·天津市新华中学校考三模）如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点．
（1）线段的长度等于 ；
（2）点P是内切圆与的切点，请你借助给定的网格，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明你是怎么找到点P的（不要求证明）． ．
【答案】 取格点D，E,连接交于点P,则点P即为所求
【分析】（1）根据勾股定理即可求得线段AB的长；
（2）分别求出AC、BC的长，判定△ABC为直角三角形，再根据面积相等，可计算出△ABC内切圆的半径，进而可计算出AP：BP=2：3，取点A正下方两格的格点D，取B点正上方三格的格点E，连接交于点P，则点P即为所求．
【详解】（1）如图，在Rt△AFB中，AF=1，BF=7
由勾股定理得：
故答案为：．
（2）由勾股定理可计算得：，
∵
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90゜
设△ABC内切圆的半径为r，则有
∴
设△ABC内切圆与AC的切点为G，则CG=
根据切线长定理，得AG=AP
∵AG=AC-CG=2
∴
∴
∴
∴取点A正下方两格的格点D，取B点正上方三格的格点E，连接交于点P，则点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图、勾股定理、相似三角形的判定与性质、切线长定理等知识，解题的关键是灵活运用所学的知识解决问题．
25．（2023·天津河东·天津市第七中学校考模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，C为格点，点B是小正方形边上的中点．
（1）线段AB的长等于 ；
（2）外接圆上有一点D，在AB上有一点P，连接PC，PD，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 取格点E，F，连接EF叫格线于G，连接CG并延长交圆于点H，连接DH交AB于点P，点P即为所求．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可．
（2）取格点E，F，连接EF交格线于G，连接CG并延长交圆于点H，连接DH交AB于点P，点P即为所求．
【详解】解：（1）AB．
故答案为：．
（2）如图，点P即为所求．
取格点E，F，连接EF交格线于G，连接CG并延长交圆于点H，连接DH交AB于点P，点P即为所求．
理由：∵tan∠F=
∴tan∠E=
∴tan∠ECH=
∵tan∠BAG=
∠BAG=∠ECH
∴∠BAC+∠ACG=90°
∴CH⊥AB
∵
∴AB为直径
∴AB垂直平分CH
∴CP=PH
∴
∴．
．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．（2023·天津西青·校考模拟预测）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为，，，．
（1）线段BC的长等于 ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段AB上画点E，使简要说明画图方法（不要求证明） ．
【答案】 5 取D点，连接CD、BD，取格点M、N，连接MN交BD于点T，连接CT交AB于点E，则
【分析】（1）利用勾股定理求解即可得；
（2）取D点，连接CD、BD，取格点M、N，连接MN交BD于点T，连接CT交AB于点E，利用勾股定理得出CD=，BD=，再由等腰三角形的判定及性质，矩形的性质得出CT为∠BCD的角平分线，即可证明．
【详解】解：（1）BC=，
故答案为：5；
（2）取D点，连接CD、BD，取格点M、N，连接MN交BD于点T，连接CT交AB于点E，则∠BCE=45°，
理由如下：CD=，BD=，
∴BC=CD，，
∴∆BCD为等腰直角三角形，
∵MN、BD为矩形BMDN的对角线，交于点T，∴点T为BD的中点，
∴CT为∠BCD的角平分线，
∴∠BCE=45°．
【点睛】题目主要考查直角坐标系与网格，勾股定理解三角形，等腰三角形的性质等，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
27．（2023·天津武清·校考模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点．
（Ⅰ）四边形外接圆的半径为 ．
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分，且点在圆上，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 取格点，连接，交于点．连接并延长交圆于点，连接即为所求
【分析】（Ⅰ）根据格点的特征及勾股定理确定四边形ABCD外接圆的圆心，从而求解半径；
（Ⅱ）利用格点特征及垂径定理的推论，取格点，连接，交于点．取格点，连接并延长交圆于点，连接即为所求．
【详解】解：（Ⅰ）四边形ABCD外接圆的圆心位于格点O的位置，连接OA，OB，OC，OD，
由题意可得OA=OB=OC=OD=
故答案为：
（Ⅱ）取格点，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接，
由格点特征结合四边形外接圆的半径可得△EFK≌△ODG，
∴∠OGD=∠EKF=90°，即OP⊥CD，∴点P是的中点，∴∠CAP=∠DAP，∴即为所求
【点睛】本题考查作图-复杂作图，勾股定理，垂径定理的推论等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．