江苏省宿迁市沭阳县怀文中学、人民路中学2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

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（分值：150分，时长：120分钟）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：因为抛物线，
所以抛物线的顶点坐标是．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键．
2. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ）
A 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差可进行求解．
【详解】解：由题意得：；
∴成绩最稳定的是丁；
故选D．
【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是解题的关键．
3. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出，最后根据邻补角性质求解即可．
【详解】解：，
，
∵四边形内接于，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4. 如图，在中，E是的中点，交于点F，那么与的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而推得，再证明，根据相似三角形的性质，即得答案．
【详解】四边形是平行四边形，
，，
E是的中点，
，
，
，
，
．
故选C．
5. 如图，在中，，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，设，则，根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的意义即可求出，准确计算是解题的关键．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∴，
故选：．
6. 下表示用计算器探索函数时所得的数值：
则方程一个解的取值范围为（ ）
A. 0【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解．
【详解】∵二次函数中，a=1>0，
∴抛物线开口方向向上，
∵对称轴
∴时y随x的增大而增大，
∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0，
∴方程的一个正根：0.5故选C.
【点睛】解答此题的关键是求出对称轴,然后由图象解答,锻炼了学生数形结合的思想方法.
7. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先证明出，然后得到，然后求出，进而求解即可．
【详解】如图所示，

∵
∴，
∴
∴
∵
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定．
8. 二次函数的图象如图所示，顶点为，给出四个结论：
①；
②若有三个点都在这个抛物线上，则；
③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．
其中正确的有（ ）

A. ①②③B. ①②③④C. ①③④D. ①②④
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和函数图像，由函数图像的开口确定，对称轴和确定，与轴交点的纵坐标确定，根据函数增减性和对称性判断函数值的大小比较，由对称轴和取特殊的自变量值判断一些含的代数式，根据函数的图像与直线的图像有两个不同的交点，即可确定的取值范围．
【详解】解：函数图像开口向下，
，
二次函数的顶点为，
，
，
，
函数图像与轴交于正半轴，
，
，①正确；
函数图像关于对称，在中，
，
，②正确；
当时，，即：，
，即：，
，③正确；
方程有两个不相等的实数根，即：函数的图像与直线的图像有两个不同的交点，
如图：作

当时，函数的图像与直线的图像只有一个交点，
当，函数的图像与直线的图像有两个不同的一个交点，
即：，④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图像，结合函数图像与二次函数的性质是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
9. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由比例的基本性质，可得，进而得，代入计算即可．
【详解】解：
将其代入得：
原式
故答案为：
【点睛】本题考查了比例的性质，及分式的化简计算，如何利用比例关系进行代换是解题的关键．
10. 如图，要使，可以添加条件∶_______________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．
【详解】解：可添加条件：．证明如下：
∵，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似．
11. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为________．
【答案】16
【解析】
【分析】作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求出OD的长度，最后利用即可求解．
【详解】如图，作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，
∵，，
∴，
∵直径为52cm，
∴，
，
，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
12. 小明某学期的数学平时成绩70分，期中考试80分，期末考试90分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末，则小明总评成绩是 __分．
【答案】81
【解析】
【分析】按的比例算出本学期数学总评分即可．
【详解】解：本学期数学总评分（分．
故答案为：81．
【点睛】本题考查了加权成绩的计算，掌握平时成绩：期中考试成绩：期末考试成绩的含义就是分别占总数的、、是关键．
13. 底面半径为5的圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，则圆锥的母线长为______ ．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图的弧长=底面周长；弧长公式为：．
易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】圆锥的底面周长，
则：，
解得．
故答案为：15．
14. 如图，、分别是、上的点，且，、分别是、的中点．若，，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同角的补角相等和相似三角形的判定与性质，首先根据相似三角形的判定得出，进而根据性质得出，即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质时解题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为________．
【答案】或
【解析】
【分析】可分4cm为腰长和底边长两种情况，求得直角三角形中底角的邻边与斜边之比即可．
【详解】①4cm为腰长时，
作AD⊥BC于D．可得BD=CD=3cm，所以csB=；
②4cm为底边时，同理可得BD=CD=2cm，因此csB==.
考点：锐角三角函数
16. 小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布前形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离，分别为、，则实像的高度为______cm．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质的应用，根据相似计算即可．
【详解】∵
∴，
∴，，
∴，
∵的高为，，分别为、，
∴，
∴,
∴，
故答案为：3．
17. 新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点，那么的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是用勾股定理解三角形，解题关键是熟练掌握勾股定理．取中点，连接，根据题目中“精准三角形”的定义可得，根据勾股定理得到即可求解．
详解】解：取中点，连接，
此时为中线，，
是“精准三角形”，
，
，
，
设，
则，，
，
中，，
，，
，
即，
解得，
．
故答案为：．
18. 如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作于，连接，取中点，连接，则线段的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形，矩形的性质，取中点，过作于点，作于点，根据四边形为矩形，四边形为矩形，得出，，，，由，设，则，根据勾股勾股定理建立函数关系式，根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】如图，取中点，过作于点，作于点，
∴四边形为矩形，四边形为矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
同理，
∵是中点，是中点，
∴，，
∴，，
在中，
由勾股定理得，
当时，由最小值，
∴最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，画图或作图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
19. （1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（），（）
【解析】
【分析】（）利用因式分解法法求解即可；
（）将特殊角的三角函数值代入，然后计算即可；
本题考查了解一元二次方程和特殊三角函数值，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程及熟练掌握特殊三角函数值的运算．
【详解】（）
或，
∴，；
（）
，
，
．
20. 如图，是等边三角形，是外角平分线，点D在上，连接并延长与交于点E．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，角平分线，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等边三角形的性质，角平分线，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由是等边三角形，是外角平分线，可得，进而可证；
（2）由（1）知，，则，即，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，是外角平分线，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
∴，即，
解得，，
∴的长为3．
21. 如图，已知抛物线经过，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线解析式和顶点坐标；
（2）观察图象：
①当时，直接写出的取值范围；
②点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．
【答案】（1），
（2）①；②或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法进行计算即可得出答案，再化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①由解析式得出抛物线的对称轴为直线，再由抛物线的增减性即可得出答案；②根据三角形面积即可得出点的纵坐标，代入解析式进行计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
，
顶点坐标为；
【小问2详解】
解：①，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，
当时，当时，有最小值为，当时，，当时，，
当时，的取值范围为；
②，，
，
，
，
，
抛物线顶点坐标为，
，
当时，，
解得：，，
或．
22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）以原点为位似中心，在第一象限内将缩小得到，相似比为，请画出；
（2）直接写出点的坐标（______，______）；
（3）求出的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）的面积为
【解析】
【分析】（1）根据的三个顶点，位似比的值，可算出点的坐标，连接即可求解；
（2）根据相似比即可求解；
（3）根据图形，运用三角形面积的计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，，以原点为位似中心，相似比为，
∴，
∴，即，
∴，则
同理，，连接，如图所示，
∴即为所求图形．
【小问2详解】
解：根据题意，，位似比为，
∴，
故答案为：．
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中位似的运用，掌握位似比的运算，作图，面积计算方法是解题的关键．
23. 甲、乙、丙、丁4名同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛，求下列事件的概率．
（1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学；
（2）随机选取2名同学，其中有乙同学.
【答案】（1）．（2）.
【解析】
【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案．
（2）先用列举法求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：（1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是．
（2）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学，
所有等可能出现的结果有：（甲、乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（乙、丙）、（乙、丁）、（丙、丁），
共有6种，所有的结果中，满足“随机选取2名同学，其中有乙同学”（记为事件A）的结果有3种：（甲、乙）、（乙、丙）、（乙、丁）．
∴P（A）=.
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概型的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24. 为了解某校九年级学生科普知识竞赛的情况，现从中随机抽取部分学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，
回答下列问题：
（1）本次随机抽样调查的学生人数为______，图①中的m的值为______；
（2）求本次抽样调查获取的样本数据的众数是______，中位数是______；
（3）若该校九年级共有学生人，如果竞赛成绩达到28分（含28分）及以上为优秀，请估计该校九年级学生在本次科普竞赛中成绩优秀的人数．
【答案】（1）50，24；
（2）28，28； （3）该校九年级学生在本次科普竞赛中成绩优秀的人数大约为人
【解析】
【分析】（1）根据成绩为26分的人数和所占的百分比即可求得本次随机抽样调查的学生人数，从而求出的值；
（2）利用众数、中位数的定义，进行求解即可得到答案；
（3）用乘以竞赛成绩达到28分（含28分）及以上的人数所占的百分比，即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意得：本次随机抽样调查的学生人数为：（人），
，
图①中的的值为24；
故答案为：50，24；
【小问2详解】
解：在这组数据中，28出现14次，出现的次数最多，
这组数据的众数是28，
将这组数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数都是28，
中位数是28；
故答案为：28，28
【小问3详解】
解：该校九年级学生在本次科普竞赛中成绩优秀的人数为：
人，
答：该校九年级学生在本次科普竞赛中成绩优秀的人数大约为人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、求样本容量、中位数、众数、平均数、由样本估计总体，熟练掌握中位数、众数的定义，准确进行计算，是解题的关键．
25. 为了测量流溪河某段河流的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河西岸的点处测得河东岸的树恰好在的正东方向．测量方案与数据如下表：
（1）求的度数；
（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到）；（参考数据：，，，）
【答案】（1）
（2）192米
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余可得结果；
（2）第一小组：根据外角的性质可得，得，再解直角三角形求出即可；第三小组：设，则，，由，构建方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴；
【小问2详解】
第一小组的解法：
是的外角，
，
，
，
；
第三小组的解法：
设，则，，
，
，
解得，
故河宽约为192米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，以及等腰三角形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26. 如图，是的直径，点F在上，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点D，延长相交于点C．
（1）判断 与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为5，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，作出辅助线，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
（1）连接，由等腰得到，由角平分线得到，从而得到，得到结论．
（2）连接，证明，得到，根据，在中，利用勾股定理求出和，可得和，再证明，得到，设，解方程即可求出．
【小问1详解】
解：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接．
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
则．
又∵，
在中，，
即：，
解得，
则，
∴，
解得，．
∵，
∴，
∴，
设，
∴，解得：，
经检验：是原方程解，
故的长为．
27. 解答
（1）问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接．填空：
①的值为______；
②的度数为______．
（2）类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．
【答案】（1） ①. ②.
（2），，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）由直角三角形的性质可得，可得，通过证明，可得的值；
（2）先证明，再证明，可得的值，得到，即可求的度数；
（3）分点在线段上和延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证，即可求，由相似三角形的性质可得，，由勾股定理可求的长．
【小问1详解】
解：，，
，
，
且，
，
，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
，，
，，
，，
，
，
，且，
，
，
，
．
【小问3详解】
若点在线段上，如图，
由上一问可知：，，
，
，，，
，，
，且点是的中点，
，且是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
若点在线段的延长线上，如图，
同理可得，，
，
，
，
，
综上所述：的长为或．
【点睛】本题考查了相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为，点在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，点P在y轴上，且点P在点C的下方，若，求点P的坐标；
（3）如图②，E为线段上的动点，射线与线段交于点M，与抛物线交于点N，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过P作于点E，过点D作于F，求出，证明，得出，证明，根据，求出，得出，即可得出答案；
（3）过点N作轴，交直线于点H，，得出，求出直线的表达式为，设，得出N的坐标为，其中，求出，得出，求出最大值即可．
【小问1详解】
解：∵点，在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线表达式为．
【小问2详解】
解：过P作于点E，过点D作于F，如图所示：
∴，
∵C为抛物线与y轴交点，
∴，
∵点D坐标为，
∴，
∴，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点P的坐标为．
【小问3详解】
解：如图，过点N作轴，交直线于点H，则，
又∵，
∴，
∴，
设直线的表达式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为，
把代入，得，
∴直线与y轴的交点坐标为，
∴，
设，
∴N的坐标为，其中，
∴，
∴，
∵，，
∴时，取最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合．
课题
测量河流宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
测量方案示意图
说明
点，在点的正南方
点在点的正南方向，
点在点的正北方向
测量数据